抽象函数与单调性.docx
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抽象函数与单调性.docx
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抽象函数与单调性
1.3.1第1课时函数的单调性
一、选择题
1.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则( )
A.f(x)在R上是减函数,且f
(1)=3
B.f(x)在R上是增函数,且f
(1)=3
C.f(x)在R上是减函数,且f
(1)=2
D.f(x)在R上是增函数,且f
(1)=2
二、填空题
三、解答题
2.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求证:
f(0)=1;
(2)求证:
对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:
f(x)是R上的增函数.
3.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件:
(1)f(xy)=f(x)+f(y);
(2)f
(2)=1;
(3)在(0,+∞)上是增函数.
如果f
(2)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.
4.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f(
)=f(x)-f(y).
(1)求f
(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(
)<2.
5.已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:
f(x)在R上是增函数.
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
6.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f
=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
7.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1.
(1)求f(9),f(27)的值;
(2)解不等式f(x)+f(x-8)<2.
8.函数f(x)当x>0时有意义,且满足条件:
f
(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数.
(1)求证f
(1)=0;
(2)若f(3)+f(4-8m)>2,求m的取值范围.
9.已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0 (1)求f(0); (2)求证f(x)>0恒成立; (3)判断函数f(x)在R上的单调性. 10.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且f(x·y)=f(x)+f(y). (1)求f (1)的值; (2)证明: f(x)在定义域上是增函数; (3)如果f( )=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围. 11.函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5. (1)求f (2)的值; (2)解不等式f(m-2)≥3. 12.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0. (1)求证: f(0)=1; (2)判断函数的奇偶性. 13.已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的x,y∈R,有f(x·y)=xf(y)+yf(x). (1)求f(0),f (1)的值; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论. 14.若函数f(x)的定义域是R,且对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立. (1)试判断f(x)的奇偶性; (2)若f(8)=4,求f(- )的值. 15.已知函数f(x)对任意的a,b都有f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),求证: f(x)为偶函数. 16.已知函数y=f(x)(x≠0)对于任意非零实数x,y,满足f(xy)=f(x)+f(y). (1)求f (1),f(-1)的值; (2)判断函数y=f(x)的奇偶性. 17.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. 18.设函数f(x)对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当>0时,f(x)<0,f (2)=-4,试求函数f(x)在[-2,2]上的最值. 19.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意s,t∈R都有f(s+t)=f(s)+f(t),且对于任意x>0,都有f(x)<0,且已知f(3)=-3. (1)试证明y=f(x)是R上的单调减函数; (2)试证明y=f(x)是奇函数; (3)试求y=f(x)在[m,n](m,n∈Z,且m>0)上的值域. 20.已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证: f(x)是奇函数; (2)如果x>0,f(x)<0,并且f (1)=- ,试求f(x)在区间[-2,6]上的最值. 21.已知: 函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立. 证明: (1)函数y=f(x)是R上的减函数; (2)函数y=f(x)是奇函数. 22.设函数f(x)的定义域是R,对于任意的x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0. (1)求f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)用函数单调性的定义证明函数f(x)为增函数. 23.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f (1)=-2. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求证: f(x)是R上的减函数; (3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域; (4)若对任意x∈R,不等式f(ax2)-2f(x) 24.已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.求证: 函数f(x)在R上是增函数. 25.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0 26.已知函数f(x)的定义域为R,且对m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(- )=0,当x>- 时,f(x)>0. (1)求证: f(x)是R上的增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证. 27.已知函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(x)<0(x>0),试判断F(x)= 在(0,+∞)上的单调性并给出证明过程. 28.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2) 29.已知定义在(-1,1)上的减函数f(x)满足f(1-a) -=答案=-解析 1.【-=答案=-】D 【解析】设任意x1,x2∈R,x1<x2,f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1. ∵x2-x1>0,又已知当x>0时,f(x)>1, ∴f(x2-x1)>1. ∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在R上是增函数. ∵f(3)=f(1+2)=f (1)+f (2)-1=f (1)+[f (1)+f (1)-1]-1=3f (1)-2=4,∴f (1)=2. 2.【-=答案=-】 (1)令a=b=0,则f(0)=[f(0)]2,∵f(0)≠0, ∴f(0)=1. (2)令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)f(-x),∴f(-x)= . 由已知当x>0时,f(x)>1>0, 则当x<0时,-x>0,f(-x)>0, ∴f(-x)= >0,又当x=0时,f(0)=1>0, ∴对任意x∈R,f(x)>0. (3)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0, ∴ =f(x2)·f(-x1)=f(x2-x1)>1, ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数. 【解析】 3.【-=答案=-】∵f(xy)=f(x)+f(y),∴令x=y=2, 得f(4)=f (2)+f (2)=2f (2). 又f (2)=1,∴f(4)=2. ∵f (2)+f(x-3)=f[2(x-3)]=f(2x-6), ∴f (2)+f(x-3)≤2可化为f(2x-6)≤2=f(4), 即f(2x-6)≤f(4). ∵f(x)在(0,+∞)上递增, ∴ 解得3 故x的取值范围为(3,5]. 【解析】 4.【-=答案=-】 (1)在f( )=f(x)-f(y)中,令x=y=1, 则有f (1)=f (1)-f (1),∴f (1)=0. (2)∵f(6)=1, ∴f(x+3)-f( )<2=f(6)+f(6), ∴f(3x+9)-f(6) 即f( ) ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ∴ 解得-3 即不等式的解集为(-3,9). 【解析】 5.【-=答案=-】 (1)证明 在R上任取实数x1,x2,且令x1 ∵函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1, ∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1>f(x1), ∴f(x)是R上的增函数. (2)解 f(4)=f(2+2)=2f (2)-1=5, ∴f (2)=3,∴f(3m2-m-2)<3=f (2), ∴3m2-m-2<2,即3m2-m-4<0, ∴-1 . 【解析】 6.【-=答案=-】 (1)令x1=x2>0,代入f =f(x1)-f(x2),得f (1)=f(x1)-f(x1)=0,故f (1)=0. (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则 >1.因为当x>1时,f(x)<0,所以f( )<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1) (3)由f( )=f(x1)-f(x2),得f( )=f(9)-f(3).因为f(3)=-1,所以f(9)=-2.因为函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,所以当x>0时,由f(|x|)<-2,得f(x) 【解析】 7.【-=答案=-】 (1)∵f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1, ∴f(9)=f(3)+f(3)=2,f(27)=f(9)+f(3)=3. (2)∵f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)] ∴ 解得8 故原不等式的解集为(8,9). 【解析】 8.【-=答案=-】 (1)证明 令x=y=1,则f (1)=f (1)+f (1), ∴f (1)=0. (2)解 ∵2=1+1=f (2)+f (2)=f(4), ∴f(3)+f(4-8m)=f[3(4-8m)]>f(4). 又f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴ ∴m< . 【解析】 9.【-=答案=-】 (1)解 令y=0,x=-1,得f(-1)=f(-1)f(0),因为x<0时,0 (2)证明 当x>0时,-x<0,令y=-x,得f(0)=f(x)f(-x),得f(x)= ,因为当x<0时,0 >0,故对任意x∈R,都有f(x)>0. (3)解 设x1,x2∈R,且x1 【解析】 10.【-=答案=-】 (1)解 令x=y=1,得f (1)=2f (1),故f (1)=0. (2)证明 令y= ,得f (1)=f(x)+f =0, 故f =-f(x). 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1 则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f =f . 由于 >1,故f >0,从而f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)解 由于f =-1,而f =-f(3),故f(3)=1. 在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9), ∴f(x)≥f[9(x-2)],∴x≤ . 又 ∴2 , ∴x的取值范围是 . 【解析】 11.【-=答案=-】 (1)f(4)=f(2+2)=f (2)+f (2)-1, 又f(4)=5,∴f (2)=3. (2)f(m-2)≥f (2), ∴ ∴2<m≤4. ∴m的取值范围为(2,4]. 【解析】 12.【-=答案=-】 (1)令x=y=0,2f(0)=2[f(0)]2, 因为f(0)≠0,则f(0)=1. (2)令x=0,有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),则f(-y)=f(y), 所以f(x)是偶函数. 【解析】 13.【-=答案=-】 (1)∵f(x·y)=xf(y)+yf(x), 令x=y=0,得 f(0)=0+0=0,即f(0)=0. 令x=y=1,得 f (1)=1·f (1)+1·f (1), ∴f (1)=0. (2)∵f (1)=f[(-1)·(-1)] =(-1)f(-1)+(-1)f(-1)=0, ∴f(-1)=0. 对任意的x∈R, f(-x)=f[(-1)·x] =(-1)f(x)+xf(-1)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 【解析】 14.【-=答案=-】 (1)在f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 再令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数. (2)令y=x,由条件f(x+y)=f(x)+f(y),得f(2x)=2f(x).由此可得f(8)=2·f(4)=2·2f (2)=2·2·2f (1)=24·f =4, ∴f = ,∴f =-f =- . 【解析】 15.【-=答案=-】令a=0,b=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).① 令a=x,b=0,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).② 由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x), 即f(-x)=f(x), 所以f(x)为偶函数. 【解析】 16.【-=答案=-】 (1)∵对任意非零实数x,y, 函数y=f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),取x=y=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0. 取x=y=-1,得f (1)=2f(-1),∴f(-1)=0. (2)对任意x≠0,取y=-1, 得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)+0=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 【解析】 17.【-=答案=-】 (1)∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f (1)=2f (1),∴f (1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明: 令x1=x2=-1,有f (1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=f (1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由 (2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2⇔f(|x-1|) 又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15 ∴x的取值范围是{x|-15 【解析】 18.【-=答案=-】令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0, 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, 得f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数, 任取x1 知f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1), 已知当x>0时,f(x)<0,x2-x1>0, 所以f(x2)-f(x1)<0,得f(x2) 故f(x)在R上是减函数. 当x∈[-2,2]时,f(x)min=f (2)=-4, f(x)max=f(-2)=-f (2)=4. 【解析】 19.【-=答案=-】 (1)证明 任取x1,x2∈R,且x1 则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1). ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1). ∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2) ∴f(x)是R上的单调减函数. (2)证明 令s=t=0,则f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 又令s=x,t=-x,则f(0)=f(x)+f(-x). ∴f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是R上的奇函数. (3)解 ∵f(x)是R上的减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上也为减函数, ∴y=f(x)在[m,n]上的最大值为f(m),最小值为f(n). 又m,n∈Z, ∴f(m)=f[1+(m-1)]=f (1)+f(m-1)=2f (1)+f(m-2)=…=mf (1). 同理f(n)=nf (1). 由f(3)=-3,得f(3)=3f (1)=-3. ∴f (1)=-1,∴f(n)=-n,f(m)=-m. ∴函数的值域为[-n,-m]. 【解析】 20.【-=答案=-】 (1)证明 ∵函数定义域为R,∴其定义域关于原点对称, 且f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x, 则f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)解 设x1 则f(x2-x1)=f[x2+(-x1)] =f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在R上单调递减. ∴f(-2)为最大值,f(6)为最小值. ∵f (1)=- ,∴f(-2)=-f (2)=-2f (1)=1, f(6)=2f(3)=2[f (1)+f (2)]=-3. ∴f(x)在区间[-2,6]上的最大值为1,最小值为-3. 【解析】 21.【-=答案=-】 (1)设x1>x2,则x1-x2>0,而f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立, 所以f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2)<f(x2), 即f(x1)<f(x2),所以函数在R上是减函数. (2)由f(a+b)=f(a)+f(b),得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=f(0),又易求f(0)=0, 所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. 【解析】 22.【-=答案=-】 (1)解 取x=y=0得,f(0)=0. (2)函数f(x)为奇函数,理由如下: 已知函数的定义域为R, 取y=-x代入,得f(0)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,则f(-x)=-f(x), 即f(x)为奇函数. (3)设x1,x2∈R且x1 由x2-x1>0知,f(x2-x1)>0,则f(x2)>f(x1), 则函数f(x)为R上的增函数. 【解析】 23.【-=答案=-】 (1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0), ∴f(0)=0. 取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立, ∴f(x)为奇函数. (2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1 ∴f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)是R上的减函数. (3)由 (2)知f(x)在R上为减函数, ∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3), ∵f(3)=f (2)+f (1)=f (1)+f (1)+f (1)=-2×3=-6, ∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. (4)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+f(-2x) 则f(ax2-2x) ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax2-2x>x-2, 当a=0时,-2x>x-2在R上不是恒成立,与题意矛盾; 当a>0时,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则Δ=9-8a<0,即a> ; 当a<0时,ax2-3x+2>0在R上不是恒成立,不合题意. 综上所述,a的取值范围为( ,+∞). 【解析】 24.【-=答案=-】方法一 设x1,x2是实数集上的任意两个实数,且x1>x2.令x+y=x1,y=x2, 则x=x1-x2>0. f(x1)-f(x2)=f(x+y)-f(y)=f(x)+f(y)-1-f(y)=f(x)-1.∵x>0,∴f(x)>1,f(x)-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在R上是增函数. 方法二 设x1>x2,则x1-x2>0, 从而f(x1-x2)>1,即f(x1-x2)-1>0. f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2),故f(x)在R上是增函数. 【解析】 25.【-=答案=-】设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且x1 则f(x1)-f(x2)=f( ·x2)-f(x2) =f( )+f(x2)-f(x2)=f( ). ∵x1,x2∈(0,+∞),且x1 <1, ∴f( )>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), ∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. 【解析】 26.【-=答案=-】 (1)任取x1,x2∈R,且设x1 >- . 由题意,得f(x2-x1- )>0. ∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
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