系统抽样与分层抽样教学案 2.docx

系统抽样与分层抽样教学案 2.docx

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系统抽样与分层抽样教学案2

系统抽样与分层抽样

一、教学目标

1．记住系统抽样与分层抽样的方法和步骤．

2．会用系统抽样与分层抽样从总体中抽取样本．

3．能用系统抽样与分层抽样解决实际问题．

二、教学重点

1、记住系统抽样与分层抽样的方法和步骤．

2、会用系统抽样与分层抽样从总体中抽取样本．

三、教学难点

会用系统抽样与分层抽样从总体中抽取样本．

四、教学过程

1.系统抽样

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．

系统抽样的步骤

一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

练习　为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（　　）

A．40　　　　　B．30C．20D．12

2．分层抽样的定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．

当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

分层抽样的步骤

（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；

（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k＝

；

（3）确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n；

（4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．

练习　有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽样比为________．

1.系统抽样和简单随机抽样的区别与联系

如表所示：

2.系统抽样的特征：

（1）当总体中个体无差异且个体数目较大时，采用系统抽样．

（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为

k＝

.

（3）预先制定的规则指的是：

在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．

（4）在每段上仅抽一个个体，所分的组数（即段数）等于样本容量．

（5）第一步编号中，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等，不再重新编号.

确定分层抽样中各层入样的个体数

（1）当总体由差异明显的几部分组成时，应将总体分成互不交叉的几部分，其中所分成的每一部分叫层，然后按照各部分所占的比例，从各部分中独立抽取一定数量的个体，再将各部分所抽出的个体合在一起作为样本，这就是分层抽样．

（2）由于层与层之间有明显的区别，而层内个体间的差异不明显，为了使样本更能充分地反映总体的情况，抽取样本时，必须照顾到各个层的个体．抽样比＝

.这样抽取能使所得到的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．

考点一系统抽样与分层抽样的概念

例1

（1）下列抽样中不是系统抽样的是（　　）

A．标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5，i0＋10（超过15则从1再数起）号入样

B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验

C．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止

D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相等）座位号为14的听众留下来座谈

（2）某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（　　）

A．①用简单随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法

C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①用分层抽样法，②用系统抽样法

变式探究1　

（1）下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是（　　）

A．某市的4个区共有2000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样

B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样

C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样

D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样

（2）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）

A．简单的随机抽样　　B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样

考点二

为整数的系统抽样

例2

（1）某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

解析：

按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为

×295＝59.

抽样步骤是：

（1）编号：

按现有的号码．

（2）确定分段间隔k＝5，把295名同学分成59组，每组5人；第1段是编号为1～5的5名学生，第2段是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59段是编号为291～295的5名学生．

（3）采用简单随机抽样的方法，从第一段5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l（1≤l≤5）．

（4）那么抽取的学生编号为l＋5k（k＝0,1,2，…，58），得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.

点评：

当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝

；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号（s＋k），再加k得到第3个个体编号（s＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．

（2）某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取多少人？

解析：

抽样比是

＝

，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取1300×

＝65（人），3000×

＝150（人），1300×

＝65（人）．

点评：

一个总体中有m个个体，用分层抽样方法从中抽取一个容量为n（n

＝y，该等式中含有4个量，已知其中任意三个量，就能求出第四个量．

变式探究

（1）　现有60瓶学生奶，编号从1到60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号为（　　）

A．2,14,16,38,42,56B．3,13,23,33,43,53C．5,8,31,36,48,54D．5,10,15,20,25,30

（2）某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆．

解析：

三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按

＝

的比例抽样，所以依次应抽取1200×

＝6（辆），6000×

＝30（辆），2000×

＝10（辆）．答案：

6　30　10

考点三

不是整数的系统抽样与分层抽样

例3某单位在职职工共624人，为了调查职工用于上班途中的时间，决定抽取10%的职工进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本．

思维启迪：

624×10%＝62.4.需从总体中剔除4人，再重新编号用系统抽样抽取62人．

解析：

（1）将624名职工编号，从001至624.

（2）从总体中用随机数法剔除4人，将剩下的620名职工重新编号，从000至619.

（3）分段，取间隔k＝

＝10，将总体均分为62组，每组含10名职工．

（4）在第一段000到009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l.

（5）将为l，l＋10，l＋20，…，l＋610的个体抽出，组成样本．

点评：

1.当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

2．被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取．

3．剔除部分个体后应重新编号．

4．每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等．

考点四三种抽样方法的比较

例4①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有15人在120分以上，40人在90～119分，1人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为（　　）

A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样

C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样

解析：

①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.

点评：

三种抽样方法均为不放回、逐个、等可能抽样．当总体中的个体较少时，常用简单随机抽样；当总体中的个体较多，样本容量较大时，常用系统抽样，但在第一段内抽取个体时，用简单随机抽样；当总体是由差异明显的几部分组成时，采用分层抽样，但在各层内抽取个体时，可用简单随机抽样或系统抽样．

（2）　700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记为①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应采用的抽样方法是（　　）

A．①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样

B．①用分层抽样，②用简单随机抽样，③用系统抽样

C．①用简单随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样

D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简单随机抽样

（3）从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（　　）

A．99B．99.5C．100D．100.5

解析：

＝100

，余数为5，剔除5个编号后，重新编号，分段间隔为

＝100，故选C.

五、课堂练习

1.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本．那么总体中应随机剔除的个体数目是（　　）

A．2　　　　　　　　　B．4C．5D．6

2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户，现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有（　　）

①简单随机抽样　②系统抽样　③分层抽样

A．②③　　B．①③C．③D．①②③

3．某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（　　）

A．6,16,26,36,46,56B．3,10,17,24,31,38C．4,11,18,25,32,39D．5,14,23,32,41,50

4．从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示.

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为（　　）

A．60B．100C．1500D．2000

5．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）

A．2B．3C．4D．5

6．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品的种类是________．

7．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一段编号为000,001,002，…，019，如果在第一段随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为________．

8．两个志愿者组织共有志愿者2400人，现用分层抽样的方法，从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本．已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150，那么乙志愿者组织中的人数有________．

9．某班有学生55人，现将所有学生按1,2,3，…，55随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a,28，b,50号学生在样本中，则a＋b＝________.

10．一个单位有职工160人，其中业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的家庭收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请确定抽样方法，并简述抽样过程．

解：

用分层抽样抽取样本，步骤是：

（1）分层，分成三层：

业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．

（2）确定各层抽取的样本个数，抽样比为

＝

.

则从业务人员中抽取120×

＝15（人）．

从管理人员中抽取16×

＝2（人）．

从后勤服务人员中抽取24×

＝3（人）．

（3）在各层中分别用简单随机抽样或系统抽样抽取样本．

（4）综合每层抽样，组成样本.

解析：

∵样本容量为5，∴样本间隔为55÷5＝11，∵编号为6，a,28，b,50号学生在样本中，∴a＝17，b＝39，∴a＋b＝56.

六、课堂小结

1、按下列步骤进行系统抽样：

2、分层抽样的步骤

（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；

（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k＝

；

（3）确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n；

（4）在各个层中，按步骤（3）中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．

七、教学反思

系统抽样与分层抽样

一、学习目标

1．记住系统抽样与分层抽样的方法和步骤．

2．会用系统抽样与分层抽样从总体中抽取样本．

3．能用系统抽样与分层抽样解决实际问题．

二、学习过程

1.系统抽样

先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．

练习　为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（　　）

A．40　　　　　B．30C．20D．12

2．分层抽样的定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．

当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

练习　有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽样比为________．

考点一系统抽样与分层抽样的概念

例1

（1）下列抽样中不是系统抽样的是（　　）

A．标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，从小号到大号排序，随机选i0号作为起始号码，以后选i0＋5，i0＋10（超过15则从1再数起）号入样

B．工厂生产的产品，在用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽取一件产品进行检验

C．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止

D．在报告厅对与会听众进行调查，通知每排（每排人数相等）座位号为14的听众留下来座谈

（2）某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（　　）

A．①用简单随机抽样法，②用系统抽样法B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法

C．①用系统抽样法，②用分层抽样法D．①用分层抽样法，②用系统抽样法

变式探究1　

（1）下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是（　　）

A．某市的4个区共有2000名学生，4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样

B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样

C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样

D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样

（2）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）

A．简单的随机抽样　　B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样

考点二

为整数的系统抽样

例2

（1）某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

（2）某全日制大学共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，研究生有1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生，本科生与研究生这三类学生中分别抽取多少人？

变式探究

（1）　现有60瓶学生奶，编号从1到60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽取的编号为（　　）

A．2,14,16,38,42,56B．3,13,23,33,43,53C．5,8,31,36,48,54D．5,10,15,20,25,30

（2）某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆．

考点三

不是整数的系统抽样与分层抽样

例3某单位在职职工共624人，为了调查职工用于上班途中的时间，决定抽取10%的职工进行调查，试采用系统抽样方法抽取所需的样本．

点评：

1.当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．

2．被剔除的部分个体可采用简单随机抽样法抽取．

3．剔除部分个体后应重新编号．

4．每个个体被抽到的机会均等，被剔除的机会也均等．

考点四三种抽样方法的比较

例4①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有15人在120分以上，40人在90～119分，1人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为（　　）

A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样

C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样

（2）　700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记为①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应采用的抽样方法是（　　）

A．①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样

B．①用分层抽样，②用简单随机抽样，③用系统抽样

C．①用简单随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样

D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简单随机抽样

（3）从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为（　　）

A．99B．99.5C．100D．100.5

五、课堂练习

1.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本．那么总体中应随机剔除的个体数目是（　　）

A．2　　　　　　　　　B．4C．5D．6

2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户，现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有（　　）

①简单随机抽样　②系统抽样　③分层抽样

A．②③　　B．①③C．③D．①②③

3．某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（　　）

A．6,16,26,36,46,56B．3,10,17,24,31,38C．4,11,18,25,32,39D．5,14,23,32,41,50

4．从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示.

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为（　　）

A．60B．100C．1500D．2000

5．我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（　　）

A．2B．3C．4D．5

6．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，则抽取的动物类食品的种类是________．

7．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一段编号为000,001,002，…，019，如果在第一段随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为________．

8．两个志愿者组织共有志愿者2400人，现用分层抽样的方法，从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本．已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150，那么乙志愿者组织中的人数有________．

9．某班有学生55人，现将所有学生按1,2,3，…，55随机编号．若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为6，a,28，b,50号学生在样本中，则a＋b＝________.

10．一个单位有职工160人，其中业务人员120人，管理人员16人，后勤服务人员24人．为了了解职工的家庭收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，请确定抽样方法，并简述抽样过程．

六、课堂小结

1、按下列步骤进行系统抽样：

2、分层抽样的步骤

（1）根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；

（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k＝

；

（3）确定第i层应该抽取的个体