基于MATLAB的凯泽窗法和双线性变换法高通滤波器的设计.docx
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基于MATLAB的凯泽窗法和双线性变换法高通滤波器的设计
摘要
滤波器,顾名思义,是对波进行过滤的器件。
高通滤波器就是从频率f1~∞,其幅频特性平直。
它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过,而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。
凯泽窗函数方法是一种应用广泛的可调窗,它可以通过改变窗函数的形状来控制窗函数旁瓣的大小,而在设计中可根据滤波器的衰减指标来确定窗函数的形状。
双线性变换法是一种能克服频谱混叠的数字滤波器的设计方法。
关键词:
滤波器高通滤波器凯泽窗法双线性变化法
目录
摘要I
第一章滤波器的原理及分类1
第一节常用滤波器的原理1
第二节常用滤波器的分类1
一根据滤波器的选频作用分类1
二根据“最佳逼近特性”标准分类3
第二章常用滤波器的技术指标及设计方法4
第一节常用滤波器的技术指标4
一纹波幅度d4
二截止频率fc4
三带宽B和品质因数Q值4
四倍频程选择性W5
五滤波器因数(或矩形系数)5
第二节实际滤波器的频率特性5
一理想滤波器的特性6
二实际滤波器特性7
第三节常用滤波器的设计原理和方法8
一双线性变换法的基本原理8
二用窗函数设计FIR滤波器的基本原理9
第三章基于MATLAB的高通滤波器的设计11
第一节双线性变换法设计巴特沃斯数字高通滤波器11
第二节凯泽窗法设计FIR数字高通滤波器12
第四章课程设计心得体会14
参考文献15
第一章滤波器的原理及分类
第一节常用滤波器的原理
滤波器是一种选频装置,可以使信号中特定的频率成分通过,而极大地衰减其它频率成分。
在测试装置中,利用滤波器的这种选频作用,可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。
广义地讲,任何一种信息传输的通道(媒质)都可视为是一种滤波器。
因为,任何装置的响应特性都是激励频率的函数,都可用频域函数描述其传输特性。
因此,构成测试系统的任何一个环节,诸如机械系统、电气网络、仪器仪表甚至连接导线等等,都将在一定频率范围内,按其频域特性,对所通过的信号进行变换与处理。
第二节常用滤波器的分类
一根据滤波器的选频作用分类
(一) 低通滤波器
从0~f2频率之间,幅频特性平直,它可以使信号中低于f2的频率成分几乎不受衰减地通过,而高于f2的频率成分受到极大地衰减。
图
(一)
(二)高通滤波器
与低通滤波相反,从频率f1~∞,其幅频特性平直。
它使信号中高于f1的频率成分几乎不受衰减地通过,而低于f1的频率成分将受到极大地衰减。
图
(二)
(三) 带通滤波器
它的通频带在f1~f2之间。
它使信号中高于f1而低于f2的频率成分可以不受衰减地通过,而其它成分受到衰减。
图(三)
(四) 带阻滤波器
与带通滤波相反,阻带在频率f1~f2之间。
它使信号中高于f1而低于f2的频率成分受到衰减,其余频率成分的信号几乎不受衰减的通过。
图(四)
低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式,
其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器,例如:
低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器,低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器。
二 根据“最佳逼近特性”标准分类
(一) 巴特沃斯滤波器
从幅频特性提出要求,而不考虑相频特性。
巴特沃斯滤波器具有最大平坦幅度特性,其幅频响应表达式为:
(二)切比雪夫滤波器
切贝雪夫滤波器也是从幅频特性方面提出逼近要求的,其幅度平方函数表达式为:
ε是决定通带波纹大小的系数,波纹的产生是由于实际滤波网络中含有电抗元件;Tn是第一类切贝雪夫多项式。
与巴特沃斯逼近特性相比较,这种特性虽然在通带内有起伏,但对同样的n值在进入阻带以后衰减更陡峭,更接近理想情况。
ε值越小,通带起伏越小,截止频率点衰减的分贝值也越小,但进入阻带后衰减特性变化缓慢。
切贝雪夫滤波器与巴特沃斯滤波器进行比较,切贝雪夫滤波器的通带有波纹,过渡带轻陡直,因此,在不允许通带内有纹波的情况下,巴特沃斯型更可取;从相频响应来看,巴特沃斯型要优于切贝雪夫型,通过上面二图比较可以看出,前者的相频响应更接近于直线。
(三) 贝塞尔滤波器
只满足相频特性而不关心幅频特性。
贝塞尔滤波器又称最平时延或恒时延滤波器。
其相移和频率成正比,即为一线性关系。
但是由于它的幅频特性欠佳,而往往限制了它的应用。
第二章常用滤波器的技术指标及设计方法
理想滤波器是不存在的,在实际滤波器的幅频特性图中,通带和阻带之间应没有严格的界限。
在通带和阻带之间存在一个过渡带。
在过渡带内的频率成分不会被完全抑制,只会受到不同程度的衰减。
当然,希望过渡带越窄越好,也就是希望对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。
因此,在设计实际滤波器时,总是通过各种方法使其尽量逼近理想滤波器。
如图所示为理想带通(虚线)和实际带通(实线)滤波器的幅频特性。
由图中可见,理想滤波器的特性只需用截止频率描述,而实际滤波器的特性曲线无明显的转折点,两截止频率之间的幅频特性也非常数,故需用更多参数来描述。
第一节常用滤波器的技术指标
一纹波幅度d
在一定频率范围内,实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化,其波动幅度d与幅频特性的平均值A0相比,越小越好,一般应远小于-3dB。
二截止频率fc
幅频特性值等于0.707A0所对应的频率称为滤波器的截止频率。
以A0为参考值,0.707A0对应于-3dB点,即相对于A0衰减3dB。
若以信号的幅值平方表示信号功率,则所对应的点正好是半功率点。
三带宽B和品质因数Q值
上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽,或-3dB带宽,单位为Hz。
带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力——频率分辨力。
在电工学中,通常用Q代表谐振回路的品质因数。
在二阶振荡环节中,Q值相当于谐振点的幅值增益系数,Q=1/2ξ(ξ——阻尼率)。
对于带通滤波器,通常把中心频率f0()和带宽B之比称为滤波器的品质因数Q。
例如一个中心频率为500Hz的滤波器,若其中-3dB带宽为10Hz,则称其Q值为50。
Q值越大,表明滤波器频率分辨力越高。
四倍频程选择性W
在两截止频率外侧,实际滤波器有一个过渡带,这个过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢,它决定着滤波器对带宽外频率成分衰阻的能力。
通常用倍频程选择性来表征。
所谓倍频程选择性,是指在上截止频率fc2与2fc2之间,或者在下截止频率fc1与fc1/2之间幅频特性的衰减值,即频率变化一个倍频程时的衰减量
或
倍频程衰减量以dB/oct表示(octave,倍频程)。
显然,衰减越快(即W值越大),滤波器的选择性越好。
对于远离截止频率的衰减率也可用10倍频程衰减数表示之。
即[dB/10oct]。
五滤波器因数(或矩形系数)
滤波器因数是滤波器选择性的另一种表示方式,它是利用滤波器幅频特性的-60dB带宽与-3dB带宽的比值来衡量滤波器选择性,记作,即理想滤波器=1,常用滤波器=1-5,显然,越接近于1,滤波器选择性越好。
第二节实际滤波器的频率特性
实际设计中所能得到的滤波器的频率特性与理想滤波器的频率特性之间存在着一些显著的差别,现以低通滤波器的频率特性为例进行说明。
一理想滤波器的特性
设滤波器输入信号为
,信号中混入噪音
,它们有不同的频率成分。
滤波器的单位脉冲响应为
。
则理想滤波器输出为:
(a)
即噪音信号被滤除
,而信号无失真只有延时和线性放大。
对(a)式作傅里叶变换得:
(b)
假定噪音信号被滤除,即
(c)
将(c)式代入(b)式整理得:
假定信号频率成分为:
,噪音频率成分为
。
则完成滤波的理想低通滤波器特性是:
图(六)理性滤波器的单位脉冲响应(
)
(d)
即
系统的单位脉冲响应为:
(e)
理性低通滤波器的频率特性如图(五)所示,单位脉冲响应的波形如图(六)所示。
二实际滤波器特性
图(七)实际滤波器的频率特性
理想滤波器具有非因果、无限长的单位脉冲响应和不连续的频率特性,要用稳定的线性时不变(LTI)系统来实现这样的特性是不可能的。
工程上是用脉冲响应为有限长的、因果的、稳定的线性时不变系统或具有连续频率特性的线性时不变系统来逼近理想特性。
在满足一定的误差要求的情况下来实现理想滤波特性。
因此实际的滤波器的频率特性如图(七)所示。
其中
——截止频率
——阻带起始频率
——过渡带宽
在通带内幅度响应以
的误差接近于1,即
为阻带起始频率,在阻带内幅度响应以小于
的误差接近于零,即
为了使逼近理想低通滤波器的方法成为可能,还必须提供一带宽为
的不为零的过渡带。
在这个频带内,幅度响应从通带平滑的下落到阻带。
第三节常用滤波器的设计原理和方法
一双线性变换法的基本原理
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。
为了克服脉冲响应不变法的多值映射这一缺点,我们首先把整个s平面压缩变换到某一中介的
平面的一横带里(宽度为
,即从
到
),然后再通过上面讨论过的标准变换关系
将此横带变换到整个z平面上去,这样就使s平面与z平面是一一对应的关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象,基本原理如图5-13所示。
将s平面整个平面压缩到
平面的
到
,可采用以下的变换关系
(1)
图(八)双线性变换法的映射关系
其中C为常数;这样
经
(1)式变为
,
变为
,可将上式写成
令
,则可得
(2)
再将
平面通过以下标准变化关系映射到z平面
(3)
这样
(2)式可表示为
(4)
(5)
二用窗函数设计FIR滤波器的基本原理
(一)设计思想
从时域从发,设计
逼近理想
。
设理想滤波器
的单位脉冲响应为
。
以低通线性相位FIR数字滤波器为例。
一般是无限长的,且是非因果的,不能直接作为FIR滤波器的单位脉冲响应。
要想得到一个因果的有限长的滤波器h(n),最直接的方法是截断
,即截取为有限长因果序列,并用合适的窗函数进行加权作为FIR滤波器的单位脉冲响应。
按照线性相位滤波器的要求,h(n)必须是偶对称的。
对称中心必须等于滤波器的延时常数,即
用矩形窗设计的FIR低通滤波器,所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象,且最大波纹大约为幅度的9%,这个现象称为吉布斯(Gibbs)效应。
为了消除吉布斯效应,一般采用其他类型的窗函数。
(二)利用窗函数设计FIR滤波器的具体设计方法
(1)按允许的过渡带宽度△ω及阻带衰减AS,选择合适的窗函数,并估计节数N:
其中A由窗函数的类型决定。
(2)由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲响应
。
(3)确定延时值。
(4)计算滤波器的单位取样响应
,
。
(5)验算技术指标是否满足要求。
第三章基于MATLAB的高通滤波器的设计
第一节双线性变换法设计巴特沃斯数字高通滤波器
clearall; clc; closeall
fs=10000; T=1/fs;
rp=3; rs=14;
Wp=0.35*pi; Ws=0.65*pi; %数字滤波器指标
wp=2*tan(Wp/2)/T; ws=2*tan(Ws/2)/T;
%预畸变,将数字滤波器的指标变为模拟滤波器的指标
[N,w]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s'); %求滤波器阶数和3dB截止频率
[Z,P,K]=buttap(N); %设计模拟低通滤波器
[Md,Nd]=zp2tf(Z,P,K); %将零极点形式转换为传输函数形式
[M,N]=lp2hp(Md,Nd,w); %对低通滤波器进行频率变换
[h,w]=freqs(M,N,512); %模拟滤波器的幅频响应
subplot(2,1,1);plot(w,abs(h)); grid;
xlabel('Hz');ylabel('幅度');title('模拟高通滤波器');
[Mh,Nh]=bilinear(M,N,1/T); %对模拟滤波器双线性变换
[h1,w1]=freqz(Mh,Nh); %数字滤波器的幅频响应
subplot(2,1,2);
plot(w1/pi,20*log10(abs(h1))); grid;
xlabel('ω/π');ylabel('幅度(dB)');title('数字高通滤波器');
图(九)
第二节凯泽窗法设计FIR数字高通滤波器
将模拟频率转化为数字频率,设取样时间为T(要满足抽样定理)有已知道的指标,可得T=1/f=0.0001S,Ωp=2π*fp*T=0.6π,Ωs=2π*fs*T=0.4π,过渡带宽度△Ω=Ωp-Ωs=0.2π,
Kaiser的参数可变,要根据公式确定滤波器的参数,一般都选用Ⅰ型线性相位滤波器即滤波器阶数M为偶数,程序如下:
wp=0.6π;ws=0.4π;Ap=3;As=14;
Rp=1-10.^(-0.05*Ap);Rs=10.^(-0.05*As);
f=[fpfs];
a=[01];
dev=[RpRs];
[M,wc,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev);
M=mod(M,2)+M;
h=fir1(M,wc,ftype,kaiser(M+1,beta));
omega=linspace(0,pi,512);
mag=freqz(h,[1],omega);
plot(omega/pi,20*log10(abs(mag)));
grid;
omega1=linspace(0,wp,512);
h1=freqz(h,[1],omega1);
omega2=linspace(ws,pi,512);
h2=freqz(h,[1],omega2);
fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(min(abs(h1))));
fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(max(abs(h2))));
运行程序可以得到滤波器的通阻带衰减,画出频率响应,若同阻带衰减不满足要求还可以使用滤波器的优化,一般使用的等波纹FIR进行优化
图(十)
第四章课程设计心得体会
通过近一周的Matlab课程设计,不仅更加熟悉Matlab软件的应用,而且对数字信号处理中相关的高通滤波器的设计又进行了系统的复习,而且通过数字信号处理课程设计,使我们加深了对课堂抽象概念的理解,巩固了课堂上所学的理论知识,并能很好地理解与掌握数字信号处理中的基本概念、基本原理、基本分析方法。
在课程设计中,通过自己搜集材料,扩大了自己的知识面,使我们系统地掌握了编程方法和解决实际问题的一些技巧,而且通过一周的课程设计,也暴露了许多自己的不足之处,在以后的学习过程中,有待继续提高。
通过学习MATLAB相关知识,可以发现MATLAB具有相当强大的矩阵运算和操作功能,其程序编写也比其它语言要简单,是一种对学习非常有帮助的软件,在以后的学习工作中定会有着广泛的用途,有待继续学习提高。
本课程设计在以后的后续课程学习中也有一定的帮助,尤其在设计一些电路中,需要用到相关滤波电路时,有一定的参考价值,在实际应用中有待结合实际情况具体分析。
参考文献
1、程佩青.数字信号处理(第二版).北京:
清华大学出版社,2001.1。
2、陈怀琛.数字信号处理教程--MATLAB释义与实现[M].北京:
电子工业出版社,2004.1。
3、陈后金.数字信号处理(第二版).北京:
高等教育出版社,2008.11(137-141页,172-174页,187-191页)。
4、甘俊英.基于MATLAB的信号与系统实验指导[M].北京:
清华大学出版社,2007.8。
5、楼顺天,刘小东,李博菡.基于MATLAB7.X的系统分析与设计——信号处理[M].西安:
西安电子科技大学出版社,2005.05。
6、董长虹.Matlab信号处理与应用[M].北京:
国防工业出版社,2005.01。
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