第五章 点线面的位置关系学考专用.docx
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第五章点线面的位置关系学考专用
※高二文科班数学课堂学习单7※
班级姓名小组
第五章点、线、面的位置关系
(一)
一,学习目标:
1、掌握点、线、面的位置关系;2,会进行平行的转化、垂直的转化。
二,自学导航:
问题一:
【例2】
(1)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线B1D1与平面BDC1的位置关系是( )
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D.直线B1D1在平面BDC1内
(2)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,PA=AD,则异面直线PD与BC所成角的大小是______.
问题二 【例4】(2013年湖南学业水平考试真题)如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥BD,BC=3,BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为45°,点E,F分别是AC,AD的中点.
(1)求证:
EF∥平面BCD;
(2)求三棱锥ABCD的体积.
问题三 【例5】(2012年湖南学业水平考试真题)如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=
.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小;
(2)求证:
AC⊥平面BB1D1D.
问题四【例7】P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点.
(1)求证:
EO∥平面PCD;
(2)图中EO还与哪个平面平行?
我生成的问题:
三,我的收获:
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四,课堂检测:
1,(第16题.)如图所示,已知AB⊥平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点,BC⊥CD.
(1)求证:
MN∥平面BCD;
(2)求证:
平面BCD⊥平面ABC;
(3)若AB=1,BC=
,求直线AC与平面BCD所成角的大小。
2,(第17题.)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:
PA∥平面EDB;
(2)求证:
PB⊥平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小.
五,作业
1,(第1题)已知下列命题:
①若直线l平行于α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;
④若直线a∥b,b⊂α,则直线a平行于α内的无数条直线.
其中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4
2,(第4题.)垂直于同一条直线的两条直线一定( )
A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能
3,(第5题.)设P是△ABC所在平面α外一点,若PA,PB,PC两两垂直,则P在平面α内的射影是△ABC的( )
A.内心B.外心C.重心D.垂心
4,(第7题.)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则异面直线A1B与AD1所成角的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
5,(第8题.)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2
,CC1=
,则二面角C1-BD-C的大小为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
6,(第9题.)如图是无盖正方体纸盒的展开图,在原正方体中直线AB,CD所成角的大小为____________.
7,(第11题.)已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是______.
8(第14题)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=
a,求证:
平面PAD⊥平面PAB.
9,(第15题.)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证:
AC⊥平面B1D1DB;
(2)求证:
BD1⊥平面ACB1;
(3)求三棱锥BACB1体积.
10,(第18题.)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.
(1)求证:
B1C∥平面A1BD;
(2)求证:
B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在CC1上是否存在一点E,使得∠BA1E=45°,若存在,试确定E的位置,并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直?
若不存在,请说明理由.
※高二文科班数学课堂学习单7※
班级姓名小组
点、线、面的位置关系
一,学习目标:
2、
二,自学导航:
问题一:
【例2】
(1)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线B1D1与平面BDC1的位置关系是( )
A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直线B1D1在平面BDC1内
【答案】A
(2)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,PA=AD,则异面直线PD与BC所成角的大小是______.
【答案】45°
问题二 【例4】(2013年湖南学业水平考试真题)如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥BD,BC=3,BD=4,直线AD与平面BCD所成的角为45°,点E,F分别是AC,AD的中点.
(1)求证:
EF∥平面BCD;
(2)求三棱锥ABCD的体积.
【解析】
(1)证明:
因为点E,F分别是AC,AD的中点,所以EF∥CD,
又因为CD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,
所以EF∥平面BCD.
(2)解:
因为AB⊥平面BCD,所以∠ADB是直线AD与平面BCD所成的角,
即∠ADB=45°,在Rt△ABD中,AB=BD=4,
所以三棱锥ABCD的体积为VA-BCD=
S△BCD·AB=
×
×3×4×4=8.
问题三 【例5】(2012年湖南学业水平考试真题)如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=
.
(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小;
(2)求证:
AC⊥平面BB1D1D.
【解析】
(1)解:
∵D1D⊥平面ABCD,D为D1在平面ABCD的射影,
∴直线BD为直线D1B在平面ABCD上的射影,
∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角,
∵D1D⊥平面ABCD,
∴DD1⊥BD,即∠D1DB=90°.
∵底面ABCD是正方形且AB=1,∴BD=
.
在Rt△D1BD中,tan∠D1BD=
=
=1.
∴∠D1BD=45°.
∴直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°.
(2)证明:
∵D1D⊥平面ABCD,∴DD1⊥AC.
∵底面ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
又∵DD1⊂平面BB1D1D,BD⊂平面BB1D1D,且DD1∩BD=D,
∴AC⊥平面BB1D1D.
问题四【例7】P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为PB的中点,O为AC,BD的交点.
(1)求证:
EO∥平面PCD;
(2)图中EO还与哪个平面平行?
【解析】
(1)证明:
∵在平行四边形ABCD中,O为AC,BD的交点.
∴O为BD的中点.
又∵在△PBD中,E为PB的中点,
∴EO∥PD.
∵EO⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,
∴EO∥平面PCD.
(2)解:
图中EO还与平面PAD平行.
我生成的问题:
三,我的收获:
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四,课堂检测:
1,(第16题.)如图所示,已知AB⊥平面BCD,M、N分别是AC、AD的中点,BC⊥CD.
(1)求证:
MN∥平面BCD;
(2)求证:
平面BCD⊥平面ABC;
(3)若AB=1,BC=
,求直线AC与平面BCD所成角的大小.
【解析】
(1)证明:
因为M,N分别是AC,AD的中点,所以MN∥CD.又MN⊄平面BCD且CD⊂平面BCD,
所以MN∥平面BCD.
(2)证明:
因为AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,
所以平面BCD⊥平面ABC.
(3)解:
因为AB⊥平面BCD,
所以∠ACB是直线AC与平面BCD所成的角.
在直角△ABC中,AB=1,BC=
,
所以tan∠ACB=
,即∠ACB=30°.
故直线AC与平面BCD所成的角为30°.
2,(第17题.)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:
PA∥平面EDB;
(2)求证:
PB⊥平面EFD;(3)求二面角CPBD的大小.
【解析】
(1)证明:
连接AC,AC交BD于O,连接EO.如图所示.
∵底面ABCD是正方形,
∴点O是AC的中点.
在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO.
而EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,
所以PA∥平面EDB.
(2)证明:
∵PD⊥底面ABCD,且BC⊂底面ABCD,∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD是正方形,即DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
又DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.
又∵PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC.
∴DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.
又EF⊥PB,且DE∩EF=E,
所以PB⊥平面EFD.
(3)解:
由
(2)可知PB⊥DF,
所以∠EFD是二面角CPBD的一个平面角.
又由
(2)可知DE⊥EF,PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a,则
PD=DC=a,BD=
a,
PB=
=
a,
PC=
=
a,
DE=
PC=
a.
在Rt△PDB中,
DF=
=
=
a.
在Rt△EFD中,
sin∠EFD=
=
=
,
∴∠EFD=60°.
所以二面角CPBD的大小为60°.
五,作业
1,(第1题)已知下列命题:
①若直线l平行于α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;
④若直线a∥b,b⊂α,则直线a平行于α内的无数条直线.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
2,(第4题.)垂直于同一条直线的两条直线一定( )
A.平行B.相交
C.异面D.以上都有可能
【答案】D
3,(第5题.)设P是△ABC所在平面α外一点,若PA,PB,PC两两垂直,则P在平面α内的射影是△ABC的( )
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
【答案】D
4,(第7题.)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则异面直线A1B与AD1所成角的大小为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
【答案】C
5,(第8题.)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2
,CC1=
,则二面角C1BDC的大小为( )
A.30°B.45°
C.60°D.90°
【答案】A
6,(第9题.)如图是无盖正方体纸盒的展开图,在原正方体中直线AB,CD所成角的大小为____________.
【答案】60°
7,(第11题.)已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是______.
【答案】平行或b在平面α内
8
(第14题)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=
a,求证:
平面PAD⊥平面PAB.
【证明】∵AD=PA=a,PD=
a,
∴PA2+AD2=PD2,∴AD⊥PA,
又四边形ABCD是正方形,∴AD⊥AB,
∴AD⊥平面PAB,
∴平面PAD⊥平面PAB.
9,(第15题.)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.
(1)求证:
AC⊥平面B1D1DB;
(2)求证:
BD1⊥平面ACB1;
(3)求三棱锥BACB1体积.
【解析】
(1)证明:
∵AC⊥BD,又BB1⊥平面ABCD,且AC⊂平面ABCD,
∴BB1⊥AC,BD∩BB1=B,
∴AC⊥平面B1D1DB.
(2)证明:
由
(1)知AC⊥平面B1D1DB,
∵BD1⊂平面B1D1DB,∴AC⊥BD1.
∵A1D1⊥平面A1B1BA,AB1⊂平面A1B1BA,
∴A1D1⊥AB1.
又∵A1B⊥AB1,且A1B∩A1D1于A1,
∴AB1⊥平面A1D1B.
∵BD1⊂平面A1D1B,∴BD1⊥AB1,
又∴AC∩AB1=A,
∴BD1⊥平面ACB1.
(3)解:
(方法1)VBACB1=VABB1C=
×1×
=
.
(方法2)VBACB1=
=
.
10,(第18题.)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.
(1)求证:
B1C∥平面A1BD;
(2)求证:
B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在CC1上是否存在一点E,使得∠BA1E=45°,若存在,试确定E的位置,并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直?
若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)连接AB1,交A1B于M,则MD就是平面A1BD内与B1C平行的直线.
(2)需在平面ABB1A1中找两条相交直线都与B1C1垂直,由直三棱柱的概念,可知BB1⊥B1C1,另一条的寻找,从AC1⊥平面A1BD,以平行四边形ABB1A1为正方形入手,证明A1B⊥平面AB1C1,从而得出A1B⊥B1C1.(3)用余弦定理解△A1BE.
【解析】
(1)证明:
连接AB1与A1B相交于M,则M为AB1的中点.连接MD,又D为AC的中点,如图所示.
∴B1C∥MD,
又B1C⊄平面A1BD,MD⊂平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD.
(2)证明:
∵AB=B1B,∴平行四边形ABB1A1为正方形,
∴A1B⊥AB1.
又∵AC1⊥平面A1BD,
∴AC1⊥A1B,
∴A1B⊥平面AB1C1,
∴A1B⊥B1C1.
又在直三棱柱ABCA1B1C1中,
BB1⊥B1C1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(3)解:
设AB=a,CE=x,
∵B1C1⊥A1B1,
∴在Rt△A1B1C1中,有A1C1=
a.
同理可得A1B=
a,
∴C1E=a-x,
∴A1E=
=
,
BE=
,
∴在△A1BE中,由余弦定理得
BE2=A1B2+A1E2-2A1B·A1E·cos45°,
即a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-2
a·
·
,
∴
=2a-x,
∴x=
a,即E是C1C的中点,
∵D、E分别为AC、C1C的中点,∴DE∥AC1.
∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD.
又DE⊂平面BDE,
∴平面A1BD⊥平面BDE.
【评析】空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化,每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直,最终达到目的,其转化关系为线线垂直——线面垂直——面面垂直.
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