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群决策与社会选择
第十二章群决策与社会选择
GroupDecision-makingandSocialChoiceTheory
主要参考文献56,118,169,185
§12-1概述
一、为什么要研究群决策
A.在现实生活中
●任何决策会影响一群人,因此在公正、民主的社会中,重大的决策应尽量满足受该决策影响的群众的愿望和要求.群众通过代表反映愿望和要求,代表们构成各种委员会.
●行政机构中的领导班子
●社会发展→信息和知识的积累及更新速度加快,领导个人难以在掌和应付→智囊团和咨询机构应运而生并广泛存在,作用加强.
委员会、代表大会、议会、协会、俱乐部,领导班子、组织,智囊团等等都是群,群中的成员各有偏好,要形成集体意见需要研究群决策和社会选择理论.
B.世界上矛盾无处不在,人与人、组织与组织、国与国之间的矛盾如何解决,如何避免冲突升级,需要研究协商、谈判、仲裁、调解、合作对策等冲突分析方法,因而冲突分析也是群决策的主要研究内容.
二、分类
涉及内容及解决办法
投票表决
社会选择社会选择函数
社会福利函数
委员会
激发创造性
集专家判断采集意见
体和系统结构的探索
决群体参与仿真
策Teamtheory实施与管理
群一般均衡理论递阶优化
决组织机构决策组织决策
策管理
|正规型
多一般对策论扩展型
人特征函数
决Nash
策冲协商与谈判K-S
突Mid-mid
分均衡增量
析主从对策与激励强制仲裁
仲裁与调解最终报价仲裁
亚对策论组合仲裁
三、社会选择的定义与方式
1.定义:
(Luce&Raiffa)
社会选择就是根据社会中各成员的价值观及其对不同方案的选择产生社会的决策;即把社会中各成员对各种状况的偏好序集结成为单一的社会偏好模式…
2.社会选择的常用方式:
惯例、常规、宗教法规、职权、独裁者的命令、投票表决和市场机制.
其中:
●投票:
少数服从多数,大多用于解决政治问题;
●市场机制:
本质是用货币投票,大多用于经济决策;
●独裁:
根据个人意志进行(取代)社会选择;
●传统:
以惯例、常规、宗教法规等代替社会中各成员的意志.
传统到独裁的演变:
传统(无论惯例、常规还是宗教法规)在开始时是社会上大部分公民或成员认可的规则(以及规定、法规),随着社会的发展,总有新的问题、新情况是原来的规则(以及规定、法规)所无法解决的,解决这些新的问题、新情况的新规则就要由社会上比较有威望的某些人制订,这些人在解决新问题、新情况时就代替整个社会进行了选择.只要这些人不是以民主方式选举产生的,他们的权力就会逐渐增大,成为代替社会进行决策的小团体.这个小团体中最强有力的人物最终也就有可能成为独裁者.
§12.2投票表决(选举)(Voting)
投票表决可分成两步:
1.投票,应简单易行
2.计票,应准确有效
一、非排序式投票表决(Non-rankedVotingSystems)
(一)只有一人当选
1.候选人只有两个时:
计点制(Spotvote)
投票:
每人一票;计票:
简单多数票(simpleplurality)法则(即相对多数).
2.候选人多于两个时
①简单多数(相对多数)
②过半数规则(绝对多数Majority)第一次投票无人获得过半数选票时,
a.二次投票,如法国总统选举.
b.反复投票:
i.候选人自动退出,如美国两党派的总统候选人提名竞选;
ii.得票最少的候选人的强制淘汰,如奥运会申办城市的确定.
例12.1由11个成员组成的群,要在a、b、c、d四个候选人中选举一人.设各成员心目中的偏好序如下:
成员i1234567891011
排序第一位aaabbbbcccd
第二位cccaaaaaaaa
第三位dddccccdddc
第四位bbbddddbbbb
按简单多数票法则,b得4票当选.
实际上,虽然有4人认为b最好,但是有7人认为b最差;
虽然只有3人认为a最好,但是其余8人认为a是第二位的;
所以,由a当选为宜.
例12.2设各成员心目中的偏好序如下:
成员i:
1234567891011
排序第一位bbbbbbaaaaa
第二位aaaaaacccdd
第三位cccddddddcc
第四位dddccccbbbb
按简单多数票法则或过半数规则,b得6票当选.
实际上,虽然有6人认为b最好,但是有5人认为b最差;虽然只有5人认为a最好,但是其余6人认为a是第二位的;所以,由b当选未必合适.
例12.3设各成员心目中的偏好序如下:
成员i:
1234567891011
排序第一位bbbccccddaa
第二位aaaaaaaaabd
第三位dcdbbbdcbdc
第四位cdcdddbbccb
按过半数规则,第一次投票无人获得过半数选票,c、b得票多,第二投票时,6人认为c比b优,c当选.而在该问题中没有人认为a处于第二位以下,却有4人认为c最差.
由上面三个例子可知,无论简单多数票法则、过半数规则还是二次投票,都有不尽合理之处.
(二).同时选出二人或多人
1.单一非转移式投票表决(Singlenontransferablevoting)
投票人每人一票,得票多的候选人当选.
如:
日本议员选举采用选区制,每选区当选人数超过2个,1890年起即用此法.
2.复式选举(Multiplevoting)
每个投票人可投票数=拟选出人数但对每个候选人只能投一票
弊端:
在激烈的党派竞争中,实力稍强的党派将拥有全部席位.因此该方法只能用于存在共同利益的团体、组织内部,如党团组织和班干部的选举.
3.受限的选举(Limitedvoting)
每个投票人可投票数<拟选出人数对每个候选人只能投一票
弊端:
同上.1868年英国议会选举采用此法,1885年即取消.
4.累加式选举(Cumulatevoting)
每个投票人可投票数=拟选出人数.这些选票由选举人自由支配,可投同一候选人若干票
利:
可切实保证少数派的利益.
大多用于学校董事会的选举,例:
英国(1870-1902).(注意:
公司董事会的选举与此不同.)
5.名单制(Listsystem)
由各党派团体开列候选人名单,投票人每人一票,投给党团.
此法于1899年用于比利时,以后被荷兰、丹麦、挪威和瑞典等国采用.
计票分两种:
⑴.最大均值法;⑵.最大余额法
例12.424000人投票,选举5人,A、B、C、D四个党派分别得8700、6800、5200、3300票,如何分配议席?
(1)最大均值法:
A党首先分得第一席.第二席分给各党派时,各党派每一议席的均值如下:
党派得票除数均值(每一议席的得票均值)
A870024350
B680016800
C520015200
D330013300
由于B党的均值最大B党得第二席.分第三席时各党派每一议席的均值如下:
党派得票除数均值
A870024350
B680023400
C520015200
D330013300
C党得第三席,分第四席时各党派每一议席的均值如下:
党派得票除数均值
A870024350
B680023400
C520022600
D330013300
由于A党的均值最大,A党得第四席.分第五席时各党派每一议席的均值如下:
党派得票除数均值
A870032900
B680023400
C520022600
D330013300
B党的均值最大B党得第五席.最后AB各得2席,C得1席.
⑵.最大余额法:
首先计算Q=N/K的值:
Q=24000/5=4800,用各党派得票数除以Q并计算余数:
党派得票除数分得席位余额
A8700480013900
B6800480012000
C520048001400
D3300480003300
按每4800票得一席,A、B、C党各得一席,剩余2席,因为A、D两党的余额大,最后A党得2席,B、C和D党各得一席.
可以证明,最大均值法对大党有利;最大余额法对小党有利.
6.简单可转移式选举(Singlenontransferablevoting)
常常用于3-6个席位的选区.投票人每人一票.现况值Q=N/(K+1),得票数大于Q的候选人人选,得票最少的候选人被淘汰,由未被淘汰的未当选候选人在下一轮中竞争剩余席位.
仍以例12.4说明.N=24000,K=5,故Q=N/(K+1)=24000/6=4000,设各党派候选人的第一次投票得票数为:
候选人:
AAABBCCD
得票数:
4100410050041002700405011503300
其中,A,A,B,C第一次投票后可入选,A被淘汰,B,C,D通过第二次投票竞争最后一席.这时Q=24000/2=12000.支持A党的可转移投票方向,他们在让谁入选上有决定性影响.
7.认可选举(Approvalvote)
每个投票人可投任意张选票,但他对每个候选人只能投一张票.得票最多的前K个候选人当选.如职称评定,评奖,评先进等.
(三).其它投票表决(选举)方法
1.资格认定
1.候选人数M=当选人数K即等额选举,用于不存在竞争或不允许竞争的场合.
2.不限定入选人数如学位点评审,职称评定,评奖等.目的不是排序.而是按某种标准来衡量被选对象.
2.非过半数规则
⑴2/3多数,例美国议会推翻总统否决需要2/3多数.
⑵2/3多数60%多数,例如希腊议会总统选举,第一次需要2/3多数,第二次要60%多数.
⑶3/4多数,美国宪法修正案需要3/4州议会的批准.
⑷过半数支持,反对票少于1/3.例如1993年前我国博士生导师的资格认定.
⑸一票否决,安理会常任理事国的否决权.
二、偏好选举与投票悖论(Paradoxofvoting)
1.记号N={1,2,…,n}表示群,即投票人的集合;
A={a,…,a}备选方案(候选人)集合;
~成员(投票人)i的偏好;
~,群的排序.
n或N(aa)群中认为a优于a的成员数
采用上述记号,过半数规则可以表示为:
对a,a∈A若n>n则aa;若n=n则a~a
2.Borda法(1770年提出)
由每个投票人对m个候选人排序,排在第一位的得m-1分,排在第二位的得m-2分,…
根据各候选人所得总分多少确定其优劣.
3.Condorcet原则(1785年提出)
对候选人进行成对比较,若某个候选人能按过半数规则击败其它所有候选人,则称为Condorcet候选人;若存在Condorcet候选人,则由其当选.
用上述记号表示,即:
若n>n∨a∈A\{a},则a当选.
例12.5群由60个成员组成,A={a,b,c},群中成员的态度是:
23人认为acb(即a优于c,c优于b,a也优于b)
19人认为bca
16人认为cba
2人认为cab
a与b相比N(ab)=25,N(ba)=35因此有ba
a与c相比N(ac)=23,N(ca)=37因此有ca
b与c相比N(bc)=19,N(cb)=41因此有cb
由于候选人c能分别击败a与b,所以c是Condorcet候选人,由c当选.
但是,常常不存在Condorcet候选人.
4.多数票循环(投票悖论)
例12.6若群中60个成员的态度是:
23人认为abc
17人认为bca
2人认为bac
8人认为cba
10人认为cab
由于N(ab)=33,N(ba)=27因此有ab
N(bc)=42,N(ca)=18因此有bc
N(ac)=25,N(ca)=35因此有ca
每个成员的偏好是传递的,但是按过半数原则集结得到的群的排序并不传递,出现多数票循环,这种现象称作Condorcet效应(也叫投票悖论)
5.出现Condorcet效应的概率
成员数N:
357111525∞
方案数m=3.0556.0694.0750.0798.082.0843.0877
4.111.14.15.1755
5.16.20.22.2513
6.20.25.27.3152
8.4152
10[1].4887
15.6087
20.6811
30.7914
49.8405
三、策略性投票(操纵性)
1.小集团控制群
例:
百人分蛋糕
2.谎报偏好而获益
例12.7群由30个成员组成,A={a,b,c},群中成员的态度是:
14认为abc
4人认为bac
4人认为bca
8人认为cba
根据Borda法和Condorcet原则,都应由b当选,但是,若认为abc的14人中有8人撒谎,称他们认为acb,则按Borda法,将由a当选.
3.程序(议程)问题例12.6所述问题:
后参加表决的方案获胜.
四、衡量选举方法优劣的标准
①能否充分利用各成员的偏好信息
②若存在Condorcet候选人,应能使其当选.
③能防止策略性投票
§12.3社会选择函数
一、引言
1.仍以例12.5为例:
群由60个成员组成,A={a,b,c},群中成员的态度是:
23人认为acb
19人认为bca
16人认为cba
2人认为cab
根据Condorcet原则c当选
根据简单多数规则a当选
根据过半数(二次投票)规则b当选
该例中一共只有三个候选人,采用不同选举方法时,这些候选人都有可能当选.那么这些方法中究竟何者合理?
据何判断选举方法的合理性?
2例12.6表明多数票循环不可避免,问题是:
出现多数票循环时该谁当选?
研究社会选择问题的理论家提出:
应该采用某种与群中成员偏好有关的数量指标来反映群(即社会)对各方案的总体评价.这种数量指标称为社会选择函数.
二、社会选择函数的几个性质
0.记号
在对x,y比较时
1若xy
D=0若x~y
-1若yx
群中各成员的偏好分布D=(D,…,D)
偏好分布的集合Ð={-1,0,1}
社会选择函数F(D)=f(D,…,D)D∈Ð
即F:
{-1,0,1}→{-1,0,1}
1.明确性(Decisiveness)
D≠0→F(D)≠0
2.中性(Neutrality)又称对偶性对侯选人的公平性
f(-D,…,-D)=-f(D,…,D)
3.匿名性(Anonymity)又称平等原则各成员的权力相同
f(D,…,D)=f(D,…,D)
其中σ是(1,…,n)的新排列
4.单调性(Monotonicity)又称正的响应
若D≥D’则F(D)≥F(D’)
5.一致性(Unanimity)又称WeakPareto性
f(1,1,…,1)=1orf(-1,-1,…,-1)=-1
6.齐次性(Homogeneity)
对任意正整数mF(mD)=F(D)
7.Pareto性
D∈{1,0}forallIandD=1forsomek→F(D)=1
D=0forallI→F(D)=0
三、社会选择函数
1.Condorcet-函数
f(x)=N(xy)
f(.)值愈大愈优.
例12.6群中60个成员的态度是:
23人认为abc
17人认为bca
2人认为bac
8人认为cba
10人认为cab
N(ab)=33,N(ac)=25因此f(a)=25
N(ba)=27,N(bc)=42,因此f(b)=27
N(ca)=18,N(ca)=35,因此f(c)=18
∴bac
Condorcet-函数值还可以用下法求得:
根据各方案成对比较结果列出表决矩阵
--3325矩阵中各行最小元素:
25
N=27--4227
3518--18
即Condorcet-函数值.Condorcet-函数满足性质1~6.
2.Borda-函数
f(x)=N(xy)
f(x)即表决矩阵中x各元素之和,f(.)值愈大愈优.
例12.6中方案a,b,c的Borda-函数值分别是58,69,53,∴bac
Borda-函数满足性质1~6.
3.Copeland-函数
根据各方案两两比较的胜负次数的差来定
f(x)=M{y:
y∈A且xy}-M{y:
y∈A且yx}
f(.)值愈大愈优.例12.6中方案a,b,c的Copeland函数值均为0,三者平局.
Copeland-函数满足性质1~6.
4.Nanson函数
用Borda-函数求解,每次淘汰Borda-函数值最小的方案:
即:
A=A,
A=A\{x∈A;f(x)≤f(y),且对某些yf(x)<f(y)}
直到A=A为止.
例12.6中f(c)的Borda-函数值最小,∴A=A\{c}={a,b}
A=A\{b}={a}∴abc
Nanson函数不满足性质(4).
5.Dodgson函数(C.J.Dodgson,英,1832—1898)
使某个候选人成为Condorcet候选人需要N中成员改变偏好的总选票数.
N个成员,m个候选人记n=N(aa)
n为偶数时=n/2n为奇数时=(n+1)/2n=0
f(a)=j=1,…,m
例12.6中,a,b,c的Dodgson函数值分别为5,3,12,∴bac
Dodgson函数不满足(4).
6.Kemeny函数
·使社会排序与各成员对方案的偏好序有最大的一致性.
首先定义:
①社会选择排序矩阵L={l}
1aa
l=0a~a
-1aa
A上的每一线性序都对应一个L
记=N(aa)
=N(aa)
=N(a~a)
②比例矩阵M={m}
m=(+/2)/n
③投票矩阵E=M-M
e=
定义
即,群中认为aa的成员的比例与群的排序l的内积,它反映群的排序与成员排序的一致性.
Kemeny函数f=max
7.Cook-Seiford函数
设成员i把方案j排在r位,方案j的群体序为K
则成员I与群体序的总偏差:
|r-K|
各成员排序与群体序的总偏差d=|r-K|
数学规划mindp
s.t.p=1
p=1
的解中p=1表示方案j的群体序为K
8.本征向量函数
Dodgson矩阵D=[d]
其中:
d=n/n,显然d=1/d,但是d≠djl*dlk,
可由(D-mI)W=0
求得W后.按各分量的大小排相应方案的次序.
9.Bernardo函数
上述各种方法只根据各成员对各方案的总体优劣集结成群体序.对某些多人多准则问题,尤其是实际工程问题,应该根据每个准则下各方案的优劣次序集结成群体序.
一般的多准则社会选择问题可以表述为:
对有限方案集A={a,…,a},由委员
会N={1,2,…,n}根据准则集(即评价指标体系)C={c1,c1,…,cr}来确定各方案的优先次序.
在求解问题时,首先要根据r种不同的准则中的每一种准则,分别描述各方案aj的优劣.为了集结各成员的意见,可以用协商矩阵∏表示委员会对各方案优劣的总体感觉.∏是m×m方阵,其元素表示将方案aj排在第k位的成员人数.为了反映各准则的重要性,可以对各准则加权.权向量W={w1,w2,…,wr}.设根据准则cl,有位成员将aj
排在第k位,则=.,Bernardo定义一个0-1矩阵P,其每行、每列只有一个元素为1,余者均为0.使极大,即
max
s.t.=1k=1,2,…,m
=1j=1,2,…,m
∈{0,1}
P中的非0元素=1表示方案aj应该排在k位.
§12.4社会福利函数(SocialWelfareFunction)
一、社会福利(SocialWelfare)
1.福利经济学是经济学中的一个学派,主要研究社会的福利与福利的判断问题;
2.福利经济学家(例Bergson,Samulson等)认为:
社会福利是一种可以测度的量,人们可据以判断一种社会状况是优于,无差异于还是劣于另一种社会状况。
即可以用Socialwelfarefunction来度量社会福利。
定义:
SWF是社会状态x的实值函数,是社会福利的测度,记作W(x)=G(w(x),…,w(x))
Note:
①社会福利是社会中各成员所享受福利的综合,而非总和;
②个人的福利wi(x)与该成员对社会的贡献、地位、个人的兴趣、爱好等多种因素
有关.
3.若用u(x)表示社会状态x带给成员i的福利,则W(x)=G(u(x),…,u(x)),
在相互效用独立时G可表示为加性,即W(x)=
但是,由于存在不确定性,设导致x的自然状态θ的概率为π(θ)
故应有:
max{E[W(x)]=},所以社会福利的判断极其复杂.
即使对确定性的x
a)各成员间的效用并不独立:
不患寡而患不均;
b)两个人的福利相加并无意义(一个人享受双分福利与二人各享受一份绝不等价),所以加性社会福利函数并无实际意义.
而且使用SWF存在如下问题:
①
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