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第一章极限与连续

第一节数列的极限

一、数列极限的概念

按照某一法则，对于每一个，对应一个确定的实数，将这些实数按下标从小到大排列，得到一个序列

称为数列，简记为数列，称为数列的一般项。

例如：

一般项分别为，，，，

数列可看成自变量取正整数的函数，即，

设数列，来说明数列以1为极限。

为使，只需要，即从101项以后各项都满足，

为使，只需要，即从100001项以后各项都满足，

为使（是任意给定的小正数），只需要，即当以后，各项都满足。

令，当时，，因此有，即任意给定小正数，总存在正整数，当时的一切都满足，则

定义：

设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时的一切都满足不等式

则说常数是数列的极限，或者说数列收敛于，记为

或

如果不存在这样的常数，则说数列没有极限，或者说数列发散。

数列以为极限的几何意义：

任意给定的正数，总存在正整数，当时的一切，有

即或

也就是当的一切都落在的邻域内，在的外边至多有项（图）

例1证明数列

的极限为1。

证明：

①分析：

为使，只需要，或，即

②证明：

任意给定小正数，取，当时的一切满足

因此，

例2已知，证明数列的极限是0。

分析：

为使，只需要，由于，故时，即，或时

。

证明：

任意给定小正数，取，当时的一切满足

因此，

例3设，证明等比数列

的极限是0。

证明：

任给（设），由于

为使，只需，解得，或。

故取，当时，有

因此，。

二、收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，则它的极限是唯一的。

证明：

反证法：

如果，，不妨设。

取。

由于，存在，当时，；

又由于，存在，当时，。

取，则当时，，，

由得，由得，矛盾，故必须。

例4证明数列（）是发散的。

对于数列，如果存在正数，使得对于一切，有，则说数列是有界的；否则，则说数列是无界的。

定理2（收敛数列的有界性）如果数列有极限，则数列一定有界。

证明：

注意到，可证明定理2。

定理3（收敛数列的保号性）如果，且（或），则存在正整数，当时的一切，有（或）。

证明：

取即可证明定理。

推论如果数列从某项起有（或），且，则（或）。

对于数列，从中抽取

，，，，

称为数列的一个子数列。

定理4如果数列收敛于，则数列的任何子数列都收敛，且收敛于。

第二节函数的极限

一、函数极限的定义

1．自变量趋向于无穷大时函数的极限

数列是特殊的函数，如，，且时，，考虑函数，是否有时，？

任意给定小正数，为使，只要，即。

由于，即即可。

任给，存在正数，当时，对应的函数值满足

即当时，以1为极限。

定义1设函数当大于某一正数时有定义。

如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得满足不等式时，对应函数值满足

则说常数为函数当时的极限，记为

或（当）

：

，，当时，。

例1证明。

分析：

为使，只要，即，或。

证明：

，，当时，，因此

。

的几何解释：

，，当时，

即或

如图所示：

如果，，当时，，则说时，，记为；

如果，，当时，，则说时，，记为

显然，，

例如：

，有，。

2．自变量趋向于有限值时函数的极限

例1，，时，；

例2：

，定义域为，但时，；

任意给定小正数，为使，只要，即即可。

任意给定小正数，为使

只要，即即可。

定义2设函数在点的某一去心邻域内有定义。

如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得满足不等式时，对应函数值满足

则说常数为函数当时的极限，记为

或（当）

：

，，当时，。

例2证明。

分析：

为使，只要，即。

证明：

，取，当时，对应函数值满足

因此，。

的几何解释：

，，当时，

即或

即时，

如图所示：

如果，，当时，，则说从的右侧趋向于（记为）时，，记为，或；

如果，，当时，，则说从的左侧趋向于（记为）时，，记为，或；

显然，，

例3设函数

当时，的极限不存在。

例4证明

例5证明

例6证明

例7证明

二、函数极限的性质

定理1（函数极限的唯一性）如果存在，则极限是唯一的。

定理2（函数极限的局部有界性）如果，则存在正数和，使得当时，有。

证明：

定理3（函数极限的局部保号性）如果，且（或），则存在常数，使得当时，有（或）。

推论如果在的某去心邻域内，（或），且，则（或）。

定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限，为函数定义域内一收敛的数列，且（），则对应的函数值数列也收敛，且。

证明：

由于，则，，当时，有；

又由于，故对于上面的，，当时，有，当然有；

因此，，，当时，有，故，即。

第三节无穷小与无穷大

一、无穷小

定义1如果函数当（或）时的极限为零，则函数称为当（或）时的无穷小。

例如：

，因此为时的无穷小；，因此为时的无穷小。

为时的无穷小，，当时，；

为时的无穷小，，当时，；

定理1在自变量的同一变化过程（或）中，函数以为极限的充分必要条件是，其中是无穷小。

证明：

必要性：

设，则，，当时，。

令，则是时的无穷小，且。

充分性：

设，其中为常数，是时的无穷小。

于是，，，当时，，即，因此，为当时的极限，或。

二、无穷大

如果当（或）时，对应的函数值的绝对值无限增大，则称函数为（或）时的无穷大。

定义2设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），当满足（或）时，对应函数值满足

则说函数为（或）时的无穷大。

如果函数为（或）时的无穷大，也可记为

（或）

例如：

为时的无穷大；为时的无穷大。

：

，，当时，；

：

，，当时，。

如果，则直线是函数的图形的铅直渐近线；

如果，则直线是函数的图形的水平渐近线。

定理2在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。

第四节极限运算法则

定理1有限个无穷小的和也是无穷小。

证明：

以两个无穷小的和为例：

设及是时的两个无穷小，令。

由于是时无穷小：

，，当时，；

又由于是时无穷小：

对于，，当时，；

取，则当时，与都成立，故与同时满足，因此

即为时的无穷小。

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。

定理3如果，，则

（1）

（2）

（3）（）

证明：

以

（2）为例，由于，得，为无穷小；又由于，得，也为无穷小，因此

由定理与推论，得为无穷小，故为的极限。

定理3中的

（1）和

（2）可推广到有限个的情况，即

推论1如果存在，为常数，则

推论2如果存在，为正整数，则

将定理3应用于数列的情况，得

定理4如果，，则

（1）

（2）

（3）（,,且）

例1求

例2求

对于多项式函数

有

对于有理分式函数

其中，都是多项式，于是有

，

因此，当时

例3求

例4求

例5求

一般情况为

例6求

例7求

定理6（复合函数的极限运算法则）设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当，有，则

证明：

按照极限定义，需要证明，，使得当时，有

由于，故，，使得当时，有

又由于，故对于上面的，，使得当时，有

取，当时，，故

即。

由定理6可得，当，，有

或当，，有

第五节极限存在准则，两个重要极限

准则Ⅰ如果数列、与满足下列条件：

（1）（），

（2），，

则数列的极限存在，且。

准则Ⅰ如果

当（或）时

，

（2），，

则存在，切。

利用准则证明重要极限。

由图6-1可以看出：

所以

即

由于，得

或

由于为偶函数，故在内，也有。

由于当时

由夹逼准则，得，由夹逼准则，得

例1求

例2求

例3求

准则Ⅱ单调有界数列必有极限。

如果数列满足，数列称为单调增加数列；

如果数列满足，数列称为单调减少数列。

单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。

利用准则Ⅱ，来证明另一个重要极限存在。

设，可证明数列单调有界。

由于

类似

由此看出

又由于

即数列也是有界的，由准则Ⅱ，知道数列有极限，即存在，设

对于任何，存在正整数使得，因此有

由于

得

令，可证明，因此

例1求

例2求

例3求

例4证明

第六节无穷小的比较

当时，，，及都是无穷小，但是

，，

定义设，为无穷小

如果，则说是比高阶的无穷小，记作；

如果，则说是比低阶的无穷小；

如果，则说与是同阶无穷小；

如果，则说与是等价无穷小，记作；

如果，，则说是关于的阶无穷小。

因此，当时，是比高阶的无穷小；是比低阶的无穷小；与是等价无穷小，。

由于，故当时，与是同阶无穷小；

又由于，故当时，是关于的二阶无穷小；

又由于，故当，是比低阶的无穷小。

定理2设，，且存在，则

证明：

例1求

例2求

例3求

第七节函数的连续与间断点

函数的连续性

设变量从初值变化到终值，则称为变量的增量。

设函数在的某一邻域内有定义，当自变量从变化到时，函数从变化到，函数的增量为（图8-1）

如果时，，即

或

则说函数在处是连续的。

定义设函数在的某一邻域内有定义，如果

则说函数在点连续。

记，则就是；又由于

或

因此等价于，即。

由此可得连续的另一等价定义

定义设函数在的某一邻域内有定义，如果

则说函数在点连续。

用极限定义描述为：

在点连续，，当时，。

简单说：

如果在处有定义；当时，有极限；且，则在点连续。

例如，对于多项式函数，对任何的，都有

因此，对于多项式函数在任何点处都连续。

对于有理函数，如果，则有

因此，有理函数在定义域内的每一点都连续。

如果函数在某区间上每一点都连续，则说函数在该区间上连续，或者说函数为该区间上的连续函数。

例1证明函数在内是连续的。

证明：

设为内任意一点，由于

又由于

得

又夹逼准则，得

因此，在处连续，由于为内任意一点，得在内连续。

如果，或，则说函数在右连续；

如果，或，则说函数在左连续。

如果函数在处连续，则在右连续且函数在左连续；反之，当在右连续且在左连续时，函数在处连续。

例如

在处右连续，但在处不是左连续的，因此，在处不连续。

函数的间断点

如果函数在处不连续，则称为函数的一个间断点。

（1）如果在处没有定义，则在处不连续，为的一个间断点；

（2）如果在处没有极限，则在处不连续，为的一个间断点；

（3）如果，则在处不连续，为的一个间断点。

由于在处没有定义，得为的一个间断点。

由于在处无定义，得为的一个间断点。

由于在处无定义，得为的一个间断点。

由于当时没有极限，因此，为的一个间断点。

由于在处没有定义，得为的一个间断点。

由于，说称为的一个无穷间断点。

如果，，但，说为的一个跳跃间断点。

例如，为的一个跳跃间断点。

如果，则称为的一个可去间断点。

例如，为的一个可去间断点。

称为的一个振荡间断点。

如果为的一个间断点，但与都存在，则称为的第一类间断点。

不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。

第八节连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

定理1