七升八年级暑期数学辅导2.docx
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七升八年级暑期数学辅导2
目录
八年级数学上册课时分布
第一讲与三角形有关的线段
第二讲与三角形有关的角
第三讲多边形及其内角和
第四讲全等三角形
第五讲全等三角形的判定
(一)
第六讲全等三角形的判定
(二)
第七讲全等三角形的判定(三)
第八讲全等三角形的判定(四)
第九讲全等三角形的判定综合
第十讲角的平分线的性质
第十一讲全等三角形复习测试题
第十二讲轴对称
第十三讲等腰三角形
第十四讲等边三角形
第十五讲如何做几何证明题
(1)
第十六讲如何做几何证明题
(2)
第十七讲如何做几何证明题(3)
第十八讲如何做几何证明题(4)
第十九讲测试
第二十讲试卷评讲及复习
八年级(上)(62)
第11章 三角形(8)
11.1与三角形有关的线段
(2)
11.1.1三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线
11.1.3三角形的稳定性
信息技术应用画图找规律
11.2与三角形有关的角(3)
11.2.1三角形的内角 7.2.2三角形的外角
阅读与思考为什么要证明
11.3多边形及其内角和
(2)
11.3.1多边形 11.3.2多边形的内角和
数学活动
小结
(1)
第12章 全等三角形(11)
12.1全等三角形
(1)
12.2三角形全等的判定(6)
信息技术应用 探究三角形全等的条件
12.3角的平分线的性质
(2)
数学活动
小结
(2)
第13章 轴对称(14)
13.1轴对称(3)
13.1.1轴对称 13.1.2线段的垂直平分线的性质
13.2画轴对称图形
(2)
信息技术应用用轴对称进行图案设计
13.3等腰三角形(5)
13.3.1等腰三角形 13.3.2等边三角形
实验与探究三角形中边与角之间的不等关系
13.4课题学习最短路径问题
(2)
数学活动
小结
(2)
第14章 整式的乘法与因式分解(14)
14.1整式的乘法(6)
14.1.1同底数幂的乘法 14.1.2幂的乘方 14.1.3积的乘方 14.1.4整式的乘法
14.2乘法公式(3)
14.2.1平方差公式 14.2.2完全平方公式
阅读与思考 杨辉三角
14.3因式分解(3)
14.3.1提公因式法 14.3.2公式法
阅读与思考
型式子的分解
数学活动
小结
(2)
第15章 分式(15)
15.1分式(4)
15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质
15.2分式的运算(6)
15.2.1分式的乘除 15.2.2分式的加减 15.2.3整数指数幂
阅读与思考 容器中的水能倒完吗?
15.3分式方程(3)
数学活动
小结
(2)
第一讲全等三角形
(一)知识要点
1、全等三角形的有关概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。
F
“全等”用“≌”表示,读作“全等于”,如△ABC≌△DEF。
当两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如右图所示,△ABC和△DEF全等,点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应顶点,记作△ABC≌△DEF。
其中AB与DE,AC与DF,BC与EF是对应边,∠A与∠D,∠B与∠E,∠C与∠F是对应角。
规律方法小结:
在全等三角形中找出对应角和对应边,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角。
全等三角形的面积一定相等,但是面积相等的三角形不一定是全等三角形。
常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。
(1)平移型:
如下左图,若△ABC≌△DEF,则BC=EF。
将△DEF向左平移得到下右图,则仍有BC=EF,在右图中,若知BC=EF,则可推出BE=CF。
F
(2)旋转型:
如下左图,两对三角形的全等属于旋转型,图形的特点是:
图1的旋转中心为点A,有公共部分∠1;图2的旋转中心为点O,有一对对顶角∠1=∠2。
D
(3)翻折型:
如上右图,两对三角形的全等属于翻折型,其中图1中有公共边AB,图2中有公共角∠A。
知识延伸:
熟悉这些基本图形,有利于我们寻找三角形全等的隐含条件,启发我们的证明思路。
2、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
知识延伸:
(1)全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据;
(2)全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。
规律方法小结:
在寻找全等三角形的对应边和对应角时,常用的方法有:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
(3)公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角;
(4)全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角)。
(二)典型例题
E
例1:
若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度,就得到△ADE,请写出图中所有的对应边和对应角。
规律·方法:
全等三角形的书写要注意对应顶点写在对应的位置上,同时,在书写对应边时,直接按照对应边来写,但书写对应角时,就必须特别注意结合图形,尤其是角的表示。
O
例2:
如图,已知△ABD≌△ACE。
试说明BE=CD,∠DCO=∠EBO。
规律·方法:
全等三角形的性质不仅有:
(1)全等三角形的对应边相等;
(2)全等三角形的对应角相等。
同时,我们还发现:
(3)全等三角形的周长相等;(4)全等三角形的面积相等;(5)全等三角形中,对应边上的高,对应边上的中线,对应角的平分线也分别相等。
E
例3:
如图,△ADF≌△CBE,且点E,B,D,F在一条直线上,判断AD和BC的位置关系,并加以说明。
E
例4:
如图,在△ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为()
A、150B、200
C、250D、300
α
例5:
如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB,AC边翻折1800形成的,若∠1:
∠2:
∠3=28:
5:
3,则求∠α的度数。
例6:
如图,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角。
2
例7:
如图,已知△ABC≌△DBE,AB⊥CD,DE的延长线交AC于点F,那么DF⊥AC吗?
说明理由.
例8:
如图,已知△ABE≌△ACD.且AB=AC,求证:
(1)∠BAD=∠CAE;
(2)BD=CE.
(三)反馈练习
1.如图,△ABC≌△DCB,若∠l与∠2是一组对应角,则其他的对应角有,,对应边有,,。
2.如图,△AB≌C△A′B′C′,且点B,B′,C,C′在同一直线上,则BB′=____;若∠A=80º,则∠A′=º,∠B′DC=º。
3.如图,把△ABC沿直线BC翻折180º,得到△DBC,则△ABC与△DBC的关系是。
4.如图,把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△AED,那么△ABC△AED,其中对应边有,,,对应角有,,。
5.(南通)已知:
如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70º,∠C=25º,则∠AEB=。
6.如图,△ABD≌△ACD,AB=AC,则∠BAD=∠,BD=,∠ADB=度
7.如图,若△AB≌C△EDC,且∠B=58º,CD=2cm,点B,C,E在同一直线上,则∠E=
,BC=cm.
8.若△ABC≌△DEF,△DEF的周长为32cm,DE=9cm,EF=12cm,则AB=cm,BC=
___cm,AC=cm.
9.如图,直角△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,则下列结论中错误的是()
A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90ºC.AC=DFD.EC=CF
10.下列说法,
(1)形状相同的两个三角形是全等三角形;
(2)面积相等的两个三角形是全等三角形;(3)全等三角形的周长相等,面积相等;(4)若△ABC≌△DEF,则∠A=∠D,AB=EF.其中正确的个数有()
A.l个B.2个C.3个D.4个
11.如图所示,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则下列结论:
①AC=AF;②∠FAB=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠FAC.其中正确结论的个数是()
A.l个B.2个C.3个D.4个
12.如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则
∠C的度数为()
A.15ºB.20º
C.25ºD.30º
13.如图,△ABC≌△CDA,下列各组边中,不是对应边的是()
A.AB与DCB.AC与CA
C.AD与CBD.AD与DC
14.如图,△ABC≌△ADE,点B的对应点是点D.若∠BAD=100º,∠CAE=40º,求∠BAE的度数.
第二讲全等三角形的判定
(一)
(一)知识要点
1、三角形全等的判定方法一:
SSS
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。
书写格式:
C’
在△ABC和△A’B’C’中,
∵
∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)
规律方法小结:
(1)有的题目可以直接从图中找到全等的条件,而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中,我们一定要认真读图,准确地把握题意,找准所需条件。
(2)数形结合思想:
将“数”与“形”结合起来进行分析、研究,这是解决问题的一种思想方法。
(二)典型例题
例1.在△ABC中,AB=AC,AD是三角形的中线.
求证:
△ABD≌△ACD
A
例2.已知:
如图,A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,
求证:
△ABC≌△DEF.
例3.如图,点A,B,C,D在同一直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.求证:
DF//CE.
例4.如图,已知△ABE≌△ACD,求证:
∠l=∠2.
例5.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,且AC=BD,AM=CN,BM=DN.求证:
AM∥CN,BM∥DN.
例6.已知:
如图,四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,求证:
∠A=∠C.
例7.如图所示,AB=AE.BC=ED,CF=FD.AC=AD,求证:
∠BAF=∠EAF.
(三)练习:
1.如图,若AB=AC,BD=CD,∠B=62º,则∠BAC=度.
2.如图,已知AB=CD,AD=CB,还有条件,可判定△ABC≌△CDA,其依据是.
3.如图,在△ABD和△ACE中,已知AB=AC,BD=CE,AD=AE,若∠l=20º,则∠2=.
4.如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点0,且AO=BO,CO=DO,AD=BC,则图中全等三角形有对.
5.如图,已知AB=BC.AD=CD,∠ABC=80º,∠ADC=50º,则∠A=º,∠C=º.
6.如图,已知AB=AC,点D为BC的中点,下列结论:
(1)△ABD≌△ACD;
(2)∠B=∠C;(3)AD
平分∠BAC;(4)AD⊥BC.其中正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.下列说法:
(1)周长相等的两个等边三角形全等;
(2)有三个角对应相等的两个三角形全等;(3)有三边对应相等的两个三角形全等;(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等.其中正确说法的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.下列命题中正确的是()
A.有两条边对应相等的两个三角形全等
B.两个等边三角形全等
C.两个等腰直角三角形全等
D.三边对应相等的两个三角形的对应角也相等,
9.如图,已知AB=AC,BD=CD.求证:
∠l=∠2.
10.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是BC的三等分点,且AD=AE.求证:
△ABD≌△ACE.
11.如图16,在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,AC与DB交于点M.
(1)求证:
△ABC≌△DCB;
(2)过点C作CN∥BD,过点B作BN//AC,CN与BN交于点N,试判断线段∠NBC和∠NCB数量关系.并证明你的结论.
第三讲全等三角形的判定
(二)
(一)知识要点
1、三角形全等的判定方法二:
SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。
书写格式:
C’
在△ABC和△A’B’C’中,
∵
∴△ABC≌△A’B’C’(SAS)
知识延伸:
“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。
例1.如图所示,直线AD、BE相交于点C,AC=DC,BC=EC.
求证:
AB=DE
E
例2:
如图,AD⊥AE,AB⊥AC,AD=AE,AB=AC。
求证:
△ABD≌△ACE
规律·方法:
证明三角形全等时,一般需要三个条件,如果已知两对边,就试着去找第三对边或这两对边的夹角,利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等;
E
例3:
如图,C为BE上一点,点A,D分别在BE的两侧,AB∥ED,AB=CE,BC=ED。
求证:
AC=CD
例4.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:
CE=BD.
例5:
如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.
求证:
∠A=∠D
例6.如图,BE、CF分别是△ABC的高.P是BE上一点。
且BP=AC,Q是CF延长线上一点,且CQ=AB,求证:
AP⊥AQ.
(三)练习
1.如图,已知∠l=∠2,AD=AC,则△____≌△,其依据是。
2.如图,∠l=∠2,AB=AC,AE=AD,则△ABD≌△,依据是,由此还可得BD=。
3.如图,AC=AB,AD平分∠CAB,点E在AD上,则图中全等的三角形有____对,它们是
。
4.(天门)如图,已知AE=CF,∠A=∠C,要使△ADF≌△CBE,还需添加一个条件:
____
(只需写一个).
5.小明为了测量池塘对岸A,B两点间的距离,作了如下的操作(如图):
①取一能够到达A,B两点的点D;②连接AD并延长AD于点E,使AD=ED.连接BD并延长BD至C,使BD=CD;③连接CE.那么要知道AB的长度,应测量线段的长度.
6.如图,已知AD⊥BC于点D,BD=CD,点E在AD上;则图中全等三角形共有()
A.l对B.2对C.3对D.4对
7.如图有下列四个条件:
①BC=B′C;②AC=A′C;③∠A′CA=∠B′CB;④AB=A′B′其中任取三个为题设,余下的一个为结论,则最多可以构成正确的命题的个数是()
A.l个B。
2个C.3个D.4个
8.下列命题中错误的是()
A.有两边对应相等的两个等腰三角形全等
B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
9.下列条件中,可以判定△ABC和△A′B′C′全等的是()
A.BC=BA,B′C′=B′A′,∠B=∠B′
B.∠A=∠B′,AC=A′B′,AB=B′C′
C.∠A=∠A′,AB=B′C′,AC=A′C′
D.BC=B′C′,AC=A′B′,∠B=∠C′
10.如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中全等三角形的对数有()
A.3对B.4对C.5对D.6对
11.如图,点A,E,B,D在同一直线上,在△ABC与△DEF中,AB=DE,AC=DF,AC∥DF.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)你还可以得到的结论是(写出一个即可,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母).
12.如图13,点C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE,求证:
∠D=∠E.
第四讲全等三角形的判定(三)
(一)知识要点
1、三角形全等的判定三、四:
ASA及AAS
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。
书写格式:
C’
在△ABC和△A’B’C’中,
∵
∴△ABC≌△A’B’C’(ASA)
知识延伸:
“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。
书写格式:
在△ABC和△A’B’C’中,
C’
∵
∴△ABC≌△A’B’C’(AAS)
知识延伸:
“AAS”可以看成是“ASA”的推论。
规律方法小结:
由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。
无论这个一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可。
(二)例题讲解:
例1.如图所示,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE
例2.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.
求证:
AB=AD
练习:
如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上,AB∥DF,AC∥DE,AC
DE,FC与BE相等吗?
请说明理由.
例3.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:
BE=CD.
F
D’
例4:
如图,已知△ABC≌△A’B’C’,AD,A’D’分别是△ABC和△A’B’C’的边BC和B’C’上的高。
求证:
AD=A’D’
例5.如图,点E在AC上,∠1=∠2,∠3=∠4.试证明BE=DE.
(三)练习
1.如图,已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上的两点,且BE=DF.若∠AEB=100º,∠ADB=
30º.则∠BCF=。
2.如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,∠1=∠2,则图中的全等三角形共有对.
3.如图,AC与BD相交于点O,∠1=∠4,∠2=∠3.△ABC的周长为25cm,△AOD的周长为
17cm,则AB=.
4.(海南)在△ABC和△
中,AB=A
B
,∠A=∠A
,要使△ABC≌△A
B
C
,还需添加一个条件,这个条件可以是.
5.如图,∠E=F=∠90º.∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:
①∠l=∠2;②BE=CF;③△ACN
≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是____(注:
将你认为正确的结论都填上).
6.下列结论:
(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等;
(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等;(3)三个角对应相等的两个三角形全等;(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等,其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.(成都)如图,在△ABC与△DEF中,已知AB=DE,要使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是()
8.下列条件中,能判定两个三角形全等的是()
A.有两边及一角对应相等
B.有三个角对应相等
C.有两角及一边对应相等
D.有两条边对应相等
9.如图,已知△ABC的面积为36,将△ABC沿BC平移可得到△A′B′C′,点B′和C重合,连接AC′交A′C于D,则△C′DC的面积为()
A.6B.9C.12D.18
10.如图所示,在LAOB的两边上截取AO=BO,CO=DO,连接AD,BC交于点P.有下列结论①△AOD≌△BOC;②△APC≌△BPD;③点P在∠AOB的平分线上.其中正确的是()
A.只有①B.只有②
C.①②D.①②③
11.如图,已知点E、C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.
求证:
△ABC≌△DEF.
12.如图所示,∠l=∠2,∠D=∠C,求证;AC=BD.
第五讲全等三角形的判定(四)
(一)知识要点
1、直角三角形全等的判定方法:
HL
C’
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)
书写格式:
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’(HL)
规律方法小结:
证明两个直角三角形全等的方法:
除了证明一般三角形全等的方法SSS,SAS,ASA,AAS以外,还有一个特殊的证明方法:
HL(斜边、直角边),从表面上看,SSS,SAS,ASA,AAS都是三个条件,其实,HL也是三个条件,除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外,还有“必须在Rt△”中才能用这种方法。
(二)经典例题
E
例1:
如图,在Rt△ABC中,∠A=900,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC的垂线,交AC于点E。
求证:
AE=ED
例2:
已知:
BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,
A
求证:
①△BEC≌△DAE;
②DF⊥BC.
例3.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD交于点O,且AO平分∠BAC.求证:
OB=OC.
例4.如图,∠ACB∠=ADB=90º.AC=AD,点E是AB上任意一点.求证:
CE=DE.
例5.如图,AD为△ABC的高,E为AC上的一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD.
(1)求证:
BE⊥AC;
(2)若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换,那么这个命题成立吗?
证明你的论断.
(三)练习
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,再添加一个条件(只需填一个),就可以判
定△ABD≌△ACD.
2.如图,AB=CD,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F.若BE=CF,则△ABE≌△,其依据是.
3.已知
AB=5,BC=4,AC=3,则
的周长是,面积是,斜边上的高为_____.
4.如图,在
分别过B,C作经过A点的直线的垂线BD,CE.若BD=3cm.CE=4cm,则DE=。
5.如图所示,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等,则∠ABC+∠DFE=。
6.两个直角三角形全等的条件是()
A.一锐角对应相等B.一条边对应相等
C.两锐角对应相等D.两条边对应相等
7.
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