一元二次方程及根的定义.docx
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一元二次方程及根的定义
一元二次方程及根的定义
1.已知关于的方程
的一个根为2,求另一个根及
的值.
思路点拨:
从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解
的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可.
解:
将
代入原方程,得
即
解方程,得
当
时,原方程都可化为
解方程,得
.
所以方程的另一个根为4,
或-1.
总结升华:
以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口.
举一反三:
【变式1】已知一元二次方程
的一个根是
,求代数式
的值.
思路点拨:
抓住
为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题.
解:
因为
是方程
的一个根,
所以
故
所以
.
.
总结升华:
“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验.
类型二、一元二次方程的解法
2.用直接开平方法解下列方程:
(1)3-27x2=0;
(2)4(1-x)2-9=0.
解:
(1)27x2=3
.
(2)4(1-x)2=9
3.用配方法解下列方程:
(1)
;
(2)
.
解:
(1)由
,
得
,
,
,
所以
,
故
.
(2)由
,
得
,
,
,
所以
故
4.用公式法解下列方程:
(1)
;
(2)
; (3)
.
解:
(1)这里
并且
所以
,
所以
,.
(2)将原方程变形为
,
则
,
所以
,
所以
.
(3)将原方程展开并整理得
,
这里
,
并且
,
所以
.
所以
.
总结升华:
公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材.
5.用因式分解法解下列方程:
(1)
;
(2)
; (3).
解:
(1)将原方程变形为,
提取公因式,得,
因为
,所以
所以
或
,
故
(2)直接提取公因式,得
所以
或
,(即
故
.
(3)直接用平方差公式因式分解得
即
所以
或
故
.
举一反三:
【变式1】用适当方法解下列方程.
(1)2(x+3)2=x(x+3);
(2)x2-2
x+2=0;
(3)x2-8x=0; (4)x2+12x+32=0.
解:
(1)2(x+3)2=x(x+3)
2(x+3)2-x(x+3)=0
(x+3)[2(x+3)-x]=0
(x+3)(x+6)=0
x1=-3,x2=-6.
(2)x2-2
x+2=0
这里a=1,b=-2
,c=2
b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12>0
x=
=
x1=
+
,x2=
-
(3)x(x-8)=0
x1=0,x2=8.
(4)配方,得
x2+12x+32+4=0+4
(x+6)2=4
x+6=2或x+6=-2
x1=-4,x2=-8.
点评:
要根据方程的特点灵活选用方法解方程.
6.若
,求
的值.
思路点拨:
观察,把握关键:
换元,即把
看成一个“整体”.
解:
由
,
得
,
,
,
所以
,
故
或
(舍去),
所以
.
总结升华:
把某一“式子”看成一个“整体”,用换元的思想转化为方程求解,这种转化与化归的意识要建立起来.
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是()
A.有两个相等的实数根; B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根; D.没有实数根
解析:
因为△=32-4×4×(-2)>0,所以该方程有两个不相等的实数根.
答案:
B.
8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()
A.m>
B.m<
C.m>-
D.m<-
思路点拨:
因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足
.
解:
由题意,得△=12-4×1×(-3m)>0,
解得m>-.
答案:
C.
举一反三:
【变式1】当m为什么值时,关于x的方程
有实根.
思路点拨:
题设中的方程未指明是一元二次方程,还是一元一次方程,所以应分
和
两种情形讨论.
解:
当
即
时,
,方程为一元一次方程,总有实根;
当
即
时,方程有根的条件是:
,解得
∴当
且
时,方程有实根.
综上所述:
当
时,方程有实根.
【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).
思路点拨:
要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.
解:
∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根.
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0
∴
满足
∵ax+3>0即ax>-3
∴所求不等式的解集为
.
类型四、根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值
9.(河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是()
A.
B.
C.
D.7
思路点拨:
本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.
解:
由根与系数关系可得x1+x2=
,x1·x2=
,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=(
)2-2×
=
.
答案:
A.
总结升华:
公式之间的恒等变换要熟练掌握.
类型五、一元二次方程的应用
考点讲解:
1.构建一元二次方程数学模型:
一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型,通过审题弄清具体
问题中的数量关系,是构建数学模型,解决实际问题的关键.
2.注重解法的选择与验根:
在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要
对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性.
10.(陕西)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()
A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0 D.x2-64x-1350=0
解析:
在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边,那么挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,由题意,可得(80+2x)(50+2x)=5400,整理得x2+65x-350=0.
答案:
B.
11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
解:
设每千克水果应涨价x元,依题意,得(500-20x)(10+x)=6000.
整理,得x2-15x+50=0.解这个方程,x1=5,x2=10.
要使顾客得到实惠,应取x=5.
答:
每千克应涨价5元.
总结升华:
应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.
12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地,开辟一个面积为130平方米的花圃(如图),打算一面利用长为15米的仓库墙面,三面利用长为33米的旧围栏,求花圃的长和宽.
解:
设与墙垂直的两边长都为
米,则另一边长
为
米,依题意得
又∵当
时,
当
时,
∴
不合题意,舍去.∴.
答:
花圃的长为13米,宽为10米.
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- 一元 二次方程 定义