几何模型与证法中考几何专题复习半角模型.docx

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几何模型与证法中考几何专题复习半角模型

半角模型

课程名称

授课教师

年级

日期

学科

时段

数学

1掌握半角模型的模型特点，学会辨认半角模型

2学会使用半角模型的方法进行解题

教学目标

3学会找出隐藏的半角模型，并能够正确解答

课首沟通

上次课的内容是什么？

现在的学校进度到哪里了？

学校最近有测验吗？

知识导图

课首小测

书面测试

1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为多少度？

2.如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°

求证：

EF＝BE+DF

知识梳理

模型概述：

定义：

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角

模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的

三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得出线段之间的数量关系，从而解决

问题。

导学一正方形内含半角

知识点讲解1正方形内含半角

思想方法：

通过旋转变换构造全等三角形，实现线段的转化。

例题

1.如图，在正方形ABCD钟，E,F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=45°，证明以下结论：

（1）EF=BE+DF

（2）△CEF的周长是正方形边长的2倍。

（3）FA平分∠DFE,EA平分∠BEF；

（4）S△AEF=S△AEB+S△AFD

2.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是________.

3.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF于点H．若EF＝BE+DF，

那么下列结论：

①AE平分∠BEF；②FH＝FD；③∠EAF＝45°；④S

＝S

+S

△EAF△ABE△ADF

；⑤△CEF的周长为2．

其中正确结论的序号是__________

我爱展示

我爱展示题

1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为

．

2.如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别是边BC、CD上的两点，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，连接BD分别交AE、AF于

点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH．以下结论正确的是__________．

2

2

2

2

2

2

①AG＝1；②△CEF的周长是定值，定值是2；③DF+BE＝EF；④DN+BM＝MN．

3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD的中点，AF平分∠BAE交BC于点F，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，则CF

的长为_____．

导学二等腰三角形内含半角

例题

1.

（1）如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F在直线AB上，∠ECF＝∠B，

①△ACF与△BEC的关系为　

　．

②设△ABC的面积为S，求证：

AF•BE＝2S．

（2）如图2，将

（1）中的∠ACB＝90°改为∠ACB＝α°，求证：

（3）如图3，在

（2）中的条件不变的情况下，

（2）中的结论是否成立？

（直接写出结论，不用说明理由）

2.

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，连接EF，

222

则EF、BE、FD之间的数量关系是：

EF＝BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN＝BM+DN，请证

明这个等量关系；

（2）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当∠BAC＝60°，∠DAE＝30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_____________

；

②如图3，当∠BAC＝α，（0°＜α＜90°），∠DAE＝

时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___________

．

2

2

[参考：

sinα+cosα＝1】

3.D为等边△ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN＝MN，

求证：

（1）∠MDN＝60°；

（2）作出△DMN的高DH，并证明DH＝BD．

我爱展示

我爱展示题

1.【发现证明】

（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图1证明上述结论．

【类比引申】

（2）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，请直接写出EF、BE、DF之间的

数量关系，不需证明；

【联想拓展】

（3）如图3，如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在边BC上，且∠EAF＝45°，若BE＝1，CF＝2，求EF的长．

2.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

探究：

当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是__________；此时＝

__________；

（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？

若成立请直接写出你的结

论；若不成立请说明理由．

（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？

并给出证明．

导学三半角模型综合题

例题

1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结

论：

正确的序号是________.

2.探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关

系，直接写出判断结果：

_______

；

（2）如图2，若把

（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，

且∠EAF＝∠BAD”，则

（1）问中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在

（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不

变，则

（1）问中的结论是否发生变化？

若变化，请给出结论并予以证明．

我爱展示

我爱展示题

1.

如图，边长为

的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，

折痕DF交AC于点M，则OM＝_________.

2.

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，把△ADF绕着点A顺时针旋转90°得到

△ABG，请直接写出图中所有的全等三角形；

（2）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．

①如图2，若E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，求证：

EF＝BE+DF；

②若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且2∠EAF＝∠BAD，①中的结论是否仍然成立？

请说明理由．

限时考场模拟

1.正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG．求证：

EF＝

BE+DF．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝

．

3.如图，在△ABC中，AC：

BC：

AB＝5：

12：

13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达

的区域的面积为

，则△ABC的周长为

．

自主学习

1.已知，如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D,E在斜边AB上，且∠DCE=45°，求证：

线段

DE,AD,BE中能构成一个直角三角形。

2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝45°．

（1）如图

（1），试判断EF，BE，DF间的数量关系，并说明理由；

（2）如图

（2），若AH⊥EF于点H，试判断线段AH与AB的数量关系，并说明理由．

3.如图，E与F分别在正方形ABCD边BC与CD上，∠EAF=45°．

（1）试着猜想线段EF、BE、DF三者之间的数量关系，并说明理由；

（2）已知BE=2cm，DF=3cm，求正方形ABCD的边长．

（3）连接BD，分别交AE、AF于点M、N，试猜想线段BM、DN、MN的数量关系，并证明.

参考答案

课首小测

书面小测

1.45°

解析:

2.见解析

解析:

导学一

正方形内含半角

例题

1.见解析

解析:

如图，在正方形ABCD中，AD=AB,

将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，则AG=AF,∠ABG=∠D=90°，BG=DF，

∠GAF=90°∵∠ABC=90°∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°∴G,B,C共线∵∠EAF=45°∴∠EAG=∠EAF=45°

在△AEG和△AEF中，

∴EF=EG=BE+BG=BE+DF

（2）由

（1）可知

，

EF=BE+DF∵△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+DC=2BC正方形ABCD的周长=4BC∴正方形

ABCD的周长=△CEF的周长的2倍。

（3）由

（1）可知

∴∠AEG=∠AEF,∠G=∠AFE=∠AED∴FA平分∠DFE,BE平分∠BEF（4）由

（1）可知

2.

解析:

3.①②③④⑤

解析:

解：

如图：

把△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，则△ABE≌△ADG，

∠EAG＝∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠ADG＝90°，AE＝AG，BE＝DG，∴∠FDG＝∠FDA+∠ADG＝90°+90°＝

180°，∴F、D、G三点共线．∵EF＝BE+DF，∴EF＝DG+DF＝GF．∵在△AGF与△AEF中，

，∴△AGF≌△AEF（SSS），∴∠GAF＝∠EAF，∠1＝∠2，∵∠GAF+∠EAF＝∠EAG＝90°，∴

，故③正确；∵∠1＝∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H，∴AD＝AH，∵AD＝AB，∴AH＝AB，又∵AH⊥EF于H，

AB⊥BC于B，∴AE平分∠BEF，故①正确；∵AE平分∠BEF，∴∠AEB＝∠AEH，∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∠AEH+∠HAE＝90°，∴∠BAE＝∠HAE，又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B，∴BE＝HE，∵BE＝DG，∴HE＝

DG，∵EF＝HE+FH，GF＝DG+FD，EF＝GF，∴FH＝FD，故②正确；∵△AEF≌△AGF，∴S△EAF＝S△GAF．

∵△ABE≌△ADG，∴S△GAF＝S△ADG△ADF△ABE△ADF，∴S△EAF＝S△ABE△ADF

+S

S

+S

+S

，故④正确；

∵EF＝HE+FH，BE＝HE，FH＝FD，∴EF＝BE+FD，∴△CEF的周长＝EF+EC+CF＝BE+FD+EC+CF＝BC+CD＝2AB＝2，故

⑤正确．

我爱展示

我爱展示题

1.6

解析:

2.①②④

解析:

3.

解析:

导学二

等腰三角形内含半角

例题

1.

（1）①△ACF∽△BEC②见解析

（2）见解析（3）成立

解析:

2.见解析

解析:

3.见解析

解析:

我爱展示

我爱展示题

1.见解析

解析:

2.见解析

解析:

导学三

半角模型综合题

例题

1.①③

解析:

2.

（1）EF＝BE+DF

（2）结论EF＝BE+DF仍然成立．（3）EF＝BE﹣DF

解析:

我爱展示

我爱展示题

1.

解析:

2.

（1）图中全等的三角形有：

△ADF≌△ABG，△EAG≌△EAF

（2）见解析；不成立

解析:

限时考场模拟

限时考场模拟题目

1.见解析

解析:

2.

解析:

3.25

解析:

自主学习

题目型自主学习

1.见解析

解析:

证明：

过点B作BF⊥AB，使BF=AD，连接EF。

∵△ABC是等腰直角三

角形∴∠A=∠1=45°∴∠2=45°在△CAD和△CBF中，

∴CD=CF,∠1=∠4∵∠2=45°∴∠1+∠3=45°∴∠4+∠3=45°

2.

（1）BE+DF＝EF

（2）AH＝AB

解析:

3.

（1）EF=BE+DF

（2）正方形ABCD的边长为6

解析: