人教版数学必修1函数的基本性质教案.docx
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人教版数学必修1函数的基本性质教案
函数的基本性质13学习目标
(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题。
(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.(3)了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点
(1)判断或证明函数的单调性;
(2)。
奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断学习过程一、函数的单调性1.单调函数的定义IIf(x)
(1)增函数:
一般地,设函数的定义域为:
如果对于属于内某个区间上的任意xxf(x)f(x)xxf(x)两个自变量的值、,当时都有,那么就说在这个区间上111222是增函数。
xxxx
(2)减函数:
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时1122f(x)f(x)f(x)都有,那么就说在这个区间上是减函数。
12yf(x)yf(x)(3)单调性:
如果函数在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做的单调区间。
2、单调性的判定方法
(1)定义法:
1y判断下列函数的单调区间:
2x
(2)图像法:
从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。
(3)复合函数的单调性的判断:
yf(x)ug(x)x[a,b]u[m,n]yf[g(x)][a,b]设,,,都是单调函数,则在上也是单调函数。
[m,n][a,b]yf(x)yf[g(x)]ug(x)①若是上的增函数,则与定义在上的函数的单调性相同。
[m,n][a,b]ug(x)yf(x)yf[g(x)]②若是上的减函数,则与定义在上的函数的单调性相同。
即复合函数的单调性:
当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的同增异减(类似于“负负得正”)单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说:
2y4x练习:
(1)函数的单调递减区间是,单调递增区间
为.1.y
(2)的单调递增区间为2x4x53、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).AB③函数在定义域内的两个区间,上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数4.例题分析1f(x)(0,)在上是减函数。
证明:
函数xxxxx证明:
设任意,∈(0,+∞)且,112211xx21f(x)f(x)则,12xxxx1212xxx0xxxx0x由,∈(0,+∞),得,又,得,11212212f(x)f(x)0f(x)f(x)∴,即12121f(x)(0,)所以,在上是减函数。
x1y说明:
一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:
不能说x(,0)(0,)是原函数的单调递减区间;3f(x)x1练习:
1..根据单调函数的定义,判断函数的单调性。
f(x)x2.根据单调函数的定义,判断函数的单调性。
奇偶性二、函数的1.奇偶性的定义:
xf(x)f(x)f(x)
(1)偶函数:
一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,24f(x)x1f(x)x2f(x)那么函数就叫做偶函数。
例如:
函数,等都是偶函数。
xf(x)f(x)f(x)
(2)奇函数:
一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,1f(x)f(x)f(x)x那么函数就叫做奇函数。
例如:
函数,都是奇函数。
xf(x)f(x)(3)奇偶性:
如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性。
说明:
从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:
(1)其定义域关于原点对称;
f(x)f(x)f(x)f(x)
(2)或必有一成立。
因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计f(x)f(x)f(x)算,看是等于还是等于,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。
(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
f(x)0(4)函数既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足f(x)f(x)f(x)f(x)也满足。
(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,yy那么这个函数是奇函数。
偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于轴对称,那么这个函数是偶函数。
x0f(0)0(6)奇函数若在时有定义,则.奇偶性判定方法函数的2、
(1)定义法
(2)图像法(3)性质罚3.例题分析:
判断下列函数的奇偶性:
21x2f(x)|x|xf(x)
(1)
(2)()()2|x2|:
f(x)f(x)f(x)说明在判断与的关系时,可以从开始化简;也可以去考虑f(x)1f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)或;当不等于0时也可以考虑与1或的关系。
f(x)五.小结:
1.函数奇偶性的定义;2.判断函数奇偶性的方法;3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称,否则将会导致结论错误或做无用功。
最大值或最小值二、函数的学习评价※自我评价你完成本节学案的情况为().A.很好B.较好C.一般D.较差
经典例题1.下面说法正确的选项()A.函数的单调区间可以是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象(,0)2.在区间上为增函数的是()xy2y1A.B.1x22yx2x1y1xC.D.2byxbxc(x(,1))3.函数是单调函数时,的取值范围()b2b2b2b2A.B.C.D.[a,b][b,a]4.如果偶函数在具有最大值,那么该函数在有()A.最大值B.最小值C.没有最大值D.没有最小值课后作业1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是()2A.y=2x+1B.y=3x+122C.y=D.y=2x+x+1x-22.函数y=(x-1)的减区间是____.f
(2),f(3),f()0,3.偶函数在上单调递增,则从小到大排列的顺f(x)2序是;24.已知是R上的偶函数,当时,,求的解析式。
x0f(x)x2xf(x)f(x)5.(12分)判断下列函数的奇偶性13yxy2x112x①;②;x
高中数学必修1函数的基本性质1.奇偶性
(1)定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;○1由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任○2意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;○1确定f(-x)与f(x)的关系;○2作出相应结论:
○3若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:
①图象的对称性质:
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;D,Df(x)g(x)②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:
12奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇2.单调性
(1)定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x,当x
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;○1必须是对于区间D内的任意两个自变量x,x;当x (2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是映射g: x→u=g(x)的象集: ①若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数;②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: 任取x,x∈D,且x 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)○。 5(5)简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内: f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数g(x)f(x)g(x)减函数是增函数;减函数增函数是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x∈I,使得f(x)=M。 那么,称M是函数y=f(x)的最大值。 00最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x∈I,使得f(x)=M。 那么,称M是函数y=f(x)的最大值。 00注意: 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x∈I,使得f(x)=M;○100函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)○2≤M(f(x)≥M)。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;○1利用图象求函数的最大(小)值;○2利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○3如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);4.周期性 (1)定义: 如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数;TTf(x)f(x), (2)性质: ①f(x+T)=f(x)常常写作若f(x)的周期中,存在一个最小22的正数,则称它为f(x)的最小正周期;②若周期函数f(x)的周期为T,则f(ωx)(ω≠0)是T周期函数,且周期为。 ||四.典例解析【奇偶性典型例题】14xylogxyx1y2y(x0)例1.以下五个函数: (1); (2);(3);(4);2x2ylog(xx1)(5),其中奇函数是______,偶函数是______,非奇非偶函2数是_________点评: 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定 义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)。 题型二: 奇偶性的应用例2.设f(x)是定义在R上的奇函数,若当x≥0时,f(x)=log(1+x),则f(-2)=____3_。 1xxf(x)lgf(x)例3.已知奇函数,当∈(0,1)时,,那么当∈(-1,0)时,1xf(x)的表达式是.f(x)41a1例.若奇函数是定义在(,)上的增函数,试求的范围: 2f(a2)f(a4)0.2f(a2)f(a4)解: 由已知得222f(a4)f(4a)f(a2)f(4a)f(x)因是奇函数,故,于是.f(x)11又是定义在(,)上的增函数,从而23a2a24a3a21a211a321a415a3或3a5(3,2)即不等式的解集是【单调性典型例题】设函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数,例1. (1)则a的范围为()1111aaaaA.B.C.D.22222yxbxc(x[0,) (2)函数)是单调函数的充要条件是()b0b0b0b0A.B.C.D.(,)a,bRf(x)ab0(3)已知在区间上是减函数,且,则下列表达正确的是()f(a)f(b)[f(a)f(b)]f(a)f(b)f(a)f(b)AB..f(a)f(b)[f(a)f(b)]f(a)f(b)f(a)f(b)CD..ab0abba.提示: 可转化为和在利用函数单调性可得yf(x)(4)如右图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为例2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间22yx2|x|1y|x2x3| (1) (2)3例.根据函数单调性的定义,证明函数在上是减函数. mf(x)f(mn)f(m)f(n)nRx04.R例设是定义在上的函数,对、恒有,且当0f(x)1时,。 f(x)0f(0)1xR12()求证: ;()证明: 时恒有;xf(x)f(x)f(2x)13R4()求证: 在上是减函数;()若,求的范围。 1111f(0)1f(0)f()f(0)f()0 (1)m=0n=则,因为所以解: 取,2222f(x)ox0x0 (2)设则由条件可知xx)f(x)f(x)0f(x)01f(0)f(xR,所以∴时,恒有又因为f(x)0xx3()设则12f(x)f(x)f(x)f(xxx)f(x)f(xx)f(x)=1212111211f(x)[1f(xx)]=121xx0f(xx)11f(xx)0xx因为所以所以即21212112f(x)0f(x)[1f(xx)]0f(x)f(x)0又因为,所以所以,即该函数112112R.在上是减函数2f(x)f(2x)1f(x)f(2x)f(2xx)f(0)(4)因为,所以2x的范围为x2或x02xx0所以,所以251..例: (复合函数单调性)函数的增区间是()yx2x3(,3)[1,)A[3,1]B[1,1]CD....12.y函数=的单调递增区间为()2x2x80(,8)(,1)(1,)(8,)ABCD....题型五: 周期问题RT5yf(x)例6.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数yf(x)(1x1)yf(x)[0,1][1,4]是奇函数又知在上是一次函数,在上是二次函x25数,且在时函数取得最小值。 f (1)f(4)0①证明: ;yf(x),x[1,4]②求的解析式;yf(x)[4,9]③求在上的解析式。 5f(x)f(4)f(45)f (1)解: ∵是以为周期的周期函数,∴,yf(x)(1x1)f (1)f (1)f(4)f (1)f(4)0又∵是奇函数,∴,∴。 2f(x)a(x2)5(a0)x[1,4]②当时,由题意可设, 22a2a(12)5a(42)50f (1)f(4)0由得,∴,2f(x)2(x2)5(1x4)∴。 x)(1x1)yf(f(0)0③∵是奇函数,∴,yf(x)[0,1]又知在上是一次函数,2f (1)2(12)53f(x)kx(0x1)∴可设,而,k30x1f(x)3x∴,∴当时,,1x01x1f(x)f(x)3xf(x)3x从而当时,,故时,。 4x61x51∴当时,有,f(x)f(x5)3(x5)3x15∴。 6x91x54当时,,22f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5∴3x15,4x6f(x)∴。 26x92(x7)5,
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