点集拓扑学练习题及答案.docx
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点集拓扑学练习题及答案
点集拓扑学练习题
一、单项选择题(每题1分)
1、已知X{a,b,c,d,e},下列集族中,()是X上的拓扑•
①T{X,,{a},{a,b},{a,c,e}}②T{X,,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}
③T{X,,{a},{a,b}}④T{X,,{a},{b},{c},{d},{e}}答案:
③
2、设X{a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑•
①
T
{X,
{a},{a,b},{c}}②
T
{X,
{a},{a,b},{a,c}}
③
T
{X,
{a},{b},{a,c}}④
T
{X,
{a},{b},{c}}
答案:
②
3、
已知X
{a,b,c,d},下列集族中,'
(
)是X上的拓扑•
①
T
{X,
{a},{a,b},{a,c,d}}
②
T
{X,,{a,b,c},{a,b,d}}
③
T
{X,
{a},{b},{a,c,d}}
④
T
{X,,{a},{b}}
答案:
①
4、设X{a,b,c},下列集族中,()是X上的拓扑.
①
T
{X,
{b},{c},{a,b}}
②
T
{X,
{a},{b},{a,b},{a,c}}
③
T
{X,
{a},{b},{a,c}}
④
T
{X,
{a},{b},{c}}
答案:
②
5、
已知
汨X
{a,b,c,d},下列集
:
族中,(
(
)是X上的拓扑•
①
T
{X,
{a,b},{a,c,d}}
②
T
{X,,{a,b},{a,c,d}}
③
T
{X,
{a},{b},{a,c,d}}
④
T
{X,,{a},{c},{a,c}}
答案:
④
6、
设X
{a,b,c},下列集族中
(
)是X上的拓扑•
①
T
{X,,{a},{b},{b,c}}
②T
{X,,{a,b},{b,c}}
③
T
{X,,{a},{a,c}}
④T
{X,,{a},{b},{c}}
答案:
③
7、已知X{a,b,c,d},拓扑T{X,,{a}},贝U{b}=()
①©②X③{b}④{b,c,d}答案:
④
8、已知X{a,b,c,d},拓扑T{X,,{a}},则{b,c,d}=()
13、设X{a,b,c,d},拓扑T{X,,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集个数
④4答案:
②
①②Q③R-Q④R答案:
①
20、在实数空间中,有理数集Q的边界(Q)是()
①②Q③R-Q④R答案:
④
①②Z③R-Z④R答案:
①
22、在实数空间中,整数集Z的边界(Z)是()
①②Z③R-Z④R答案:
②
23、在实数空间中,区间
①②[0,1]
24、在实数空间中,区间
①②[2,3]
25、在实数空间中,区间
①②[0,1]
[0,1)的边界是()
③{0,1}④(0,1)
[2,3)的边界是()
③{2,3}④(2,3)
[0,1)的内部是()
③{0,1}④(0,1)
答案:
③
答案:
③
答案:
④
26、设X是一个拓扑空间,
A,B是X的子集,则下列关系中错误的是(
①d(AB)d(A)d(B)
③d(AB)d(A)d(B)
答案:
③
27、设X是一个拓扑空间,
A,B是X的子集,则下列关系中正确的是(
d(AB)d(A)d(B)
d(AB)d(A)d(B)
答案:
①
A,B是X的子集,则下列关系中正确的是(
①
d(A
B)
AB
③
d(A
B)
d(A)d(B)④
29、
已知
X是-
一个离散拓扑空间,
①
d(A)
②d(A)
③
d(A)
A
④d(A)
30、
已知
X是-
一个平庸拓扑空间,
①
若A
则
ld(A)
设X是一个拓扑空间,
28、
②ABAB
X
③若A={x1,x2},则d(A)X
XA
④d(d(A))Ad(A)
答案:
④
A是X的子集,则下列结论中正确的是
答案:
①
A是X的子集,则下列结论中不正确的是(
②若A{X。
},则d(A)XA
④若AX,则d(A)X答案:
④
31、已知X是一个平庸拓扑空间,A是X的子集,则下列结论中正确的是()
①若A,则d(A)②若A{X。
},则d(A)X
③若人={为也},则d(A)XA④若A{x「X2},则d(A)A答案:
①
32、设X{a,b,c,d},令B{{a,b,c},{c},{d}},则由B产生的X上的拓扑是()
①{X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{X,,{c},{d},{c,d}}
③{X,,{c},{a,b,c}}④{X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案:
①
33、设X是至少含有两个元素的集合,pX,T{GX|pG}{}是X的拓扑,则()是T的基.
①B{{p,x}|xX{p}}②B{{x}|xX}
34、
设X
{a,b,c},则下列X的拓扑中(
)以S{X,,{a}}为子基
①{
X,
{a},{a,c}}②{X,
{a}}
③{
X,
{a},{b},{a,b}}④{X,
}答案:
②
35、
离散空间的任一子集为()
①开集②闭集③即开又闭④
非开非闭答案:
③
③B{{p,x}|xX}
④B{{x}|xX{p}}
答案:
③
36、平庸空间的任一非空真子集为()
①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案:
④
37、实数空间R中的任一单点集是()
①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案:
②
3&
1
实数空间R的子集A={1,,
11
JJ
},则A-()
2
34
①©
②R③AU{0}
④A
答案:
③
39、
在实数空间R中,下列集合是闭集的是(
)
①整数集②a,b③有理数集④无理数集答案:
①
40、在实数空间R中,下列集合是开集的是()
①整数集Z②有理数集
③无理数集④整数集Z的补集Z答案:
④
41、已知X{1,2,3}上的拓扑T{X,,{1}},则点1的邻域个数是()
①1②2③3④4答案:
④
44、设(X,T)为拓扑空间,则下列叙述正确的为
46、设X是一个拓扑空间,代BX,且满足d(A)BA,则B是()
48、设X{1,2,3},T={
X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{1,3},则X的子空间A的拓扑
为()①T{,{1},{3},{1,3}}②T{,A,{1}}
③T{,X,{1},{3},{1,3}}④T{,X,{1}}答案:
②
49、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{2,3},则X的子空间A的拓扑
为()①T{,{3},{2,3}}②T{,A,{2},{3}}
③T{,X,{2},{3},{2,3}}④T{,X,{3}}答案:
②
50、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{1},则X的子空间A的拓扑为
()①T{,{1}}②T{,A,{1,2}}
③T{,X,{1},{3},{1,3}}④T{,X,{1}}答案:
①
51、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{2},则X的子空间A的拓扑
为()①T{,{2},{1,2}}②T{,A}
52、设X{1,2,3},T={,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑,A{3},则X的子空间A的拓扑
①T{,{2},{1,2}}
②T{,{X},{1,3}}
③T{,X,{3}}
④T{,{3}}
答案:
④
53、设R是实数空间,Z是整数集,则
R的子空间Z的拓扑为()
①T{,Z}
②TP(Z)
④T{Z}答案:
②
54、设XX2
X6是拓扑空间
X1,X2,L,X6的积空间•R是X到X1的投射,则
P1是
()①单射
③满的连续闭映射
②连续的单射
④满的连续开映射
答案:
④
55、设XXiX2
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•P2是X到X2的投射,则
P2是
()①单射
③满的连续闭映射
②连续的单射
④满的连续开映射答案:
④
56、设XXiX2
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•P3是X到X3的投射,则
P3是
()①单射
③满的连续闭映射
②连续的单射
④满的连续开映射答案:
④
57、设XXiX2
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•P4是X到X4的投射,则
()①单射
③满的连续闭映射
②连续的单射
④满的连续开映射
答案:
④
58、设XXiX2
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•F5是X到X5的投射,则
Ps是
()
①单射
③满的连续闭映射
②连续的单射
④满的连续开映射
答案:
④
59、设XXiX2
X6是拓扑空间Xi,X2,L,X6的积空间•Ps是X到X6的投射,则
F6是
()①单射
③满的连续闭映射
②连续的单射
④满的连续开映射
答案:
④
60、设Xi和X2是两个拓扑空间,XiX2是它们的积空间
Xi,BX2,则有(
①ABAB②ABAB③(AB)°A°B°
(AB)(A)(B)答案:
②
6i、有理数集Q是实数空间R的一个()
①不连通子集
③开集
②连通子集
④以上都不对
答案:
①
62、整数集Z是实数空间R的一个()
①不连通子集②连通子集
③开集④以上都不对
答案:
①
63、无理数集是实数空间R的一个()
①不连通子集②连通子集
③开集④以上都不对
答案:
①
64、设丫为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若YZY,
①不连通子集②连通子集③闭集④开集
答案:
②
65、设Xi,X2是平庸空间,则积空间XiX2是()
①离散空间②不一定是平庸空间
③平庸空间④不连通空间
答案:
③
66、设Xi,X2是离散空间,则积空间XiX2是()
①离散空间②不一定是离散空间
③平庸空间④连通空间
答案:
①
67、设Xi,X2是连通空间,则积空间XiX2是()
①离散空间②不一定是连通空间
③平庸空间④连通空间
答案:
④
68、实数空间R中的连通子集E为()
①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案:
④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集
E为(
区间
)
④
以上都不对答案:
③
①开区间②闭区间
③
70、
实数空间R中的连通子集E为(
)
①开区间②闭区间
③
区间
④
区间或一点
答案:
④
71、
下列叙述中正确的个数为(
)
(I)单位圆周S1是连通的;
(□)
R{0}是连通的
(E)R2{(0,0)}是连通的(W)R2和R同胚
①1②2③3④4
答案:
②二、填空题(每题1分)
1、设X{a,b},则X的平庸拓扑为;答案:
T{X,}
2、设X{a,b},则X的离散拓扑为;答案:
T{X,,{a},{b}}
3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫;答案:
拓扑不变性质
4、在实数空间R中,有理数集Q的导集是.答案:
R
5、xd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有答案:
U(A{x})
6设A是有限补空间X中的一个无限子集,则d(A)=;答案:
X
7、设A是有限补空间X中的一个无限子集,贝UA=;答案:
X
8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则d(A)=;答案:
X
9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集,则A=;答案:
X
10、
为
设X
{1,2,3}
1
X
的拓扑T
答案:
{X,
{2}
{2},{2,3}}
则X
的子集A{1,2}
的内部
11、
设X
{1,2,3}
X
的拓扑T
{X,
{1},{2,3}}
则X
的子集A{1,3}
的内部
为
J
答案:
{1}
12、
设X
{1,2,3},
X
的拓扑T
{X,
{1},{2,3}},
,则X的子集A{1,2}
的内部为
答案:
{1}
13、
设X
{1,2,3}
X
的拓扑T
{X,
{2},{2,3}}
则X
的子集A{1,3}
的内部
为;答案:
14、设X{a,b,c},则X的平庸拓扑为;答案:
T{X,}
则X的子集A{1,3}的内部
16、设X{1,2,3},X的拓扑T{X,,{2},{3},{2,3}}
为;答案:
{3}
17、设X{1,2,3},X的拓扑T{X,,{1},{3},{1,3}},则X的子集A{1,2}的内部
为;答案:
{1}
18、f:
XY是拓扑空间X到丫的一个映射,若它是一个单射,并且是从X到它的象集f(X)
的一个同胚,则称映射f是一个.答案:
嵌入
19、f:
XY是拓扑空间X到丫的一个映射,如果它是一个满射,并且丫的拓扑是对于映射f
而言的商拓扑,则称f是一个;答案:
商映射
20、设X,Y是两个拓扑空间,f:
XY是一个映射,若X中任何一个开集U的象集f(U)是丫
中的一个开集,则称映射f是一个答案:
开映射
21、设X,Y是两个拓扑空间,f:
XY是一个映射,若X中任何一个闭集U的象集f(U)是丫
中的一个闭集,贝U称映射f是一个答案:
闭映射
22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集代B,使得AB
个;答案:
不连通空间
23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集代B,使得AB
个;答案:
不连通空间
24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集,则X是一个答案:
不连通空间
25、设丫是拓扑空间X的一个连通子集,ZX满足丫Z丫,则Z也是X的
个;答案:
连通子集
26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的
象所具有,则称这个性质是一个;
答案:
在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,
则称这个性质是一个;答案:
可商性质
28、若任意n1个拓扑空间Xi,X2,L,Xn,都具有性质P,则积空间XiX?
LXn也具有性质
P,则性质P称为;答案:
有限可积性质
29、设X是一个拓扑空间,如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得ABX,则称X是
一个;答案:
不连通空间•
三•判断(每题4分,判断1分,理由3分)
1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()答案:
V
理由:
设X是离散空间,丫是拓扑空间,f:
XY是连续映射,因为对任意A丫,都有
f\A)X,由于X中的任何一个子集都是开集,从而f1(A)是中的开集,所以f:
XY是连续的•
2、设Ti,T2是集合X的两个拓扑,贝UTiT2不一定是集合X的拓扑()答案:
X
理由:
因为
(1)Ti,T2是X的拓扑,故X,Ti,X,T2,从而X,TiT2;
(2)对任意的A,BTiT2,则有A,BTi且A,BT2,由于Ti,T2是X的拓扑,故
ABTi且ABT2,从而ABTiT2;
(3)对任意的TTiT2,则TTi,TT2,由于Ti,T2是X的拓扑,从而utUTi,
uTUT2,故ut'UTiT2;
综上有TiT2也是X的拓扑.
3、从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射()答案:
V
理由:
设f:
XY是任一满足条件的映射,由于丫是平庸空间,它中的开集只有Y,,易知它们在f下的原象分别是X,,均为X中的开集,从而f:
X丫连续.
4、设A为离散拓扑空间X的任意子集,则dA()答案:
V
理由:
设p为X中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集,
所以{p}是X的开子集,且有pIAp,即pdA,从而d(A).
5、设A为平庸空间X(X多于一点)的一个单点集,贝UdA()答案:
X
理由:
设A{y},则对于任意xX,xy,x有唯一的一个邻域X,且有yX(Ax),从而
X(Ax),因此x是A的一个凝聚点,但对于y的唯一的邻域X,有X(Ay),所以有dAXA.
6设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集,贝UdAX()答案:
V
理由:
对于任意xX,因为A包含多于一点,从而对于x的唯一的邻域X,且有X(Ax),
因此x是A的一个凝聚点,即xd(A),所以有dAX.
7、设X是一个不连通空间,则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得AB,ABX
()答案:
V
理由:
设X是一个不连通空间,设A,B是X的两个非空的隔离子集使得ABX,显然
BBX(BA)(BB)B
从而B是X的一个闭子集,同理可证A是X的一个闭子集,这就证明了代B满足
AB,ABX.
8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集,则X是一个不连通空间()V理由:
这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集,令BA,则A,B都是X中的非空闭子集,它们满足ABX,易见A,B是隔离子集,所以拓扑空间X是一个不连通空.五•简答题(每题4分)
1、设X是一个拓扑空间,代B是X的子集,且AB.试说明d(A)d(B).
答案:
对于任意xd(A),设U是x的任何一个邻域,则有U(A{x}),由于AB,从而
U(B{x})U(A{x}),因此xd(B),故d(A)d(B).
2、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:
XY,g:
YZ都是连续映射,试说明gof:
XZ也是连续映射•
答案:
设W是Z的任意一个开集,由于g:
YZ是一个连续映射,从而g1(W)是丫的一个开
集,由f:
XY是连续映射,故fIW))是X的一开集,因此(gof)1(W)f1(g1(W))
是X的开集,所以gof:
Xz是连续映射.
3、设X是一个拓扑空间,AX.试说明:
若A是一个闭集,则A的补集A是一个开集.答案:
对于xA,则xA,由于A是一个闭集,从而x有一个邻域U使得U(A{x}),因此UA,即UA,所以对任何xA,A是x的一个邻域,这说明A是一个开集.
4、设X是一个拓扑空间,AX.试说明:
若A的补集A是一个开集,则A是一个闭集.
答案:
设xA,则xA,由于A是一个开集,所以A是x的一个邻域,且满足AA,因
此xA,从而AA,即有AA,这说明A是一个闭集.
5、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,)
设在这个等价关系下得到的商集丫{[0],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[0]},{[0],[1]}}
6、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1]或者x,y(1,2]或者x,y(2,)
设在这个等价关系下得到的商集丫{[1],[2],[3]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[3]},{[2],[3]}}
7、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,)设在这个等价关系下得到的商集丫{[1],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[1]},{[1],[1]}}
8、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1)或者x,y[1,2)或者x,y[2,)
设在这个等价关系下得到的商集丫{[2],[1],[2]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[2]},{[2],[1]}}
9、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1]或者x,y(1,2]或者x,y(2,)
设在这个等价关系下得到的商集丫{[0],[2],[3]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[3]},{[2],[3]}}
10、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1]或者x,y(1,2]或者x,y(2,)
设在这个等价关系下得到的商集丫{[0],[2],[4]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[4]},{[2],[4]}}
11、在实数空间R中给定如下等价关系:
x~yx,y(,1]或者x,y(1,2]或者x,y(2,)
设在这个等价关系下得到的商集丫{[1],[2],[4]},试写出丫的商拓扑T.
答案:
T{,丫,{[4]},{[2],[4]}}
六、证明题(每题8分)
1、设f:
XY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.证明:
如果f(X)是丫的一个不连通子集,则存在丫的非空隔离子集A,B使得
f(X)AB3分
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- 拓扑学 练习题 答案