郭硕鸿电动力学习题解答完全版16章.docx
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郭硕鸿电动力学习题解答完全版16章
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
1.根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式
∇(Ar⋅Br)=Br×(∇×Ar)+(Br⋅∇)Ar+Ar×(∇×Br)+(Ar⋅∇)Br
Ar×(∇×Ar)=1∇Ar2−(Ar⋅∇)Ar
2
解
1∇(Av⋅Bv)=Bv×(∇×Av)+(Bv⋅∇)Av+Av×(∇×Bv)+(Av⋅∇)Bv
首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题
∇将作用于Av和Bv
又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质
因此利用公式cv×(av×bv)=av⋅(cv⋅bv)−(cv⋅av)bv可得上式其中右边前两项是∇作用于
v
v
A后两项是∇作用于B
v
v
2根据第一个公式令AB可得证
2.设u是空间坐标x
yz的函数证明
∇f(u)=df∇u
du
∇⋅Ar(u)=∇u⋅
dAr
du
r
∇×Ar(u)=∇u×
.
dA
du
证明
1
∇f(u)=∂f(u)erx+∂f(u)ery+∂f(u)erz=
df
du∂x
⋅
ex+
r
df∂uery+df∂ur
⋅
⋅
ez=df∇u
∂u
∂x
∂y
∂z
du∂y
du∂z
du
2
∂Ary(u)
∂y
dAry(u)
du
∂Arx(u)+
∂x
+∂Arzz(u)=dArx(u)⋅∂u+
⋅∂u+dArz(u)⋅∂u
r
∂z=∇u⋅du
∇⋅Ar(u)=
dA
∂z
du
∂x
∂y
dz
3
r
r
r
e
z
∂
e
e
∂Ary)erx+(∂Ar
−
∂z
∂Ar
∂Arx)erz=
∂y
r
r
x
y
∇×Ar(u)=
=(∂
x−∂
)ey+(y−
∂x
∂
∂
A
Ar
z
z
∂x
∂y
Ay(u)Az(u)
∂z
∂y
∂z
∂x
r
r
r
A
x(u)
-1-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
=(dArz∂
dAry∂ur
dArx∂u−dA
r
r
u−dAu
r
dAr
)ey+(dA
u−du∂z)ex+(
∂ur
∂
∂r
x
y
z
du∂xdu∂y)ez=∇u×du
du∂y
du∂zdu∂x
3.设r=(x−x
'
)
2
+(y−y
'
)
2
+(z−z
'
)
2
为源点x
'
到场点x的距离r的方向规定为从
源点指向场点
r∂'+er∂'+er∂
1证明下列结果并体会对源变数求微商(∇
'
=e
∂z')与对场变数求
z
x∂x
y∂y
微商(∇=erx∂
r∂r∂
+ez
∂z)的关系
∂x+ey∂y
r
r
r
r
r
r
1
r
'1
r
r
r
r
r
∇r=−∇'r=,∇=−∇=−
∇×r
3=0,∇⋅r=−∇'
3=0.(r≠0)
r
r
3
3
r
(最后一式在人r0点不成立见第二章第五节)
2求
∇⋅rr,∇×rr,(ar⋅∇)rr,∇(ar⋅rr),∇⋅[Er0sin(kr⋅rr)]及∇×[Er0sin(kr⋅rr)],其中ar,kr及Er0均为常矢量
证明∇⋅rr=
∂(x−x
∂x
')+
∂(y−y
∂y
'
)+∂(z−z
')=3
∂z
r
r
r
e
e
e
x
y
z
∇×rr=
∂
∂
∂
=0
∂x
x−x
∂y
y−y
∂z
z−z
'
'
'
∂v
(av⋅∇)rr=[(axevx+ayevy+azevz)⋅(ex+∂∂yevy+∂∂zevz)][(x−x')evx+(y−y')ery+(z−z')evz]
∂x
=(ax∂+ay∂+az)[(x−x')evx+(y−y')ery+(z−z')evz]
∂
∂x
∂y
∂z
=axevx+ayevy+azevz=av
∇(av⋅rv)=av×(∇×rv)+(av⋅∇)rv+rr×(∇×av)+(rv⋅∇)⋅av
=(av⋅∇)rv+rv×(∇×av)+(rv⋅ar)⋅av
=av+rv×(∇×av)+(rv⋅∇)⋅av
∇⋅[Er0sin(kr⋅rr)]=[∇(sin(kr⋅rr)]⋅Er0+sin(kr⋅rr)(∇⋅Er0)
-2-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
=[∂∂xsin(kr⋅rr)erx+∂∂ysin(kr⋅rr)ery+∂∂zsin(kr⋅rr)erz]E0
=cos(kr⋅rr)(kxerx+kyery+kzerz)Er0=cos(kr⋅rr)(kr⋅Er)
∇×[Er0sin(kr⋅rr)]=[∇sin(kr⋅rr)]×Er0+sin(kr⋅rr)∇×Er0
4.应用高斯定理证明
dV∇×fr=∫SdSr×fr
∫
V
应用斯托克斯
Stokes定理证明
∫SdSr×∇φ=∫Ldlrφ
证明
1)由高斯定理
dV∇⋅gr=∫SdSr⋅gr
∫
V
∂g
即
(∂
g
∂x
∂g
∫
V
x+
y+
zz)dV=∫gxdSx+gydSy+gzdSz
∂
∂y
S
而∇×frdV=[(fz−∂∂zfy)ir+(fx−∂∂xfz)rj+(fy−∂∂yfx)kr]dV
∂
∂
∂
∫
V
∫
∂y
∂z
∂x
=
∫
[∂∂x(fykr−fzrj)+∂∂y(fzir−fxkr)+∂∂z(fxrj−fyir)]dV
rr
[(fzdSy−fydSz)ir+(fxdSz−fzdSx)rj+(fydSx−fxdSy)kr]
(fykr−fzrj)dSx+(fzir−fxkr)dSy+(fxrj−fyir)dSz
∫
S
dS×f
=
∫
又
S
=
∫
若令Hx=fykr−fzrj,Hy=fzir−fxkr,HZ=fxrj−fyir
则上式就是
∇⋅HrdV=∫SdSr⋅Hr,高斯定理则证毕
∫
V
2)由斯托克斯公式有
fr⋅dlr=∫S∇×fr⋅dSr
∫
l
fr⋅dlr=
l(fxdlx+fydly+fzdlz)
∫
∫
l
∫S∇×fr⋅dSr=∫S
fz−∂fy)dSx+(fx−∂fz)dSy+(fy−∂fx)dSz
∂z∂z∂x∂x∂y
∂
∂
∂
(∂y
而∫dlrφ=
∫
l(φidlx+φjdly+φkdlz)
l
-3-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
∫SdSr×∇φ=∫S
(
dSz)ir+(
dSx)rj+(
∂y
dSy)kr
∂φdS−∂φ
∂φdS−∂φ
∂φdS−
∂φ
∂x
y
z
x
∂z
∂y
∂x
∂z
r
∂φrj)dS+(∂φ
r
i−∂∂φxkr)dSy+(∂∂φxrj−∂φ∂yir)dSz
∂φ
=
∫
(
k−
x
∂y
∂z
∂z
若令fx=φi,fy=φj,fz=φk
则证毕
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
Pr(t)=
ρ(x,t)xdV
r'
r'
'
∫
V
利用电荷守恒定律∇⋅Jr+∂ρ
r
∂t=0证明P的变化率为
dPr=
dt
r
r'
J(x,t)dV'
∫
V
∂Pr=∂ρr'
r'
∂txdV
r
∫
V
'
=−
∫
V
∇
'
j
'
xdV
r'
'
证明
∂t
r
∂t)x=−
∂P
r'
∇'rj'x'dV'=−∫[∇'⋅(x'j)−(∇'x')⋅rj']dV'=
r'
(
∫
V
∫
V
(jx'−∇'⋅(x'j)dV'
=
∫
jxdV
'
−
∫Sxrj⋅dSr
若S→∞,则()⋅
xjdSr
r
∫
=0,(rjS=0)
r
∂t)y=
r
∂ρ
(∂ρ∂t)z=jdV
(
∫
jdV
y
'
∫
'
同理
即
z
dPr=rr'
∫
jx,t)dV'
(
dt
V
mr×Rr的旋度等于标量ϕ=mr⋅Rr的梯
6.若m是常矢量证明除R0点以外矢量Ar=
r
R
3
R
3
度的负值即
∇×Ar=−∇ϕ
其中R为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点
证明
mv×Rv)
1
r
1
r
1v
r
1
r
∇×Av=∇×(
=−∇×[mv×(∇R1)]=(∇⋅mv)∇+(mv⋅∇)∇−[∇⋅(∇)]m−[(∇)⋅∇]mv
R
3
-4-
电动力学习题解答
第一章
电磁现象的普遍规律
1
=(mv⋅∇)∇,(r≠0)
r
∇ϕ=∇(mv⋅Rv
1
r
1
r
1
r
1
r
)=−∇[mv⋅(∇)]=−mv×[∇×(∇)]−(∇)×(∇×mv)−(mv⋅∇)∇
R
3
−[(∇)⋅∇]mv=−(mv⋅∇)∇
1
r
1
r
∴∇×Av=−∇ϕ
7有一内外半径分别为r1和r2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自
由电荷ρf求
1空间各点的电场
2极化体电荷和极化面电荷分布
∫
解
1
∫SDr⋅dSr=
ρfdV,
(r2>r>r1)
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- 郭硕鸿 电动力学 习题 解答 完全 16