全等三角形压轴题3.docx
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全等三角形压轴题3
全等三角形压轴题3
1.在^ABC中,BC=AC/BCA=900,P为直线AC上一点,过A作AD丄BP于D,交直线BC于Q.
(1)如图1,当P在线段AC上时,求证:
BP=AQ.
(2)当P在线段AC的延长线上时,请在图2中画出图形,并求/CPQ
(3)如图3,当P在线段CA的延长线上时,/DBA=
时,AQ=2BD.
图3
2.我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形,反之,若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形,那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边.如图1,ABD=S^ADC,则BD=CD成立.请你
直接应用上述结论解决以下问题:
(1)已知:
如图2,AD是^ABC的中线,沿AD翻折△ADC,使点C落在点E,DE交
1
AB于尸,若^ADE与^ADB重叠部分面积等于△ABC面积的—,问线段AE与线段
4
BD有什么关系?
在图中按要求画出图形,并说明理由.
(2)已知:
如图3,在^ABC中,/ACB=900,AC=2,AB=4,点D是AB边的中点,点P是BC边上的任意一点,连接PD,沿PD翻折△ADP,使点A落在£,若^PDE
1
与^PDB重叠部分的面积等于△ABP面积的丄,直接写出
4
BP的值.
图1
图3
3.在^ABC中,已知D为边BC上一点,若ABC
BAD
(1)当D为边BC上一点,并且CD=CAx40,”;
y30时,则AB
AC(填“=或
(2)如果把
(1)中的条件“CD=C®为“CD=AB且x,y的取值不变,那么
(1)中的结论是否仍成立?
若成立请写出证明过程,若不成立请说明理由;
(3)若CD=CA=AB请写出y与x的关系式及x的取值范围.
(不写解答过程,直接写出结果)
PA交CB于点E,F
4.在RtAABC中,AC=BCP是BC垂直平分线MN上一动点,直线
是点E关于MN的对称点,直线PF交AB于点D,连接CD交PA于点G.
(1)如图1,若P点在△ABC的边BC上时,此时点P、E、F重合,线段AP上的点Q关于的对称点D恰好在边AB上,连接CQ,求证:
CQ平分/ACB;
(2)如图2,若点P移到BC上方,且/CAP=22.5,求/CDP的度数;
线段AE、CD、DF有什么确定的数量关系,请
(3)若点P移动到△ABC的内部时,画出图形,并直接写出结论:
B
B
B
5.如图1,已知A(a,0),B(0,b)a2b212a12b720,OC:
OA=1:
分别为两坐标轴上的点,且
3.
a、b满足
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若D(1,0),过点D的直线分别交ABBC于E、F两点,坐标分别为Xe、XF.当bD平分△BEF的面积时,求Xe+Xf的值;
设E、F两点的横
(3)如图2,若M(2,4),点P是x轴上A点右侧一动点,AHXPM于点H,在HM上取点G,使HG=HA连接CG当点P在点A右侧运动时,/CGM的度数是否改变?
若不变,请求其值;若改变,请说明理由.
若AD=BE求证:
/BAD=/CBE
⑴点D、E分别在线段BA、BC上
9.已知A(a,0)、B(0,b),且满足2a2+b2+4a—4b=—6,以A为直角顶点,且以为腰作等腰直角^ABC
(1)求C点的坐标
AB
CM
⑵如图,若点C在第二象限,点M在BC的延长线上,且AM=AN,AM丄AN,贝U与BN存在怎样的关系?
请予以证明⑶如图,若点C在第二象限,以AB为边在直线AB的另一侧做等边^ABD,连接
CD,过A作AF丄BC于F,AF与CD交于点E,试判断线段CEAE、CD之间存在何种数量关系,并证明你的结论
10.如图
(1),已知A(O,a),B(b,O),且a,b满足a2+2ab+b2+(b+3)2=0,D为
x轴上B点左边一动点,连AD,过A作AE丄AD交x轴于F且AE=AD连BE交y轴于
点P.
⑴求/ABO的度数;⑵若A0=30P求E点的坐标;
(3)如图
(2)若C为线段BF靠近B)的一个三等分点,且/AC0=600试求/AFB的度
(2)如图2,△ACB和厶DCE均为等腰直角三角形,/ACB=/DCE=90,点A、D、E在同一直线上,CM为^DCE边DE上的高,连接BE
①求证:
2CM+BE=AE
②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置,①中的结论还成立吗?
若不成立,写出它们之间的数量关系.
13.已知在等腰△ABC中,AB=AC在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连接DE,DE所在直线交直线BC与点M。
请探究:
(1)如图
(1),当点E在线段AC上,点D在AB延长线上时,若BD=CE请判断线段MD和线段ME的数量关系,并证明你的结论。
(2)如图
(2),当点E在CA的延长线上,点D在AB的延长线上时,若BD=CE则
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,说明理由;
(3)如图(3),当点E在CA的延长线上,点D在线段AB上(点D不与A,B重合),DE所在直线与直线
ME的数量关系。
15.如图,△ABC中,AB=AC,点P是三角形右外一点,且/APB=/ABC.
(1)如图1,若/BAC=60,点P恰巧在/ABC的平分线上,PA=2,求PB的长;
(2)如图2,若/BAC=60,探究PA,PB,PC的数量关系,并证明;
(3)如图3,若/BAC=120,请直接写出PA,PB,PC的数量关系.
16.如图,若△ABC和^ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:
CDBE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时,CDBE是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(2)当^ADE绕A点旋转到图11的位置时,△AMN是否还是等边三角形?
若是,请给出证明,若不是,请说明理由.
17.如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H.
(1)证明:
△ABG=△ADE;
(2)试猜想BHD的度数,并说明理由;
(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0° 为Si,△ADG的面积为S2,判断Si与S2的大小关系,并给予证明. 19.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE, (1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系,并证明你的结论; (2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转,使E点落在BC边上,如图2,连接AE和Gc.你认为 (1)中的结论是否还成立? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与 /CBM 的平分线BF相交于点F. ⑴如图14—1,当点E在AB边的中点位置时: 通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想. ⑵如图14—2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 H14-2 22.在RtAABC中,AC=BC,/ACB=90°D是AC的中点,DG丄AC交AB于点G. (1)如图1,E为线段DC上任意一点,点F在线段DG上,且DE=DF连结EF与 CF,过点F作FH丄FC,交直线AB于点H. ①求证: DG=DC②判断FH与FC的数量关系并加以证明. (2)若E为线段DC的延长线上任意一点,点F在射线DG上, (1)中的其他条件不变,借助图2画出图形。 在你所画图形中找出一对全等三角形,并判断你在 (1)中得出 的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论,不必证明) 23.以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE, badCAE90.连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究: AM与DE的位置关系及数量关系. ⑴如图①当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是;线段AM与DE的 数量关系是; ⑵将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后,如图②所示, ⑴问中得到的两个结论是否发生改变? 并说明理由. 24.锐角为450的直角三角形的两直角边长也相等,这样的三角形称为等腰直角三角形•我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形,也可称它为等腰直角三角板•把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置,其中边BCFP均在直线I上,边EF与边 EP交AC于点Q,连结AP,BQ•猜想请证明你的猜想; AC重合. (1)将^EFP沿直线I向左平移到图2的位置时,并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系, EP的延长线交AC的延长线于点Q,连 (2)将^EFP沿直线I向左平移到图3的位置时, 结AP,BQ.你认为 (1)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗? 若成立,给出证明;若不成立,请说明理由. 1 E A BFCP 图 2
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