函数单调性判断或证明方法.docx
- 文档编号:30587597
- 上传时间:2023-08-18
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:271.48KB
函数单调性判断或证明方法.docx
《函数单调性判断或证明方法.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《函数单调性判断或证明方法.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
函数单调性判断或证明方法
函数单调性判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法.
(1)定义法。
用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设
,且
;②作差,求
;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)向有利于判断差值符号的方向变形;④定号,判断
的正负符号,当符号不确定时,应分类讨论;⑤下结论,根据函数单调性的定义下结论。
例1.判断函数
在(-1,+∞)上的单调性,并证明.
解:
设-1 则f(x1)-f(x2)= - = = ∵-1 ∴x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0. ∴当a>0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 当a<0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减. 例2.证明函数 在区间 和 上是增函数;在 上为减函数。 (增两端,减中间) 证明: 设 ,则 因为 ,所以 所以 , 所以 所以 设 则 , 因为 , 所以 , 所以 所以 同理,可得 (2)运算性质法. ①在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.(增+增=增;减+减=减;增-减=增,减-增=减) ②若 . ③当函数 . ④函数 二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论,直接判断函数的单调性,如一次函数、反比例函数等。 (3)图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数 的单 调区间。 解: 在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为 . (4)复合函数法.(步骤: ①求函数的定义域;②分解复合函数;③判断内、外层函数的单调性;④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合 是内层函数 的一个单调区间,则 便是原复合函数 的一个单调区间,如例4;若 不是内层函数 的一个单调区间,则需把 划分成内层函数 的若干个单调子区间,这些单调子区间便分别是原复合函数 的单调区间,如例5.) 设 , , 都是单调函数,则 在 上也是单调函数,其单调性由“同增异减”来确定,即“里外”函数增减性相同,复合函数为增函数,“里外”函数的增减性相反,复合函数为减函数。 如下表: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 例4.求函数 的单调区间 解原函数是由外层函数 和内层函数 复合而成的; 易知 是外层函数 的单调增区间; 令 ,解得 的取值范围为 ; 由于 是内层函数 的一个单调减区间,于是 便是原函数的一个单调区间; 根据复合函数“同增异减”的复合原则知, 是原函数的单调减区间。 例5求函数 的单调区间. 解原函数是由外层函数 和内层函数 复合而成的; 易知 和 都是外层函数 的单调减区间; 令 ,解得 的取值范围为 ; 结合二次函数的图象可知 不是内层函数 的一个单调区间,但可以把区间 划分成内层函数的两个单调子区间 和 ,其中 是其单调减区间, 是其单调增区间; 于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知, 是原函数的单调增区间, 是原函数的单调减区间。 同理,令 ,可求得 是原函数的单调增区间, 是原函数的单调减区间。 综上可知,原函数的单调增区间是 和 ,单调减区间是 和 . (5)含参数函数的单调性问题. 例.设 (先分离常数,即对函数的解析式进行变形,找到基本函数的类型,再分类讨论.) 解: 由题意得原函数的定义域为 , 当 上为减函数; 当 上为增函数。 (6)抽象函数的单调性.(抽象函数问题是指没有给出解析式,只给出一些特殊条件的函数问题) 常采用定义法.要充分利用已知条件,对变量进行合理赋值,并结合函数单调性的定义进行证明。 例1已知函数 对任意实数 , 均有 .且当 >0时, >0,试判断 的单调性,并说明理由. 解析: 设 ,且 ,则 - >0,故 >0. ∴ - = - = + - = >0. ∴ < .故 在(- ,+ )上为增函数. 例2.设f(x)定义于实数集上,当 时, ,且对于任意实数x、y,有 ,求证: 在R上为增函数。 证明: 在 中取 ,得 若 ,令 ,则 ,与 矛盾 所以 ,即有 当 时, ; 当 时, 而 所以 当 时, 所以对任意 ,恒有 设 ,则 所以 所以 在R上为增函数。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 调性 判断 证明 方法