九年级数学下册知识讲义3圆周角与圆心角附练习及答案北师大版.docx

九年级数学下册知识讲义3圆周角与圆心角附练习及答案北师大版.docx

《九年级数学下册知识讲义3圆周角与圆心角附练习及答案北师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册知识讲义3圆周角与圆心角附练习及答案北师大版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

九年级数学下册知识讲义3圆周角与圆心角附练习及答案北师大版

初中数学

圆周角与圆心角

学习目标

一、考点突破

1.理解圆心角、圆周角定义，掌握圆周角定理。

2.掌握弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。

3.掌握圆内接四边形的相关定理，利用圆周角定理及推论解决相关问题。

二、重难点提示

重点：

掌握同弧所对的圆周角与圆心角度数关系。

难点：

利用圆周角定理及推论解决问题。

考点精讲

1.圆周角与圆心角定义

圆心角：

顶点在圆心，两边和圆相交的角叫作圆心角。

圆周角：

顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。

注意：

圆周角、圆心角与弧的对应关系。

2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3.圆周角定理：

圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5

推论2：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：

圆内接四边形的对角互补。

（四个顶点在圆上的四边形叫作圆的内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆。

）

∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°

典例精讲

例题1（盘锦）已知，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，点D在⊙O上，且点D与点C在直径AB的两侧，连接CD，BD，若∠OCD＝22°，则∠ABD的度数是。

思路分析：

按点D在直线OC左侧、右侧两种情形分类讨论，利用圆周角定理求解。

答案：

解：

由题意，

①当点D在直线OC左侧时，如答图1所示，

连接OD，则∠1＝∠2＝22°，

∴∠COD＝180°－∠1－∠2＝136°，

∴∠AOD＝∠COD－∠AOC＝136°－90°＝46°，

∴∠ABD＝∠AOD＝23°；

②当点D在直线OC右侧时，如答图2所示，

连接OD，则∠1＝∠2＝22°，

并延长CO，则∠3＝∠1＋∠2＝44°，

∴∠AOD＝90°＋∠3＝90°＋44°＝134°，

∴∠ABD＝∠AOD＝67°，

综上所述，∠ABD的度数是23°或67°，

故答案为23°或67°。

技巧点拨：

此题考查圆周角定理及分类讨论的数学思想，画出图形，直观解决问题。

例题2（毕节地区）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC的长为（　　）

A.1B.C.3D.

思路分析：

由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，易得∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B，又由cos∠ACD＝，BC＝4，即可求得答案。

答案：

解：

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠BCD＋∠B＝90°，

∴∠B＝∠ACD，

∵cos∠ACD＝，

∴cos∠B＝，

∴tan∠B＝，

∵BC＝4，

∴tan∠B＝＝＝，

∴AC＝，

故选D。

技巧点拨：

此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。

例题3（德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：

⊙O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是（　　）

A.5B.C.D.

思路分析：

根据圆周角定理的推论，由AB为⊙O的直径得到∠ACB＝90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC＝＝，然后根据圆周角定理得到∠A＝∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ＝•PC＝PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC＝5代入计算即可。

答案：

解：

∵AB为⊙O的直径，

∴AB＝5，∠ACB＝90°，

∵tan∠ABC＝，

∴＝，

∵CP⊥CQ，

∴∠PCQ＝90°，

而∠A＝∠P，

∴△ACB∽△PCQ，

∴＝，

∴CQ＝•PC＝PC，

当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ＝×5＝，故选D。

技巧点拨：

本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，也考查了三角形相似的判定与性质。

提分宝典

在圆中找等角的依据：

1.连接半径，组成等腰三角形，找两个底角相等；

2.利用等弧、等弦、等弦心距找角的等量关系；

3.利用同角或等角的余角相等（多以直角三角形为载体）；

4.利用同角或等角的补角相等（多以圆内接四边形为载体）。

【针对训练】

（泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA。

（1）求证：

BC＝CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝2，求DF的长。

思路分析：

（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB＝∠DAC得出结论。

（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理，求得PC＝4，再由割线定理PC•PD＝PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC＝2，再证明△AFD∽△ACB，得＝＝＝，则可设FD＝x，AF＝x，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF。

答案：

（1）证明：

∵DC2＝CE•CA，

∴＝，△CDE∽△CAD，

∴∠CDB＝∠DAC，

又∵∠BDC＝∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC，

∴BC＝CD；

（2）解：

如图，连接OC，

∵BC＝CD，

∴∠DAC＝∠CAB，

又∵AO＝CO，

∴∠CAB＝∠ACO，

∴∠DAC＝∠ACO，

∴AD∥OC，

∴＝，

∵PB＝OB，CD＝2，

∴＝∴PC＝4又∵PC•PD＝PB•PA

∴4•（4＋2）＝OB•3OB

∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，

在Rt△ACB中，

AC＝＝＝2，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°

∴∠FDA＋∠BDC＝90°

∠CBA＋∠CAB＝90°

∵∠BDC＝∠CAB，

∴∠FDA＝∠CBA，

又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，

∴△AFD∽△ACB

∴＝＝＝，

在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝x，

∴在Rt△APF中，有（x）2＋（x＋6）2＝122，

求得DF＝。

技巧点拨：

本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解。

同步练习

（答题时间：

30分钟）

1.如图，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD＝60°，则∠CAD的度数等于（　　）

A.15°B.20°C.25°D.30°

2.如图，有一圆通过四边形ABCD的三顶点A、B、D，且此圆的半径为10，若∠A＝∠B＝90°，AD＝12，BC＝35，则四边形ABCD的面积为（　　）

A.288B.376C.420D.470

3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝（　　）

A.35°B.70°C.110°D.140°

**4.如图，AB为⊙O直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝20°，则∠DCA的度数是（　　）

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA、CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝。

*6.如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为。

*7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB。

（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；

（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数。

*8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD。

（1）求证：

AD＝CD；

（2）若AB＝10，cos∠ABC＝，求tan∠DBC的值。

答案

1.D解析：

∵在⊙O中，OD⊥BC，∴＝，

∴∠CAD＝∠BOD＝×60°＝30°。

故选D。

2.B解析：

连接BD，

∵∠A＝90°，

∴BD是⊙O的直径，

∵半径为10，

∴BD＝20，

根据勾股定理得：

AB＝16，

∴S梯形ABCD＝×AB＝（12＋35）×16＝376，故选B。

3.D解析：

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A＝∠DCE＝70°，

∴∠BOD＝2∠A＝140°。

故选D。

4.C解析：

如图，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝20°，

∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－20°＝70°。

根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，

∴∠ADC＋∠B＝180°，

∴∠B＝∠CDB＝70°，

∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝70°－20°＝50°，

故选C。

5.70°解析：

∵∠ABC＝100°，

∴∠PBA＝80°，

又∵∠P＝30°，

∴∠PAB＝180°－80°－30°＝70°，

∵四边形ABCD为圆的内接四边形，

∴∠C＋∠BAD＝180°，

∵∠BAD＋∠PAB＝180°，

∴∠C＝∠PAB＝70°。

6.解析：

连接CD，

∵∠COD＝90°，

∴CD是⊙A的直径，

即CD＝10，

∵点C（0，6），

∴OC＝6，

∴OD＝＝8，

∴cos∠ODC＝＝＝，

∵∠OBC＝∠ODC，

∴cos∠OBC＝，故答案为。

7.解：

（1）∵AB⊥CD，CD＝16，

∴CE＝DE＝8，

设OB＝x，又∵BE＝4，

∴x2＝（x－4）2＋82，解得：

x＝10，

∴⊙O的直径是20。

（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，

∴∠D＝∠BOD，

∵AB⊥CD，

∴∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠D＝90°，

∴∠D＝30°。

8.

（1）证明：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴OD⊥AC，

∴，

∴AD＝CD；

（2）解：

∵AB＝10，

∴OA＝OD＝AB＝5，

∵OD∥BC，

∴∠AOE＝∠ABC，

在Rt△AEO中，

OE＝OA•cos∠AOE＝OA•cos∠ABC＝5×＝3，

∴DE＝OD－OE＝5－3＝2，

∴AE＝＝＝4，

在Rt△AED中，

tan∠DAE＝＝＝，∵∠DBC＝∠DAE，∴tan∠DBC＝。