自考高等数学试题及答案.docx
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自考高等数学试题及答案
全国2008年10月高等教育自学考试高等数学
(一)试题课程代码:
00020
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设函数y=f(x)的定义域为(1,2],则f(ax)(a<0)的定义域是()
A.(1,2]B.[2,1)C.(a,2a]D.(2,a]
aaaaa
知识点:
函数的定义域
答案:
B
解:
1ax22x1
aa
2.设f(x)=x|x|,则f′(0)=()
A.1B.-1C.0D.不存在
知识点:
函数的导数
答案:
C
解:
x2,x0
f(x)xxx2,x0
f'(0)f_'(0)f'(0)0
3.下列极限中不能应用洛必达法则的是(
lnxcos2x
A.limB.lim
xxx
知识点:
洛必达法则
C.limlnxD.limexlnxx11xx
答案:
B
A.cosx-xsinxB.cosx+xsinxC.sinx-xcosxD.sinx+xcosx
知识点:
变上限积分的导数
答案:
A
解:
f(x)(0f(t)dt)'
5.设某商品的需求量
xcosx'cosxxsinx
D对价格p的需求函数为D=50-p,则需求
5
价格弹性函数为(
)
A.pB.p
C.1p
D.1
p
p250250p
5250p
5
p250
知识点:
需求价格弹性
答案:
B
EDPP
解:
EDPD'(P)P
P
P
EPD5D
550P
250P
5
二、填空题(本大题共
10小题,
每小题
3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设f(x)=x,则f(f(x))=
1x
知识点:
复合函数
答案:
1x2x
答案:
1
解:
limln(1n)nlnn
1lim1nn1
n
limnn1n
lim11
lnim111
n
8.lim(x
xa
知识点:
1
a)sin
ax
函数极限
答案:
0
9.设f′(0)=1,则limf(3t)f(t)
t02t
知识点:
函数导数定义答案:
2
解:
limf(3t)f(t)2limf(3t)f(t)2f'(0)2t02tt04t
10.设函数y=x+klnx在[1,e]上满足罗尔定理的条件,则
k=.
知识点:
罗尔定理
答案:
1e
解:
Qf
(1)f(e)
1kln1eklne1ek
11.曲线y=ln3x的竖直渐近线为知识点:
渐近线答案:
x=0
解:
limln3xx0
12.曲线y=xlnx-x在x=e处的切线方程为
知识点:
曲线切线方程答案:
yxe0
解:
Qf'(e)lnx111
xe
y01(xe)即yxe0
1
知识点:
定积分
答案:
0
0121x2dx
解:
奇函数在对称区间上的积分值为
14.微分方程xy′-ylny=0的通解是
知识点:
可分离变量的微分方程答案:
yeCx
解:
dydx
ylnyx
dydxylnyxdlnylnx
lny
lnlnylnxlnClnyCx
Cx
ye
15.设z=(x+y)exy,则z(0,0)=.
y
知识点:
偏导数答案:
1解:
法一:
zy(0,0)exyx(xy)exy(0,0)1
法二:
Qz(0,y)y
dz(0,y)1
dy
三、计算题
(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
知识点:
函数极限答案:
1
8
解:
知识点:
不定积分
知识点:
偏导数
答案:
1
解:
1
22xy
2
z
(1,1)
yx
20.设F(u,v)可微,且FuFv,z(x,y)是由方程F(ax+bz,ay-bz)=0(b≠0)所确定的隐函数,求z.
y
知识点:
隐函数的导数
答案:
aFv'bFv'Fu'
解:
Fy'aFv',Fz'bFu'bFv'bFu'Fv
zFy'aFv'aFv'
yFz'bFu'Fv'bFv'Fu
21.设y=ln(1+x+x22x)arcsin1(x0),求y′1x
知识点:
函数的导数
答案:
x
1xx22x
解:
知识点:
定积分答案:
ln32
解:
1ln(1
0(2
ln(1x)d
ln2
2x
dx
ln(1
x)
1
11
1
dx
01
2
x
0
x2x
1
1
xx1
ln2
2
ln2
ln
ln2
3
2
x0
3
3
1
2x
ln2
23.计算二重积分
ey2dxdy,D
其中
D是由x=0,y=1及y=x所
围成的区域.
知识点:
二重积分
答案:
1221e
解:
eydxdy
D
1
e
2
1y
1ey2
0
1
2
1dxdy
0
1
2e
1
ey2ydy
0
11ey2dy2edy
20
五、应用题(本大题9分)
24.求由抛物线y=x2和y=2-x2所围成图形的面积,并求此图形绕x轴旋转一周所成立体的体积.
知识点:
平面图形的面积和旋转体的体积答案:
83;136
解:
y=x2
yy=2xx2得交点-1,1,1,1
25.设f(x)在[0,1]上连续,且当x[0,1]时,恒有f(x)<1.证明方程2x-f(t)dt1在
(0,1)内至少存在一个根.知识点:
零点定理解:
x
令F(x)=2x-f(t)dt1,则F(x)在[0,1]上连续,且
F(0)=0-
0
f(t)dt110
F
(1)=2-
11
0f(t)dt11-0f(t)dt0
Qf(x)
11
1f(t)dt1或f(t)dtf()1,[0,1]
根据零点定理有F(x)在0,1内至少有一个零点
x
即方程2x-f(t)dt=1在0,1内至少有一个零点
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