第10讲数阵图二.docx
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第10讲数阵图二
第10讲数阵图和幻方〔二〕
幻方问题的研究在我国已流传了两千多年,它是具有独特形式的填数字问题。
传说公元前二千多年,在大禹治水的时候,在黄河支流洛水浮起一只大乌龟,它的背上有个奇特的图案,〔如图1〕,后来人们把它称之为“洛书〞、
相传在我国远古的时代,有一匹龙马游于黄河,马背上负有一幅奇的图案,这就是所谓的“河图〞,实际上它是由九个数字排成一定的格式〔如图2〕,图中有一个非常有趣的性质:
它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
一般地,在n×n〔n行n列〕的方格,不重不漏填上n×n个连续自然数,并且每行、每列、每条对角线上n个自然数的和都相等,如此称它为n阶幻方。
这个和叫做幻和,n叫做阶。
幻方又叫魔方,九宫算或纵横图。
魔方:
我国的纵横图通过东南亚国家,印度、阿拉伯传到西方。
由于纵横图具有十分奇幻的特性,西方把纵横图叫作MagicSquare,翻译成中文就是“幻方〞或“魔方〞。
九宫算:
所谓九宫,就是将一个正方形用两组与边平行的分割线,每组两条,分割成的九个小正方格。
每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个,不同的方格填入的数不同,使得三横行中每一横行三个数的和〔叫行和〕,三纵列中每一纵列三个数的和〔叫列和〕,两条对角线中每一条对角线上三个数的和〔叫对角和〕都相相等,这样得到的图就叫九宫〔算〕图。
纵横图:
长期以来,纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家辉,才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
辉在他的《续古摘奇算法》一书中,不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图,而且对其中的局部纵横图还给出了如何构造的规如此和方法,从而开创了这一组合数学研究的新领域。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
〔定中间数,填四角数,算其余数〕
三阶幻方:
就是将九个连续自然数填入3×3〔三行三列〕的方格,使每行每列、每条对角线的和相等,这叫做三阶幻方。
奇数阶幻方:
“罗伯法〞“楼贝法〞
西欧在十六,十七世纪时,构造幻方非常盛行。
十七世纪,法E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣,他专门派DeLaLoubere〔楼贝〕出使泰国〔1687-1688〕,Loubere:
将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法
1居上行正中央,依次斜填切莫忘,上出框时往下填,右出框时左边放,排重便在下格填,右上排重一个样。
扬辉方法:
扬辉在《续古摘奇算法》中,写到“九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出〞
辉给出的方形纵横图共有十三幅,它们是:
洛书数〔三阶幻方〕一幅,四四图〔四阶幻方〕两幅,五五图〔五阶幻方〕两幅,六六图〔六阶幻方〕两幅,七七图〔七阶幻方〕两幅,六十四图〔八阶幻方〕两幅,九九图〔九阶幻方〕一幅,百子图〔十阶幻方〕一幅〔参见图1-9-3〕。
其中还给出了“洛书数〞和“四四阴图〞的构造方法。
如“洛书数〞的构造方法为:
“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出〞。
但可惜的是,辉只停留在个别纵横图的构造上,没有上升成一般的理论。
他所造出的百子图,虽然每一行和,每一列都等于〔1+2+3+…97+98+99+100〕=505,但两对角和不是等于505,直到我国清代的潮〔165—?
〕费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。
偶数阶幻方:
对称交换的方法。
1、将数依次填入方格中,对角线满足要求。
2、调整行,对角线数不动,对称行的其它数对调。
3、调整列,对角线数不动,对称列的其它数对调。
数阵图:
把一些数字按照一定的要求,排列成各种各样的图形,叫做数阵图。
1、封闭型:
封闭型数阵图的解题突破口,是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数,采用的方法是建立有关的等式,通过以最小值到最大值的讨论,来确定每条边上的几个数之和,再将和数进展拆分以找到顶点应填入的数,其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
〔1—6〕
2、辐射型:
辐射型数阵图,解法的关键是确定中心数。
具体方法是:
通过所给条件建立有关等式,通过整除性的讨论,确定出中心数的取值,然后求出各边上数的和,最后将和自然数分拆成中心数的假如干个自然数之和,确定边上其他的数。
〔1—9和相等〕
3、复合型:
复合型数阵图,解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
〔1~7,和相等〕
将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
解:
中间两个数是重叠数,重叠次数都是1次,所以两个重叠数之和为
21×2-(1+2+…+8)=6。
在的八个数中,两个数之和为6的只有1与5,2与4。
每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8平分为两组,每组三数之和为15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15,
故有左如下图的填法。
如果两个重叠数为2与4,那么同理可得上页右如下图的填法。
1、把1—6六个数字填入如下图,使每个大圆上四个数字之和都是16。
2、把2、4、6、8、10、12、14、16这八个数分别填入如下图,使每个大圆五个数的和都是44。
将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
解:
此题有三个重叠数,即三角形三个顶点○的数都是重叠数,并且各重叠一次。
所以三个重叠数之和等于
11×3-(1+2+…+6)=12。
1~6中三个数之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。
如果三个重叠数是1,5,6,那么根据每条边上的三个数之和等于11,可得左如下图的填法。
容易发现,所填数不是1~6,不合题意。
同理,三个重叠数也不能是3,4,5。
经试验,当重叠数是2,4,6时,可以得到符合题意的填法(见右上图)。
练习2
将3—8这六个数分别填入如下图中,使得每条边上的三数之和都是15。
将1~6这六个自然数分别填入如下图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
解:
与典型举例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3,得到每边的三数之和等于
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3
=(21+重叠数之和)÷3
=7+重叠数之和÷3。
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。
考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。
与例2的方法类似,可得如下图的四种填法:
每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12
将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。
解:
四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次。
所以四个重叠数之和等于
18×4-(2+3+…+9)=28。
而在的八个数中,四数之和为28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1,1不是的八个数之一,所以,8和9只能填对角处。
由此得到左如下图所示的重叠数的两种填法:
“试填〞的结果,只有右上图的填法符合题意。
说明:
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1〞不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以
各数之和+重叠数之和
=每边各数之和×边数。
由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图,虽然大多数数阵问题要比它们复杂些,但只要紧紧抓住“重叠数〞进展分析,就能解决很多数阵问题。
1、将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下面的图里,使得每条边上的三个数之和是12。
2、将2—9这八个数填入如下图,使每条边上的三个数的和都等于16。
把1~7分别填入左如下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
解:
这道题的“重叠数〞很多。
有重叠2次的(中心数,记为a);有重叠1次的(三个数,分别记为b,c,d)。
根据题意应有
(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×3,
即a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分别为2,3,4才符合题意,填法见右上图。
练习5
在下面圆圈的空白处填入7、8、10、12,使每个院的四个数的和都相等。
把1—9这九个数填入如下图的方格中,并使每一行、每一列和对角线上的数的和都相等
解:
方法一:
〔1〕先填中心数,把1-9按从小到大顺序排成一排,第五个数填在中心格。
〔2〕将剩下的八个数排成两排,第一排为1、2、3、4、第二排为8、7、6、5即
1234
8765
〔3〕根据两排数字填上四个角,四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数,这两列数字按对角填。
〔4〕用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。
方法二:
(1)将这9个数字按照如下方式排列:
1
24
357
68
9
(2)上下两个数互换:
9
24
357
68
1
〔3〕左右两个数互换:
9
24
753
68
1
〔4〕填入表格即可。
1、将20-28填入九宫格中,使每行、每列、两条对角线的和相等。
1、将17-25填入九宫格中,使之成为一个三阶幻方。
A根底训练
1.把1~8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1~6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1~8填入左如下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1~8填入右上图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1~7填入右图的七个○,使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1,3,5,7,9,11,13分别填入左图中的七个空块中,使得每个圆的四个数之和都等于34。
答案与提示练习17
每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13
每个圆周的四数之和=14
每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16
3.提示:
四个顶点数之和为15×4-(1+2+…+8)=24,四个顶点数有3,6,7,8和4,5,7,8两种可能。
经试验只有左如下图一个解。
4.提示:
每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于
(1+2+…+8)÷7=18。
填法见右上图。
(填法不唯一)
5.提示:
顶上的数重叠2次,其它数都重叠1次。
(1+2+…+7)×2+顶上数=每条线上的和×5,
56+顶上数=每条线上的和×5。
由上式等号左端是5的倍数,推知“顶上数〞=4。
所以每条线上的三个数之和为
(56+4)÷5=12。
经试验填法如上图。
(填法不唯一)
例5类似(见上图)。
B冲刺夺冠
1.把1~8这8个数,分别填入图中的方格(每个数必须用一次),使“十一〞三笔中每三个方格数的和都相等.
2.把1~11这11个数分别填入如如下图11个○,使每条虚线上三个○数的和相等,一共有几种不同的和?
3.在如下图中的几个圈各填一个数,使每一条直线上的三个数中,当中的数是两边两个数的平均数,现在已经填好两个数,那么
().
4.在图的每个圆圈填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数的和相等,且均为偶数.
5.图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6,请在另外七个区域里分别填进2七个数,使每圆的和都等于15.
6.10个连续的自然数中第三个的数是9,把这10个数填入图中的10个方格,每格填一个数,要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等,那么这个和最小值是______.
7.将1~10这十个数分别填入如下图中的十个○,使每条线段上四个○数的和相等,每个三角形三个顶点上○数的和也相等.
8.把1~16这16个数,填入图中的16个○,使五个正方形的四个顶点上○数的和相等.
9.将1-12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里,使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26.
10.在图中的空格中填入四个数,使每个横行,每个竖行的三个数的积都相等.
11.在图中分别填入
和
使每横行,每竖列,每斜行的三个分数之和都相等.
12.把1~12这十二个数,填入如下图中的12个○,使每条线段上四个数的和相等,两个同心圆上的数的和也相等.
13.将1~5这五个数填入如下图中,使每行和每列的3个数的和相等.
14.将1~9这九个数分别填入图中○,使每条线段三个数相等.
———————————————答案——————————————————————
1.
2.
3.
4.
5.
6.24.
7.等:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
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