吉林省长春市朝阳区中考数学核心考点题汇总含答案附解析.docx
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吉林省长春市朝阳区中考数学核心考点题汇总含答案附解析
吉林省长春市朝阳区2021年中考数学核心考点题汇总含答案(附解析)
一、单选题
1、如图,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=
(m为常数且m≠0)的图象都经过A(﹣1,2),B(2,﹣1),结合图象,则不等式kx+b>
的解集是( )
A.x<﹣1B.﹣1<x<0
C.x<﹣1或0<x<2D.﹣1<x<0或x>2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b>
的解集.
【解答】解:
由函数图象可知,当一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y2=
(m为常数且m≠0)的图象上方时,x的取值范围是:
x<﹣1或0<x<2,
∴不等式kx+b>
的解集是x<﹣1或0<x<2
故选:
C.
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题:
主要考查了由函数图象求不等式的解集.利用数形结合是解题的关键.
2、已知三个实数a,b,c满足a﹣2b+c=0,a+2b+c<0,则( )
A.b>0,b2﹣ac≤0B.b<0,b2﹣ac≤0
C.b>0,b2﹣ac≥0D.b<0,b2﹣ac≥0
【分析】根据a﹣2b+c=0,a+2b+c<0,可以得到b与a、c的关系,从而可以判断b的正负和b2﹣ac的正负情况,本题得以解决.
【解答】解:
∵a﹣2b+c=0,a+2b+c<0,
∴a+c=2b,b=
,
∴a+2b+c=(a+c)+2b=4b<0,
∴b<0,
∴b2﹣ac=
=
﹣ac=
=
≥0,
即b<0,b2﹣ac≥0,
故选:
D.
【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质,解答本题的关键是明确题意,判断出b和b2﹣ac的正负情况.
3、如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(
),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40m,点C是
的中点,且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为( )
A.25mB.24mC.30mD.60m
【分析】根据题意,可以推出AD=BD=20,若设半径为r,则OD=r﹣10,OB=r,结合勾股定理可推出半径r的值.
【解答】解:
∵OC⊥AB,
∴AD=DB=20m,
在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,
设半径为r得:
r2=(r﹣10)2+202,
解得:
r=25m,
∴这段弯路的半径为25m
故选:
A.
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用,关键在于设出半径为r后,用r表示出OD、OB的长度.
4、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,﹣1),平移线段AB,使点A落在点A1(﹣2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为( )
A.(﹣1,﹣1)B.(1,0)C.(﹣1,0)D.(3,0)
【分析】由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B的对应点B1的坐标.
【解答】解:
由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律是:
左移4个单位,上移1个单位,
∴点B的对应点B1的坐标(﹣1,0).
故选:
C.
【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律,关键是由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B的对应点B1的坐标.
5、如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图,则下列判断错误的是( )
A.甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好
C.丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高
D.就甲、乙、丙三个人而言,乙的数学成绩最不稳
【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段依次连接起来.以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化.
方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好
【解答】解:
A.甲的数学成绩高于班级平均分,且成绩比较稳定,正确;
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动,且比丙好,正确;
C.丙的数学成绩低于班级平均分,但成绩逐次提高,正确
D.就甲、乙、丙三个人而言,丙的数学成绩最不稳,故D错误.
故选:
D.
【点评】本题是折线统计图,要通过坐标轴以及图例等读懂本图,根据图中所示的数量解决问题.
6、如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可.
【解答】解:
从上面看下来,上面一行是横放3个正方体,左下角一个正方体.
故选:
D.
【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
7、怀化是一个多民族聚居的地区,民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.
【解答】解:
A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;
C、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确;
D、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念:
轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.
8、某校共有200名学生,为了解本学期学生参加公益劳动的情况,收集了他们参加公益劳动时间(单位:
小时)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
时间t
人数
学生类型
0≤t<10
10≤t<20
20≤t<30
30≤t<40
t≥40
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
下面有四个推断:
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间
所有合理推断的序号是( )
A.①③B.②④C.①②③D.①②③④
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
【解答】解:
①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数:
①(24.5×97+25.5×103)÷200=25.015,一定在24.5﹣25.5之间,正确;
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间,正确;
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20~30之间,正确;
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20~30之间,错误.
故选:
C.
【点评】本题考查了中位数与平均数,正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键.
9、如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为( )
A.4
B.4
C.10D.8
【分析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OA=OC,AE=CE,证明△AOF≌△COE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB=
=4,再由勾股定理求出AC即可.
【解答】解:
连接AE,如图:
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,
,
∴△AOF≌△COE(ASA),
∴AF=CE=5,
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,
∴AB=
=
=4,
∴AC=
=
=4
;
故选:
A.
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,熟练掌握矩形的性质和勾股定理,证明三角形全等是解题的关键.
10、使得式子
有意义的x的取值范围是( )
A.x≥4B.x>4C.x≤4D.x<4
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.
【解答】解:
使得式子
有意义,则:
4﹣x>0,
解得:
x<4,
即x的取值范围是:
x<4.
故选:
D.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.
二、填空题
1、用一个圆心角为120°,半径为6的扇形做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面积为 4π .
【分析】易得扇形的弧长,除以2π即为圆锥的底面半径,从而可以计算面积.
【解答】解:
扇形的弧长=
=4π,
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2.
∴面积为:
4π,
故答案为:
4π.
【点评】考查了扇形的弧长公式;圆的周长公式;用到的知识点为:
圆锥的弧长等于底面周长.
2、已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是 6
.
【分析】易得正三角形的中心角为120°,那么中心角的一半为60°,利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半,乘以2即为正三角形的边长.
【解答】解:
如图,圆半径为6,求AB长.
∠AOB=360°÷3=120°
连接OA,OB,作OC⊥AB于点C,
∵OA=OB,
∴AB=2AC,∠AOC=60°,
∴AC=OA×sin60°=6×
=3
,
∴AB=2AC=6
,
故答案为:
6
.
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键.
3、在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球,这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球,该球是黄球的概率为
,则a等于 5 .
【分析】根据概率公式列出关于a的方程,解之可得.
【解答】解:
根据题意知
=
,
解得a=5,
经检验:
a=5是原分式方程的解,
∴a=5,
故答案为:
5.
【点评】本题主要考查概率公式,解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比.
4、因式分解:
3ax2﹣3ay2= 3a(x+y)(x﹣y) .
【分析】当一个多项式有公因式,将其分解因式时应先提取公因式,再对余下的多项式继续分解.
【解答】解:
3ax2﹣3ay2=3a(x2﹣y2)=3a(x+y)(x﹣y).
故答案为:
3a(x+y)(x﹣y)
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解,分解因式一定要彻底.
5、我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:
“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?
”其意思为:
今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺.问每日各织多少布?
根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布
尺.
【分析】直接根据题意表示出5天每天织布的尺数,进而得出方程求出答案.
【解答】解:
设第一天织布x尺,则第二天织布2x尺,第三天织布4x尺,第四天织布8x尺,第五天织布16x尺,根据题意可得:
x+2x+4x+8x+16x=5,
解得:
x=
,
即该女子第一天织布
尺.
故答案为:
.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用,正确表示出5天每天织布的尺数是解题关键.
6、武汉市某气象观测点记录了5天的平均气温(单位:
℃),分别是25、20、18、23、27,这组数据的中位数是 23℃ .
【分析】根据中位数的概念求解可得.
【解答】解:
将数据重新排列为18、20、23、25、27,
所以这组数据的中位数为23℃,
故答案为:
23℃.
【点评】此题考查了中位数,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
三、解答题(难度:
中等)
1、在平面直角坐标系xOy中,直线l:
y=kx+1(k≠0)与直线x=k,直线y=﹣k分别交于点A,B,直线x=k与直线y=﹣k交于点C.
(1)求直线l与y轴的交点坐标;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记线段AB,BC,CA围成的区域(不含边界)为W.
①当k=2时,结合函数图象,求区域W内的整点个数;
②若区域W内没有整点,直接写出k的取值范围.
【分析】
(1)令x=0,y=1,直线l与y轴的交点坐标(0,1);
(2)①当k=2时,A(2,5),B(﹣
,﹣2),C(2,﹣2),在W区域内有6个整数点;②当x=k+1时,y=﹣k+1,则有k2+2k=0,k=﹣2,当0>k≥﹣1时,W内没有整数点;
【解答】解:
(1)令x=0,y=1,
∴直线l与y轴的交点坐标(0,1);
(2)由题意,A(k,k2+1),B(
,﹣k),C(k,﹣k),
①当k=2时,A(2,5),B(﹣
,﹣2),C(2,﹣2),
在W区域内有6个整数点:
(0,0),(0,﹣1),(1,0),(1,﹣1),(1,1),(1,2);
②直线AB的解析式为y=kx+1,
当x=k+1时,y=﹣k+1,则有k2+2k=0,
∴k=﹣2,
当0>k≥﹣1时,W内没有整数点,
∴当0>k≥﹣1或k=﹣2时W内没有整数点;
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征;能够数形结合解题,根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键.
2、计算:
(
﹣1)0﹣2sin30°+(
)﹣1+(﹣1)2019
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案.
【解答】解:
原式=1﹣2×
+3﹣1
=1﹣1+3﹣1
=2.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
3、慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边,是湖南省保存最好的古塔建筑之一.如图,小亮的目高CD为1.7米,他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°,小琴的目高EF为1.5米,她站在距离塔底中心B点a米远的F处,测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D、B、F在同一水平线上,参考数据:
sin62.3°≈0.89,cos62.3°≈0.46,tan62.3°≈1.9)
(1)求小亮与塔底中心的距离BD;(用含a的式子表示)
(2)若小亮与小琴相距52米,求慈氏塔的高度AB.
【分析】
(1)根据正切的定义用a表示出AH,根据等腰直角三角形的性质计算;
(2)根据题意列方程求出a,结合图形计算,得到答案.
【解答】解:
(1)由题意得,四边形CDBG、HBFE为矩形,
∴GB=CD=1.7,HB=EF=1.5,
∴GH=0.2,
在Rt△AHE中,tan∠AEH=
,
则AH=HE•tan∠AEH≈1.9a,
∴AG=AH﹣GH=1.9a﹣0.2,
在Rt△ACG中,∠ACG=45°,
∴CG=AG=1.9a﹣0.2,
∴BD=1.9a﹣0.2,
答:
小亮与塔底中心的距离BD(1.9a﹣0.2)米;
(2)由题意得,1.9a﹣0.2+a=52,
解得,a=18,
则AG=1.9a﹣0.2=34.4,
∴AB=AG+GB=36.1,
答:
慈氏塔的高度AB为36.1米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
4、天水某景区商店销售一种纪念品,这种商品的成本价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?
最大利润是多少?
【分析】
(1)利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式;
(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性质进一步求解可得.
【解答】解:
(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b,
将(10,30)、(16,24)代入,得:
,
解得:
,
所以y与x的函数解析式为y=﹣x+40(10≤x≤16);
(2)根据题意知,W=(x﹣10)y
=(x﹣10)(﹣x+40)
=﹣x2+50x﹣400
=﹣(x﹣25)2+225,
∵a=﹣1<0,
∴当x<25时,W随x的增大而增大,
∵10≤x≤16,
∴当x=16时,W取得最大值,最大值为144,
答:
每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元.
【点评】本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质.
5、如图1,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:
ED=EC;
(2)求证:
AF是⊙O的切线;
(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BC•BE=25,求BG的长.
【分析】
(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB,结合∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC,从而得证;
(2)连接OA,由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB,∠CAF=∠ACB,据此可知AF∥BC,从而得OA⊥AF,从而得证;
(3)证△ABE∽△CBA得AB2=BC•BE,据此知AB=5,连接AG,得∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,由点G为内心知∠DAG=∠GAC,结合∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB得∠BAG=∠BGA,从而得出BG=AB=5.
【解答】解:
(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BCD=∠ADC,
∴ED=EC;
(2)如图1,连接OA,
∵AB=AC,
∴
=
,
∴OA⊥BC,
∵CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA,
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,
∵∠ACB=∠BCD,
∴∠ACD=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB,
∴AF∥BC,
∴OA⊥AF,
∴AF为⊙O的切线;
(3)∵∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD=∠ACB,
∴△ABE∽△CBA,
∴
=
,
∴AB2=BC•BE,
∴BC•BE=25,
∴AB=5,
如图2,连接AG,
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,
∵点G为内心,
∴∠DAG=∠GAC,
又∵∠BAD+∠DAG=∠GDC+∠ACB,
∴∠BAG=∠BGA,
∴BG=AB=5.
【点评】本题是圆的综合问题,解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点.
6、在甲乙两个不透明的口袋中,分别有大小、材质完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分别标有数字1,2,3,4,乙口袋中的小球上分别标有数字2,3,4,先从甲袋中任意摸出一个小球,记下数字为m,再从乙袋中摸出一个小球,记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)可能的结果;
(2)若m,n都是方程x2﹣5x+6=0的解时,则小明获胜;若m,n都不是方程x2﹣5x+6=0的解时,则小利获胜,问他们两人谁获胜的概率大?
【分析】
(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图可得所有可能的结果;
(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出数字之积能被2整除的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:
(1)树状图如图所示:
(2)∵m,n都是方程x2﹣5x+6=0的解,
∴m=2,n=3,或m=3,n=2,
由树状图得:
共有12个等可能的结果,m,n都是方程x2﹣5x+6=0的解的结果有2个,
m,n都不是方程x2﹣5x+6=0的解的结果有2个,
小明获胜的概率为
=
,小利获胜的概率为
=
,
∴小明、小利获胜的概率一样大.
【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式;画出树状图是解题的关键.
7、(
)﹣3+|
﹣2|+tan60°﹣(﹣2019)0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案.
【解答】解:
原式=8+2﹣
+
﹣1
=9.
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.
8、长为300m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进,如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).
(1)当v=2时,解答:
①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围);
②当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)
(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
【分析】
(1)①排头与O的距离为S头(m).等于排头行走的路程+队伍的长300,而排头行进的时间也是t(s),速度是2m/s,可以求出S头与t的函数关系式;
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出,代入求S即可;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m)是在S的基础上减少甲返回的路程,而甲返回的时间(总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间),于是可以求S甲与t的函数关系式;
(2)甲这次往返队伍的总时间为T(s),是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和,可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果;在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间.
【解答】解:
(1)①排尾从位置O开始行进的时间为t(s),则排头也离开原排头t(s),
∴S头=2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷(2v﹣v)=300÷v=300÷2=150s,此时S头=2t+300=600m
甲返回时间为:
(t﹣150)s
∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4(t﹣150)=﹣4t+1200;
因此,S头与t的函数关系式为S头=2t+300,当甲赶到排头位置时,求S的值为600m,在甲从排头返回到排尾过程中,S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200.
(2)T=t追及+t返回=
+
=
,
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为:
v×
﹣=400;
因此T与v的函数关系式为:
T=
,此时队伍在此过程中行进的路程为400m.
【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用,同时函
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