与圆有关的证明及计算巩固集训.docx
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与圆有关的证明及计算巩固集训
第六单元 圆
与圆有关的证明及计算巩固集训
1.(10分)如图,AB是半圆O的直径,PA,PC分别与半圆相切于点A,D,BC⊥PC于点C,连接PO,AD,BD.
求证:
(1)PO⊥AD;
(2)BD平分∠ABC.
第1题图
2.(10分)如图,以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,连接NE.
(1)求证:
AM=AN;
(2)判断四边形AMEN的形状,并说明理由.
第2题图
3.(10分)如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于点E,AM⊥BC于点M,交CD于点N,连接AD.
(1)求证:
AD=AN;
(2)若AB=4
,ON=1,求⊙O的半径.
第3题图
4.(10分)如图,点C是以AB为直径的⊙O上的一点,BD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.
(1)求证:
BC平分∠DBA;
(2)若CD=6,BC=10,求AB的长.
第4题图
5.(10分)(2017咸宁)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)若AE=4,cosA=
,求DF的长.
第5题图
6.(10分)如图,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,点C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A.
(1)当OC⊥AC时,求∠BCO的度数;
(2)求线段OC的最小值.
第6题图
7.(10分)(2017益阳)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠BCD=∠A.
(1)求证:
CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,CD=4,求BD的长.
第7题图
8.(10分)(2017河池)如图,AB为⊙O的直径,CB,CD分别切⊙O于点B,D,CD交BA的延长线于点E,CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F.
(1)求证:
∠FEB=∠ECF;
(2)若BC=6,DE=4,求EF的长.
第8题图
答案
1.证明:
(1)如解图,连接OD.
∵PA、PC分别与半圆相切于点A、D,O为圆心,
∴OA⊥PA,OD⊥PD.
在Rt△PAO和Rt△PDO中,
,
∴Rt△PAO≌Rt△PDO(HL),
∴PA=PD,∠APO=∠DPO.
设PO与AD交于点H,则在△PAH和△PDH中,
,
∴△PAH≌△PDH(SAS),
∴∠PHA=∠PHD=90°,
即PO⊥AD;
第1题解图
(2)由
(1)知OD⊥PC,
又由题意知BC⊥PC,
∴OD∥BC,
∴∠ODB=∠DBC.
又∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠OBD=∠DBC,
∴BD平分∠ABC.
2.
(1)证明:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠CDA=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BAD=∠ACD.
∵BM平分∠ABC,
∴∠ABM=∠CBM,
∴∠ABN+∠BAN=∠CBM+∠BCM.
∵∠ANM=∠ABN+∠BAN,∠AMN=∠CBM+∠BCM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN;
(2)解:
四边形AMEN是菱形,理由如下:
∵BM平分∠ABC,MA⊥BA,ME⊥BC,
∴MA=ME.
由
(1)知,AM=AN,
∴ME=AN,
∵AD⊥BC,ME⊥BC,
∴AN∥ME,
∴四边形AMEN是平行四边形,
∵AM=AN,
∴四边形AMEN是菱形.
3.
(1)证明:
∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE⊥CD,AM⊥BC,
∴∠AEN=∠AMC=90°,
∵∠ANE=∠CNM,
∴∠BAM=∠BCD,
∴∠BAM=∠BAD,
在△ANE与△ADE中,
,
∴△ANE≌△ADE(ASA),
∴AN=AD;
(2)解:
∵AB=4
,AE⊥CD,
∴AE=
AB=2
,
又∵ON=1,
∴设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,OD=OE+ED=2x-1,
如解图,连接AO,则AO=OD=2x-1,
∵△AOE是直角三角形,AE=2
,OE=x-1,AO=2x-1,
∴(2
)2+(x-1)2=(2x-1)2,
解得x1=2,x2=-
(舍),
∴AO=2x-1=3,
即⊙O的半径为3.
第3题解图
4.
(1)证明:
如解图,连接OC,
∵CD是⊙O的切线,点C为切点,
∴OC⊥CD,
∵BD⊥DC,
∴OC∥BD,
∴∠DBC=∠BCO,
∵OC=OB,
∴∠BCO=∠CBO,
∴∠DBC=∠CBO,
即BC平分∠DBA;
第4题解图
(2)解:
如解图,连接AC,
在Rt△CBD中,BD=
=8,
∵AB为直径,点C在圆上,
∴∠ACB=90°,
∴∠BDC=∠BCA,
∵∠DBC=∠ABC,
∴△ABC∽△CBD,
∴
=
,
∴
=
,
∴AB=
.
5.
(1)证明:
如解图,连接OD,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠B,
又∵AB=AC,
∴∠C=∠B,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴∠DFC=90°,
∴∠ODF=∠DFC=90°,
∴DF是⊙O的切线;
第5题解图
(2)解:
如解图,过点O作OG⊥AC,垂足为G,
∴AG=
AE=2.
∵cosA=
=
=
,
∴OA=5,
∴OG=
=
,
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,
∴四边形OGFD为矩形,
∴DF=OG=
.
6.解:
(1)∵AB⊥AC,AB=AC,
∴∠ACB=45°,
∵OC⊥AC,
∴∠ACO=90°,
∴∠BCO=90°-∠ACB=45°;
(2)如解图,连接OA,将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,
第6题解图
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,由旋转可得QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC,∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,
∴在Rt△OAQ中,AO=3,BQ=
=
=3
,
∴在△OQB中,BQ≥OQ-OB=3
-3,
即OC最小值是3
-3.
7.
(1)证明:
如解图,连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∵OA=OC,
∴∠A=∠OCA,
∵∠A=∠BCD,
∴∠OCA=∠BCD,
∴∠BCD+∠BCO=90°,
∴OC⊥CD,
又∵CO是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线;
第7题解图
(2)解:
∵在Rt△OCD中,OC=3,CD=4,∠OCD=90°,
∴OD=
=5,
∴BD=OD-OB=5-3=2.
8.
(1)证明:
∵EF⊥OG,BC为切线,
∴∠B=∠EFC=90°,
∴∠EOF+∠FEB=90°,∠BOC+∠BCO=90°,
∵∠EOF=∠BOC,
∴∠FEB=∠BCO.
∵CB、CD切⊙O于点B、D,
∴∠ECF=∠BCO,
∴∠FEB=∠ECF;
(2)解:
连接OD,如解图,则OD⊥CE,
∵CB、CD为⊙O的切线,
∴CD=CB=6,
∴CE=10,
由勾股定理得BE=8.
设OD=x,则OE=8-x,
在Rt△ODE中,由勾股定理可得(8-x)2=x2+42,
解方程得:
x=3,则OE=5.
在Rt△OBC中,由勾股定理求得OC=3
,
∵∠EOF=∠BOC,∠B=∠EFC=90°,
∴△EOF∽△COB,
∴
=
,
∴EF=
=
=2
.
第8题解图
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