函数导数难点突破.docx

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函数导数难点突破

函数与导数难点突破

1．函数的零点与方程的根

（1）函数的零点

对于函数f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数f（x）的零点．

（2）函数的零点与方程根的关系

函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标．

（3）零点存在性定理

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一；

②不满足条件时，也可能有零点．

（4）二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．

2．函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是

（1）阅读理解，审清题意：

分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；

（2）数学建模：

弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3）解函数模型：

利用数学方法得出函数模型的数学结果；（4）实际问题作答：

将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

1.函数f（x）＝ln（x2＋2）的图象大致是________.

2.（南京模拟）奇函数f（x）的定义域为R.若f（x＋2）为偶函数，且f

（1）＝1，则f（8）＋f（9）＝________.

3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝ex－1，则f（2015）＋f（－2016）＝________.

4.已知a＝3

，b＝log

，c＝log2

，则a，b，c的大小关系为__________.

5.已知函数f（x）＝sin（

x＋

）（x>0）的图象与x轴的交点从左到右依次为（x1,0），（x2,0），（x3,0），…，则数列{xn}的前4项和为________.

6.函数f（x）的定义域为A，若当x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时，总有x1＝x2，则称f（x）为单函数.例如：

函数f（x）＝2x＋1（x∈R）是单函数.给出下列结论：

①函数f（x）＝x2（x∈R）是单函数；②指数函数f（x）＝2x（x∈R）是单函数；③若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.

其中正确结论的个数是________.

7.（无锡模拟）若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（－1）＝________.

8.已知函数f（x）＝ax－cosx，x∈

，若∀x1∈

，∀x2∈

，x1≠x2，

<0，则实数a的取值范围是____________.

9.设函数f（x）＝

x3＋

·x2＋tanθ，其中θ∈

，则导数f′

（1）的取值范围是________.

10.已知函数f（x）＝

在[1，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围为__________.

11.（南京模拟）已知函数f（x）＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0）在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.

（1）求a，b的值；

（2）若b<1，g（x）＝f（x）－2mx在[2,4]上单调，求m的取值范围.

12.已知函数f（x）＝（ax2＋x－1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

（1）若a＝1，求曲线f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若a<0，求f（x）的单调区间；

（3）若a＝－1，函数f（x）的图象与函数g（x）＝

x3＋

x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围.

思维升华　利用导数研究函数性质的一般步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导函数f′（x）；

（3）①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证明）不等式f′（x）>0或f′（x）<0.

②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解．

（4）①若求极值，则先求方程f′（x）＝0的根，再检查f′（x）在方程根的左右函数值的符号．

②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′（x）＝0根的大小或存在情况来求解．

（5）求函数f（x）在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值．

1.（徐州模拟）已知a∈R，函数f（x）＝lnx－a（x－1）.

（1）若a＝

，求函数y＝|f（x）|的极值点；

（2）若不等式f（x）≤－

＋

恒成立，求a的取值范围.（e为自然对数的底数）

2.已知函数f（x）＝xe－x.

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若当0f

，求实数k的取值范围.

3.已知函数f（x）＝（1＋x）e－2x，g（x）＝ax＋

＋1＋2xcosx.当x∈[0,1]时，

（1）求证：

1－x≤f（x）≤

；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

1．函数单调性的应用

（1）若可导函数f（x）在（a，b）上单调递增，则f′（x）≥0在区间（a，b）上恒成立；

（2）若可导函数f（x）在（a，b）上单调递减，则f′（x）≤0在区间（a，b）上恒成立；

（3）可导函数f（x）在区间（a，b）上为增函数是f′（x）>0的必要不充分条件．

2．可导函数极值的理解

（1）函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；

（2）对于可导函数f（x），“f（x）在x＝x0处的导数f′（x）＝0”是“f（x）在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；

（3）注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．

3．利用导数解决优化问题的步骤

（1）审题设未知数；

（2）结合题意列出函数关系式；（3）确定函数的定义域；（4）在定义域内求极值、最值；（5）下结论.

1.已知函数f（x）＝ex－a（x＋1）在x＝ln2处的切线的斜率为1.（其中e＝2.71828…）

（1）求a的值及f（x）的最小值；

（2）当x≥0时，f（x）≥mx2恒成立，求m的取值范围；

（3）求证：

<

（i，n∈N*）.（参考数据：

ln2≈0.6931）

2.已知函数f（x）＝lnx－x2＋x.

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若关于x的不等式f（x）≤

x2＋ax－1恒成立，求整数a的最小值；

（3）若正实数x1，x2满足f（x1）＋f（x2）＋2（x

＋x

）＋x1x2＝0，证明：

x1＋x2>

.

3.已知f（x）＝xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3.

（1）求函数f（x）在[t，t＋2]（t>0）上的最小值；

（2）对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：

对一切x∈（0，＋∞），都有lnx>

－

成立.

1.已知函数

，

（1）试讨论函数

的单调区间；

（2）若不等式

对于任意的

恒成立，求

的取值范围。

2.己知函数

．

（1）求函数

的定义域；

（2）求函数

的增区间；

（3）是否存在实数

，使不等式

在

时恒成立？

若存在，求出实数

的取值范围；若不存在，请说明理由．

3.已知函数

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明

在定义域上是奇函数；