最优控制习题及参考答案.docx
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最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案习题1求通过x(0)=1,x
(1)=2,使下列性能指标为极值的曲线:
tfJ=(x2+1)dtt0解:
由已知条件知:
t0=0,tf=1d由欧拉方程得:
(2x)=0dtx=C1x=C1t+C2将x(0)=1,x
(1)=2代入,有:
C2=1,C1=1得极值轨线:
x*(t)=t+1习题2求性能指标:
J=1(x2+1)dt0在边界条件x(0)=0,x
(1)是自由情况下的极值曲线。
12解:
由上题得:
x*(t)=Ct+Cx*(t)由x(0)=0得:
C2=00L由xt=tf=2x(tf)=2C1t=t=0t01于是:
x*(t)=0【分析讨论】对于任意的x(0)=x0,x
(1)自由。
2010有:
C=x,C=0,即:
x*(t)=x其几何意义:
x
(1)自由意味着终点在虚线上任意点。
习题3已知系统的状态方程为:
x1(t)=x2(t),x2(t)=u(t)边界条件为:
x1(0)=x2(0)=1,x1(3)=x2(3)=0,31试求使性能指标J=0u2(t)dt2取极小值的最优控制u*(t)以及最优轨线x*(t)。
x解:
由已知条件知:
f=2uHamiton函数:
H=L+TfH=1u2+x+u=0=由协态方程:
1212122=C得:
112=C1t+C2H由控制方程:
u=u+2=0得:
u=2=C1tC2由状态方程:
x2=u=C1tC2得:
x(t)=1Ct2Ct+C22由状态方程:
x1=x2123得:
x(t)=1Ct31Ct2+Ct+C161223410将x(0)=,x(3)=0代入,,110联立解得:
C1=由、式得:
u*(t)=10t29,C2=2,C3=C4=19x*(t)=5t3t2+t+127x*(t)=5t22t+129习题4已知系统状态方程及初始条件为x=u,x(0)=1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
1J=0解:
H=x2e2t+u2e2t+ux=u列方程:
=2xe2t2e2tu+=0(x2+u2)e2tdt由得,u代入得,x1e2t21e2t=2x1e2te2t=+2将,代入,并考虑到u=xx1e2t(2xe2t)+e2t(2e2tx)2整理可得:
x+2xx=0特征方程:
s2+2s1=0s1=1+2,s2=1212于是得:
x*(t)=Ces1t+Ces2t)=u=*(t2e2t2e2tx*(t)=2e2t(C1s1es1t+Cses2t)22由x(0)=1,得:
C1+C2=1由(tf)=
(1)=0得:
C1s1e+C2s2e=0、联立,可得C1、C2求导代回原方程可得x*u*(略)习题5求使系统:
x1=x2,x2=u由初始状态x1(0)=x2(0)=0出发,在tf=1时转移到目标集1x1
(1)+x2
(1)=1,并使性能指标J=1u2(t)dt20为最小值的最优控制u*(t)及相应的最优轨线x*(t)。
解:
本题f(i),L(i)与习题3同,故H(i)相同方程同通解同1=C1,2=C1t+C2x=1Ct31Ct2+Ct+C有:
1612234x=1Ct2Ct+C22123u=C1tC20x(0)=0由,有:
C3=C4=0由x1
(1)+x2
(1)=1,有:
1C1C+1CC=161222122C3C=13122T由
(1)=+=0,=x1+x21xx1有:
(1)=0
(1)=
(1)112于是:
C1=C1+C22C1=C236、联立,得:
C1=-、C2=-77于是:
u*=3t+677x*=1t3+3t21147x*=3t2+6t2147习题6已知一阶系统:
x(t)=x(t)+u(t),x(0)=3f()试确定最优控制u*(t),使系统在t=2时转移到x
(2)=0,并使性能泛函2J=(1+u2)dt=min0ff()如果使系统转移到x(t)=0的终端时间t自由,问u*(t)应如何确定?
解:
H=1+u2+uxx=x+u列方程:
=2u+=01由协态方程得:
=Cet1t由控制方程:
u=C1e2tf1t代入状态方程:
x=xC1e2=2,x
(2)=0x(t)=C2e1Cet411C=3241Ce21Ce2=024112解得:
C1=4,e13e4C2=4e1代入得:
u*(t)=x(tf)=2,tf自由6ete411C=3241Cetf1Cetf=021H(tf)=0解得:
C1=406=0.325u*(t)=0.162et习题7设系统状态方程及初始条件为x(t)=u(t),x(0)=1试确定最优控制u*(t),使性能指标1tf2fJ=t+20udt为极小,其中终端时间tf未定,x(tf)=0。
解:
H=1u2+u2由协态方程得:
=0=C1由控制方程:
u+=0u=C1由状态方程:
x=u=C1x(t)=C1t+C2由始端:
x(0)=1C2=1由末端:
x(tf)=0C1tf+1=0考虑到:
H(tf)=tt=1ff12有:
u+u=121C2C2=1C2=22111C1=2当C1=2时,代入有:
tf=1=1C12当C1=2时,代入有:
tf=1=1,不合题意,故有C=2C12最优控制u*=2习题8设系统状态方程及初始条件为x1(t)=x2(t),x1(0)=2性能指标为x2(t)=u(t),J=1tfu2dtx2(0)=120要求达到x(tf)=0,试求:
(1)tf=5时的最优控制u*(t);f
(2)t自由时的最优控制u*(t);解:
本题f(i),L(i),H(i)与前同,故有1=C12=C1t+C2x=1Ct31Ct2+Ct+C112234x=1Ct2Ct+C22123u=C1tC220C4=2C3=112525由x(0)=x(5)=0,得:
C1C2+5C3+C4=016225C5C+C=01232联立得:
C1=0.432,C2=1.28,u*=0.432t1.28tf自由C=14C3=21Ct31Ct2+Ct+C=01f22f3f41Ct2Ct+C=021f2f3H(tf)=0联立有:
C2t22Ct+2=0,无论C为何值,t均无实解。
2f2f2f习题9给定二阶系统x(t)=x(t)+1,x(0)=1124141x2(t)=u(t),1x2(0)=4控制约束为u(t),要求最优控制u*(t),使系统在t=t2f并使时转移到x(tf)=0,其中tf自由。
tfJ=u2(t)dt=min0解:
H=u2+x+1+u1241211222本题属最小能量问题,因此:
u*(t)=112112=0=C由协态方程:
11121212=Ct+C2是t的直线函数。
当u*(t)=1=1Ct1C时(试取)222122x(t)=1Ct21Ct+C241223x(t)=1Ct31Ct2+1t+Ct+C1121424341由始端条件C3=C4=4由末端条件1Ct31Ct2+1t+1=0121f42f2f41Ct21Ct+1=041f22f4另:
H(tf)=01联立解得:
C1=,C2=0,t=39f于是,1t2=1时,t02=92=1时,t=9在t从03段,21满足条件。
故,u*1=1t2218101234t习题10设二阶系统x1(t)=x1(t)+u(t),x1(0)=1x2(t)=x1(t),x2(0)=0控制约束为u(t)1,当系统终端自由时,求最优控制u*(t),使性能指标J=2x1
(1)+x2
(1)取极小值,并求最优轨线x*(t)。
解:
由题意,fx1+u=,=x+x,L=0,H=ux+x1211121x11由控制方程可得:
u*=+110=Cet+C由协态方程可得:
1121212=022=C1由(t)=C=1,C=e1x(tf)112=et1+1在t0的范围内111故:
u*=1t0,12=1若需计算最优轨线,只需把u*=1代入状态方程,可得:
x*(t)=2et11x*(t)=2ett+22习题11设系统状态方程为x1(t)=x2(t),x1(0)=x10性能指标为J=120x2(t)=u(t),(4x2+u2)dtx2(0)=x20试用调节器方法确定最优控制u*(t)。
01解:
由已知条件得:
A=000,B=,140Q=00,R=110BAB=01,可控最优解存在考虑到Q=40=220=DTD,故000D=20D20=DA02闭环系统渐近稳定由Riccati方程ATP+PAPBR1BTP+Q=0,有00P1P2+P1P201P1P2001P1P2+40=010P2P3P2P300P2P31P2P30022P2+4=0P=2(取+2舍2)展开得:
P1P2P3=0P1=4(由正定舍4)2PP2=0P2=2PP=22332342故P=22于是,u*=R1BTPx=2x2x1212即:
u*(t)=2x(t)2x(t)
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