北师大版初中数学八年级下册第一单元三角形的证明单元测试.docx
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北师大版初中数学八年级下册第一单元三角形的证明单元测试
初中数学三角形的证明单元测试
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
评分人
得分
一、选择题(本题共24道小题,每小题2分,共48分)
1.如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为( )
A.18
B.12
C.6
D.4
2.已知,如图,△ABC中,AB=AC,DE是AB的中垂线,点D在AB上,点E在AC上,若△ABC的周长为25cm,△EBC的周长为16cm,则AC的长度为( )
A.16cm
B.9cm
C.8cm
D.7cm
3.如果三角形内的一点到三边的距离相等,则这点是( )
A.三角形三条边垂直平分线的交点
B.三角形三条边中线的交点
C.三角形三个内角平分线的交点
D.三角形三条边上高的交点
4.如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
5.如图,△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,以下结论:
(1)△ABD≌△ACD;
(2)AB=AC;
(3)∠B=∠C;(4)AD是△ABC的角平分线.
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.与三角形的三边距离相等的点是( )
A.三条中线交点
B.3条角平分线交点
C.3条垂直平分线交点
7.若等腰三角形的两边长分别为4和8,则它的周长为( )
A.12
B.16
C.20
D.16或20
8.如图:
DE是△ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则△EBC的周长为( )厘米.
A.16
B.18
C.26
D.28
9.下列各图中,∠1大于∠2的是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图,到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的( )
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.三边中线的交点
11.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.40°
B.100°
C.40°或100°
D.70°或50°
12.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A等于( )
A.30°
B.40°
C.45°
D.36°
13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数为( )
A.80°
B.75°
C.65°
D.45°
14.如图,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,且PA平分∠BAC,则△APD与△APE全等的理由是( )
A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA
15.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为E,且BE=DE,下列结论不一定成立的是( )
A.AB=AD
B.AC=BD
C.CA平分∠BCD
D.△BEC≌△DEC
16.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的( )
A.三条中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点
D.三条角平分线的交点
17.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于D,且DC=8cm,则点D到AB的距离是( )cm.
A.16
B.8
C.6
D.4
18.已知点P在∠AOB的平分线上,点P到OA的距离为10,点Q是OB边上的任意一点,则下列结论正确的是( )
A.PQ>10
B.PQ≥10
C.PQ<10
D.PQ≤10
19.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=( )
A.36°
B.54°
C.18°
D.64°
20.到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形的( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三边中垂线的交点
21.如图,在周长为20cm的▱ABCD中,AB≠AD,对角线AC、BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为( )
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
22.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一个锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.一条直角边和一个锐角分别相等
23.对于直角三角形,下列条件不能判定它们全等的是( )
A.一锐角和相邻的直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.两个锐角对应相等
D.两条直角边对应相等
24.如图:
△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6cm,则△DEB的周长是( )
A.6cm
B.4cm
C.10cm
D.以上都不对
第Ⅱ卷(非选择题)
评分人
得分
二、解答题(本题共26道小题,共52分)
25.(2分)如图,在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.
(1)若BC=10,求△ADE的周长;
(2)若∠BAC=130°,求∠DAE的度数.
26.(2分)如图,在平面直角坐标系中,在第一象限内,OM与OB是两坐标轴的夹角的三等分线点E是OM上一点,EC⊥X轴于C点,ED⊥OB于D点,OD=8,OE=10
(1)求证:
∠ECD=∠EDC;
(2)求证:
OE垂直平分CD.
27.(2分)如图,点C、E、B、F在一条直线上,AB⊥CF于B,DE⊥CF于E,AC=DF,AB=DE.求证:
CE=BF.
28.(2分)如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,DE垂直平分AB,△BEC周长为22,BC=9.
(1)求∠EBC的度数;
(2)求三角形ABC周长.
29.(2分)如图,等腰△ABC的腰长AB=10cm,AB的垂直平分线交另一腰AC于D,△BCD的周长为
26cm,则底边BC的长是多少?
30.(2分)在锐角△ABC中,直线l为BC的中垂线,直线m为∠ABC的角平分线,且l与m相交于点P.若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数.
31.(2分)如图,AB=AC,∠C=67°,AB的垂直平分线EF交AC于点D,求∠DBC的度数.
32.(2分)作图题:
(不写作法,但必须保留作图痕迹)
如图:
某地有两所大学和两条相交叉的公路,(点M,N表示大学,AO,BO表示公路).现计划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.你能确定仓库P应该建在什么位置吗?
在所给的图形中画出你的设计方案.
33.(2分)如图,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,BD平分∠ABC,求证:
AB=BC+CD.
34.(2分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=135°,EF、GH分别是AB、AC两边的垂直平分线,与BC边交于点E、G,求∠EAG的度数.
35.(2分)如图,已知△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,点F在AC上,且BD=FD,求证:
AE-BE=AF.
36.(2分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DE垂直平分AC,交BC于D,交AC于E,且DE=2cm,求BC的长.
37.(2分)如图,AB=AC,MB=MC.求证:
直线AM垂直平分线段BC.
38.(2分)已知:
如图,△ABC中,∠A=90°,现要在AC边上确定一点D,使点D到BA、BC的距离
相等.
(1)请你按照要求,在图上确定出点D的位置(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若AC=6,AB=8,求AD、BD的长(直接写出结果).
39.(2分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,DE⊥BC于D,DE=DC.
求证:
BC=AB+AE.
40.(2分)如图,已知AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于F,请说明BE=CD.
41.(2分)如图,已知直线AM过△ABC的边BC的中点D,BE⊥AM于E,CF⊥AM于F.求证:
DE=DF.
42.(2分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
求证:
AD是△ABC的角平分线.
43.(2分)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E在BC上,且AD=AE,求证:
BD=CE.
44.(2分)如图,DE是△ABC的AB边的垂直平分线,AE平分∠BAC,∠B=30°,求∠C的度数.
45.(2分)在数学活动课上,小明提出这样一个问题:
∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,如图,则∠EAB是多少度?
46.(2分)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得锐角是50°.
(1)请你根据题意画出图形;
(2)试求出∠B的度数.
47.(2分)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB,D是AB的中点,DE⊥AB交AC于E,若∠BEC=∠C.
(1)若BE平分∠ABC,求∠A的度数;
(2)若△ABC的周长为10,△BCE的周长为6,求BC的长度.
48.(2分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,DB=10,则AC是多少?
49.(2分)如图在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
求证:
∠B=∠C.
50.(2分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
参考答案
1.解:
∵DE是BC边的垂直平分线,
∴BE=CE,BD=CD,
∵△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,
∴EC+ED+CD=24①,(AB+AC+BC)-(AE+ED+CD+AC)=(AE+BE+2CD)-(AE+ED+CD)=BE+CD-ED=12②,
①-②得:
2ED=12,
解得:
ED=6.
故选C.
2.解:
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△ABC的周长为25cm,△EBC的周长为16cm,AC=AB
∴2AC+BC=25cm
BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm
即
解得:
AC=9cm
所以选B
3.解:
三角形内到三边的距离相等的点是三个内角平分线的交点
所以选C
4.解:
∵PD⊥OA
∴∠PDO=90°
∵OD=8,OP=10
∴PD=
∵∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB
∴PE=PD=6
所以选B
5.解:
∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴
(1)△ABD≌△ACD正确
∴
(2)AB=AC正确
(3)∠B=∠C正确
∠BAD=∠CAD
∴(4)AD是△ABC的角平分线
所以选D
6.解:
到三角形三边距离相等的点是角平分线的交点
所以选B
7.解:
①当4为腰时,4+4=8,故此种情况不存在
②当8为腰时,8-4<8<8+4,满足题意
故此三角形的周长=8+8+4=20
所以选C
8.解:
∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线,
∴AE=CE,
∴AE+BE=CE+BE=10,
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米,
故选B.
9.解:
A、∵AB=AC
∴∠1=∠2,故本选项错误
B、∠1=∠2(对顶角相等),故本选项错误
C、依据对顶角相等,∠1=∠3
∵a∥b
∴∠2=∠3
∴∠1=∠2,故本选项错误
D、依据三角形的外角性质,∠1>∠2,故本选项正确
所以选D
10.解:
△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
所以选A
11.解:
当40°是等腰三角形的顶角时,则顶角就是40°
当40°是等腰三角形的底角时,则顶角是180°-40°×2=100°
所以选:
C
12.解:
∵BD=AD
∴∠A=∠ABD
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∴∠C=∠BDC=2∠A
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°
∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式,得∠A+2•2∠A=180°
解得∠A=36°
所以选:
D
13.解:
已知AB=AC,∠A=30°
可得∠ABC=∠ACB=75°
依据线段垂直平分线的性质可推出AD=CD
所以∠A=∠ACD=30°
所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°
所以选D
14.解:
由已知得,AP=AP,∠DAP=∠EAP,∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定
所以选B
15.解:
∵AC⊥BD,BE=DE
∴AB=AD,BC=CD,故A正确
∴CA平分∠BCD;故C正确
在△BEC和△DEC中
∴△BEC≌△DEC(SSS),故D正确
∵△ABD不一定是等边三角形,故AB不一定等于BD,故B错误
所以选B
16.解:
三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点
所以选:
B
17.解:
如图,过点D作DE⊥AB于E
∵AD是∠BAC的平分线,∠C=90°
∴DE=CD=8cm
即点D到AB的距离是8cm
所以选B
18.解:
∵点P在∠AOB的平分线上,点P到OA边的距离等于10,
∴点P到OB的距离为10,
∵点Q是OB边上的任意一点,
∴PQ≥10.
故选B.
19.解答:
∵AB=AC,∠ABC=72°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∴∠A=36°,
∵BD⊥AC,
∴∠ABD=90°-36°=54°.
故选:
B.
20.解:
到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形的三边中垂线的交点.
故选D.
21.解:
依据平行四边形的性质得:
OB=OD
∵EO⊥BD
∴EO为BD的垂直平分线
依据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得:
BE=DE
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=
×20=10cm
所以选:
D
22.解:
A、符合SAS定理,依据SAS可以推出两直角三角形全等,故本选项错误
B、符合AAS定理,依据AAS可以推出两直角三角形全等,故本选项错误
C、符合HL定理,依据HL可以推出两直角三角形全等,故本选项错误
D、当一边是两角的夹边,另一个三角形是一角的对边时,两直角三角形就不全等,故本选项正确
所以选D
23.解:
A、可以利用角边角定理判定两三角形全等,故本选项正确
B、可以利用角角边定理判定两三角形全等,故本选项正确
C、两个锐角相等,没有边的关系,两三角形大小不一定相等,所以不一定全等,故本选项错误
D、可以利用边角边定理判定两三角形全等,故本选项正确
所以选C
24.解:
∵∠C=90°,∴DC⊥AC
又AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB
∴CD=ED
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE,又AC=BC
∴AC=AE=BC,又AB=6cm
∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm
所以选A
25.解:
(1)∵在△ABC中,AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E,
∴AD=BD,AE=CE,
又∵BC=10,
∴△ADE周长为:
AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=10;
(2)∵AD=BD,AE=CE,
∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE,
又∵∠BAC=130°,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°,
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=50°,
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=130°-50°=80°.
26.证明:
(1)∵OM与OB是两坐标轴的夹角的三等分线,
∴OM平分∠BOC,
∵EC⊥X轴于C点,ED⊥OB于D点,
∴DE=CE,
∴∠ECD=∠EDC;
(2)在Rt△ODE中,OD=8,OE=10,由勾股定理可求得DE=6,
由
(1)可得EC=ED=6,
在Rt△OCE中,OE=10,EC=6,由勾股定理可求得OC=8,
∴OC=OD,
∴点O、E都在线段CD的垂直平分线上,
∴OE垂直平分CD.
27.证明:
∵AB⊥CD,DE⊥CF
∴∠ABC=∠DEF=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴BC=EF
∴BC-BE=EF-BE
即:
CE=BF
28.解:
(1)∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB,
∴∠ABE=∠A=36°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°;
(2)∵△BEC周长为22,EA=EB,
∴AC+BC=22,
又∵BC=9,
∴AC=13,
∴三角形ABC周长=13+13+9=35.
29.解:
∵DE是AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC
∵等腰△ABC的腰长AB=10cm,△BCD的周长为26cm
∴10+BC=26
解得BC=16cm
30.解:
∵直线m为∠ABC的角平分线,
∴∠ABP=∠CBP,
∵直线l为BC的中垂线,
∴PB=PC,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在锐角△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
又∵∠A=60°,∠ACP=24°,
∴∠ABP=32°.
31.解:
∵AB=AC,∠C=67°
∴∠ABC=∠C=67°
∴∠A=180°-67°-67°=46°
∵EF是AB的垂直平分线
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD=46°
∴∠DBC=67°-46°=21°
32.解:
如图所示
(1)连接MN,分别以M、N为圆心,以大于
为半径画圆,两圆相交于DE,连接DE,则DE即为线段MN的垂直平分线
(2)以O为圆心,以任意长为半径画圆,分别交OA、OB于G、H,再分别以G、H为圆心,以大于
为半径画圆,两圆相交于F,连接OF,则OF即为∠AOB的平分线
(3)DE与OF相交于点P,则点P即为所求
33.证明:
过点D作DE⊥AB于点E
∵BD平分∠ABC
∴CD=DE
在△BCD与△BED中
∴△BCD≌△BED(AAS)
∴BC=BE
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠A=45°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=AE=CD
∴AB=BE+AE=BC+CD
34.解:
∵EF、GH分别是AB、AC两边的垂直平分线
∴AE=BE,AG=CG
∴∠BAE=∠B,∠CAG=∠C
∵∠BAC=135°
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=45°
∴∠BAE+∠CAG=45°
∴∠EAG=∠BAC-(∠BAE+∠CAG)=135°-45°=90°
35.证明:
∵AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,∠C=90°,
∴DC=DE,
在Rt△ACD和Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
同理可得Rt△FCD和Rt△BED,
∴AC=AE,CF=BE,
∴AE-BE=AF.
36.解:
连接AD
∵DE垂直平分AC
∴AD=CD,∠DEC=90°
∴∠DAC=∠C
∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
∴∠B=∠C=
°
∴∠DAC=∠C=∠B=30°
∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=90°
在Rt△CDE中,∠C=30°,DE=2cm
∴CD=2DE=4cm
∴AD=CD=4cm
在Rt△BAD中,∠B=30°
∴BD=2AD=8cm
∴BC=BD+CD=12(cm)
37.证明:
∵AB=AC,MB=MC,
∴A、M都在BC的垂直平分线上,
即直线AM垂直平分线段BC.
38.解:
(1)作∠ABC的平分线,交AC于点D
则点D即为所求的点
(2)∵AC=6,AB=8
∴BC=
∴AD=
BD=
39.解:
∵∠BAC=90°,BE平分∠ABC,DE⊥BC于D
∴AE=DE
∵BE是公共边
∴△BDE≌△BAE(HL)
∴BD=BA,AE=DE=DC
∴BC=BD+DC=AB+AE
40.解:
理由:
∵AB=AC,∠ADB=∠AEC=90°,∠A=∠A
∴△ABD≌△ACE
∴AD=AE
∵AC=AB
∴AC-AD=AB-AE
∴BE=CD
41.证明:
∵D是边BC的中
∴BD=DC
又∵BE⊥AM于E,CF⊥AM于F
∴∠BDE=∠CDF
∴△DBE≌△DCF
∴DE=DF
42.证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形
∴Rt△BDE≌Rt△DCF(HL)
∴DE=DF
又∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴AD是角平分线
43.证明:
∵AB=AC,AD=AE
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED
∵∠ADE=∠B+∠BAD,∠AED=∠C+∠EAC
∴∠BAD=∠CAE
∵AB=AC,AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE
44.解:
∵DE是△ABC的AB边的垂直平分线
∴BE=AE
∵∠B=30°
∴∠B=∠BAE=30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAC=2∠BAE=60°
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=90°
45.解:
过点E作AD的垂线,垂足为F
∵∠DFE=∠C=90°,DE平分∠ADC,DE=DE
∴△DCE≌△DFE(AAS)
∴∠DEC=∠DEF,EC=EF
又∵EC=EB,则EF=EB,且∠B=∠EFA=90°,AE=AE
∴△AFE≌△ABE(HL)
∴∠FEA=∠BEA
又∵∠DEC+∠DEF+∠FEA+∠BEA=180°
∴∠AED=90°
∴∠CED+∠BEA=90°
又∠EAB+∠BEA=90°
∴∠EAB=∠CED=35°
46.
(1)解:
如图所示:
(2)如图1,当∠A为锐角时
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°
∴∠A=40°
∴∠B=
°
如图2,当∠A为钝角时
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°
∴∠,NAB=40°
∴∠BAC=140°
∴∠B=∠C=
°
所以答案是:
70°或20°
47.解:
(1)设∠A的度数为x,
∵D是AB的中点,DE⊥AB,
∴EA=EB,
∴∠ABE=∠
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