电大离散数学本期末考试题库及答案.docx
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电大离散数学本期末考试题库及答案
2020年电大离散数学(本)期末考试题库及答案
、单项选择题
5.设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,则r=(e-v+2)6.若集合A={1,{2},{1,2}},则下列表述正确的是({1}A).
7.
已知一棵无向树
T中有8个顶点,
4度、
3度、2度的分支点各一个,T的树叶数为(5)
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
8.
设无向图G的邻接矩阵为1
0
0
0
0则G的边数为(7).
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
9.
设集合A={a},
则A的幂集为({
,{a}})
10.下列公式中(AB(AB))为永真式.
11.若G是一个汉密尔顿图,则G一定是(连通图).
12.集合A={1,2,3,4}上的关系R={
).
13.设集合A={1,2,3,4,5},偏序关系是A上的整除关系,则偏序集上的元素5是集合A的(极大元
图一
(x)(A(x)∧B(x))).
B).
d)是强连通的).
14.图G如图一所示,以下说法正确的是({(a,d),(b,d)}是边割集).
15.设A(x):
x是人,B(x):
x是工人,则命题“有人是工人”可符号化为(16.若集合A={1,2},B={1,2,{1,2}},则下列表述正确的是(AB,且A17.设有向图(a)、(b)、(c)与(d)如图一所示,则下列结论成立的是(
1
18.设图G的邻接矩阵为1
1
0则G的边数为(
).
19.无向简单图G是棵树,当且仅当
20.下列公式((P(Q
21.若集合A={a,{a},
(G连通且边数比结点数少(PQ)))为重言式.
1).
22.设图G=
P))(P
{1,2}},则下列表述正确的是({a}A).
V,则下列结论成立的是(deg(v)2E
vV
,R3={, 2、无、2). 23.命题公式(P∨Q)→R的析取范式是((P∧Q)∨R)24.下列等价公式成立的为(P(QP)P(PQ)). 25.设A={a,b},B={1,2},R1,R2,R3是A到B的二元关系,且R1={,},R2={,,}2>},则(R2)不是从A到B的函数. 26.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为(无、 27.若集合A的元素个数为10,则其幂集的元素个数为(1024). 29.设完全图Kn有n个结点(n≥2),m条边,当(n为奇数)时,Kn中存在欧拉回路. 二、填空题(每小题3分,共15分) 1.设A,B为任意命题公式,C为重言式,若ACBC,那么AB是重言式(重言式、矛盾式或可满足式)。 2.命题公式(P→Q)P的主合取范式为(PQ)(PQ)。 3.设集合A={,{a}},则P(A)={,{},{{a}},{,{a}}}。 4.设图G=〈V,E〉,G′=〈V′,E′,〉若V′=V,E′E,则G′是G的生成子图。 r 5.在平面G=〈V,E〉中,则deg(ri)=2|E|,其中ri(i=1,2,⋯,r)是G的面。 6.命题公式PP的真值是假(或F,或0).i1 7.若无向树T有5个结点,则T的边数为4. 8.设正则m叉树的树叶数为t,分支数为i,则(m-1)i=t-1. 9.设集合A={1,2}上的关系R={<1,1>,<1,2>},则在R中仅需加一个元素<2,1>,就可使新得到的关系为对称的. 10.(x)(A(x)→B(x,z)∨C(y))中的自由变元有z,y. 11.若集合A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},则A∩B=空集(或). 12.设集合A={1,2,3}上的函数分别为: f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,},g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,},则复合函数gf={<1,2>,<2,3>,<3,2>,}. 13.设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则G的结点度数之和为2|E|(或“边数的两倍”). 14.无向连通图G的结点数为v,边数为e,则G当v与e满足e=v-1关系时是树. 15.设个体域D={1,2,3},P(x)为“x小于2”,则谓词公式(x)P(x)的真值为假(或F,或0). 16.命题公式P(QP)的真值是T(或1). 17.若图G= 结点数|S|与W满足的关系式为W|S|. 18.给定一个序列集合{000,001,01,10,0},若去掉其中的元素0,则该序列集合构成前缀码. 19.已知一棵无向树T中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T的树叶数为5. 20.(x)(P(x)→Q(x)∨R(x,y))中的自由变元为R(x,y)中的y. 21.设集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B的二元关系,R{x,yxA且yB且x,yAB}则R的有序对集合为 {<2,2>,<2,3>,<3,2>},<3,3>. 22.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式v-e+r=2. 23.设G= 24.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数. 25.设个体域D={1,2},则谓词公式xA(x)消去量词后的等值式为A (1)A (2). 26.设集合A={a,b},那么集合A的幂集是{,{a,b},{a},{b}}. 27.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个. 28.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去4条边后使之变成树. 29.设连通平面图G的结点数为5,边数为6,则面数为3. 30.设个体域D={a,b},则谓词公式(x)A(x)∧(x)B(x)消去量词后的等值式为(A(a)∧A(b))∧(B(a)∨B(b)). 31.设集合A={0,1,2},B={l,2,3,剖,R是A到B的二元关系,R={ 32.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,则v,e和r满足的关系式__v-e+r=2 33.G= 34.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G所有结点的度数全为偶数且_连通 35.设个体域D={1,2},则谓词公式xA(x)消去量词后的等值式为__A (1)∧A (2)___ 三、化简解答题 11.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R,R={〈1,1〉,〈1,4〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,2〉,〈3,3〉,〈4,1〉,〈4,4〉},说明R是A上的等价关系。 解从R的表达式知,xA,(x,x)R,即R具有自反性; 三、逻辑公式翻译 1.将语句“今天上课.”翻译成命题公式. 设P: 今天上课,则命题公式为: P. 2.将语句“他去操场锻炼,仅当他有时间.”翻译成命题公式. 设P: 他去操场锻炼,Q: 他有时间,则命题公式为: PQ. 3.将语句“他是学生.”翻译成命题公式. 设P: 他是学生,则命题公式为: P. 4.将语句“如果明天不下雨,我们就去郊游.”翻译成命题公式. 设P: 明天下雨,Q: 我们就去郊游,则命题公式为: PQ. 5.将语句“他不去学校.”翻译成命题公式. 设P: 他去学校,P. 6.将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式. 设P: 他去旅游,Q: 他有时间,PQ. 7.将语句“所有的人都学习努力.”翻译成命题公式. 设P(x): x是人,Q(x): x学习努力,(x)(P(x)Q(x)). 8.将语句“如果你去了,那么他就不去.”翻译成命题公式. 设P: 你去,Q: 他去,PQ. 9.将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式. 设P: 小王去旅游,Q: 小李去旅游,PQ. 10.将语句“所有人都去工作.”翻译成谓词公式. 设P(x): x是人,Q(x): x去工作,(x)(P(x)Q(x)).11.将语句“如果所有人今天都去参加活动,则明天的会议取消.”翻译成命题公式. 设P: 所有人今天都去参加活动,Q: 明天的会议取消,PQ. 12.将语句“今天没有人来.”翻译成命题公式. 设P: 今天有人来,P. 13.将语句“有人去上课.”翻译成谓词公式. 设P(x): x是人,Q(x): x去上课,(x)(P(x)Q(x)). 11.将语句"如果小李学习努力,那么他就会取得好成绩."翻译成命题公式. 设P: 小李学习努力,Q: 小李会取得好成绩,P→Q 12.将语句"小张学习努力,小王取得好成绩."翻译成命题公式. 设P: 小张学习努力,Q: 小王取得好成绩,P∧Q 四、判断说明题 1.设集合A={1,2},B={3,4},从A到B的关系为f={<1,3>},则f是A到B的函数.错误.因为A中元素2没有B中元素与之对应,故f不是A到B的函数. 2.设G是一个有4个结点10条边的连通图,则G为平面图. 错误.不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6. 3.设N、R分别为自然数集与实数集,f: N→R,f(x)=x+6,则f是单射. 正确.设x1,x2为自然数且x1x2,则有f(x1)=x1+6x2+6=f(x2),故f为单射. 4.下面的推理是否正确,试予以说明. (1)(x)F(x)→G(x)前提引入 (2)F(y)→G(y)US (1). 错误. (2)应为F(y)→G(x),换名时,约束变元与自由变元不能混淆. 5.如图二所示的图G存在一条欧拉回路. 图二 错误.因为图G为中包含度数为奇数的结点. 6.设G是一个有6个结点14条边的连通图,则G为平面图. 错误.不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v≥3,则e≤3v-6.”7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∪R2是自反的. 正确.R1和R2是自反的,xA, 正确.因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数. 9.┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式. 正确.┐P∧(P→┐Q)∨P是由┐P∧(P→┐Q)与P组成的析取式,如果P的值为真,则┐P∧(P→┐Q)∨P为真,如果P的值为假,则┐P与P→┐Q为真,即┐P∧(P→┐Q)为真,也即┐P∧(P→┐Q)∨P为真,所以┐P∧(P→┐Q)∨P是永真式. 另种说明: ┐P∧(P→┐Q)∨P是由┐P∧(P→┐Q)与P组成的析取式,只要其中一项为真,则整个公式为真. 可以看到,不论P的值为真或为假,┐P∧(P→┐Q)与P总有一个为真,所以┐P∧(P→┐Q)∨P是永真式. 或用等价演算┐P∧(P→┐Q)∨PT 10.若偏序集的哈斯图如图一所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在. 图一正确. 对于集合A的任意元素x,均有 11.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∩R2是自反的。 正确,R1和R2,是自反的,x∈A, 12. 如图二所示的图中存在一条欧拉回路. 正确,因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数。 五.计算题(每小题12分,本题共36分) P∨Q)→(R∨Q) 1.试求出(P∨Q)→(R∨Q)的析取范式. ┐(P∨Q)∨(R∨Q) (┐P∧┐Q)∨(R∨Q) (┐P∧┐Q)∨R∨Q(析取范式) 2.设A={{1},1,2},B={1,{2}},试计算 (1)(A∩B) (2)(A∪B)(3)A(A∩B). (1)(A∩B)={1} (2)(A∪B)={1,2,{1},{2}} (3)A(A∩B)={{1},1,2} 3.图G= 图一 0 1 1 1 2)邻接矩阵: 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 4.画一棵带权为1,2,2,3,4的最优二叉树,计算它们的权.最优二叉树如图三所示 12 权为13+23+22+32+42=27 求(P∨Q)→R的析取范式与合取范式.(P∨Q)→R(P∨Q)∨R (P∧Q)∨R(析取范式) (P∨R)∧(Q∨R)(合取范式) 6.设A={0,1,2,3},R={ S,S-1,r(R).R=,S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>} R? S=, S-1=S, 7. r(R)=IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}. 试求出(P∨Q)→R的析取范式,合取范式,主合取范式. (P∨Q)→R┐(P∨Q)∨R(┐P∧┐Q)∨R(析取范式) (┐P∨R)∧(┐Q∨R)(合取范式)((┐P∨R)∨(Q∧┐Q))∧((┐Q∨R)∨(P∧┐P))(┐P∨R∨Q)∧(┐P∨R∨┐Q)∧(┐Q∨R∨P)∧(┐Q∨R∨┐P) (┐P∨Q∨R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R) 8.设A={{a,b},1,2},B={a,b,{1},1},试计算 (1)(AB) (2)(A∪B)(3)(A∪B)(A∩B). (1)(AB)={{a,b},2} (2)(A∪B)={{a,b},1,2,a,b,{1}} (3)(A∪B)(A∩B)={{a,b},2,a,b,{1}} 9.图G= (1)画出G的图形; (2)写出G的邻接矩阵; (3)求出G权最小的生成树及其权值. (1)G的图形表示为: 2)邻接矩阵: 01101 10011 10011 01101 11110 3)粗线表示最小的生成树, 权为7: 2)指出该公式的自由变元和约束 10.设谓词公式x(P(x,y)zQ(y,x,z))yR(y,z)F(y),试 (1)写出量词的辖域; 变元. 1)x量词的辖域为(P(x,y) zQ(y,x,z)), z量词的辖域为Q(y,x,z), y量词的辖域为R(y,z). 2)自由变元为(P(x,y)zQ(y,x,z))与F(y)中的y,以及R(y,z)中的z 约束变元为x与Q(y,x,z)中的z,以及R(y,z)中的y. 11.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算 (1)(AB); (2)(A∩B);(3)A×B. (1)AB={{1},{2}} (2)A∩B={1,2} (3)A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>, <{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>, <2,{1,2}>} 12.设G= v3,v4,v5},E={(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5)},试 1) 2)邻接矩阵: 00100 00110 11011 01101 00110 4)补图如下: 13.设集合A={1,2,3,4},R={ 1)写出R的有序对表示; 2)画出R的关系图; 3) 说明R满足自反性,不满足传递性. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} 3)因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R,即A的每个元素构成的有序对均在R中,故R在A上是自反的 因有<2,3>与<3,4>属于R,但<2,4>不属于R,所以R在A上不是传递的。 14.求PQR的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式. P→(R∨Q) ┐P∨(R∨Q) ┐P∨Q∨R(析取、合取、主合取范式) (┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)(主析取范式) (v2,v3),(v2,v4),(v3,v4),(v3,v5),(v4,v5)},试 15.设图G= (1)画出G的图形表示; (2)写出其邻接矩阵; (3)求出每个结点的度数; (4) 画出图G的补图的图形. 0 1 1 0 0 2)邻接矩阵 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 3)deg(v1)=2 deg(v2)=3 deg(v3)=4 deg(v4)=3 deg(v5)=2 4)补图 16.设谓词公式x(A(x,y)∧zB(x,y,z))∧yC(y,z)试 (1)写出量词的辖域; x量词的辖域为(A(x,y)∧zB(x,y,z)),z量词的辖域为B(x,y,z),y量词的辖域为C(y,z) (2)指出该公式的自由变元和约束变元. 自由变元为(A(x,y)∧zB(x,y,z))中的y,以及C(y,z)中的z. 约束变元为(A(x,y)∧zB(x,y,z))中的x与B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y。 六、证明题 1.试证明: 若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.证明: 设xA,因为R自反,所以xRx,即 又因为S自反,所以xRx,即 即 2.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC). 证明: 设S=A(BC),T=(AB)(AC),若x∈S,则x∈A或x∈BC,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.也即x∈AB且x∈AC,即x∈T,所以ST. 反之,若x∈T,则x∈AB且x∈AC,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C, 也即x∈A或x∈BC,即x∈S,所以TS. 因此T=S. 3.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC). 证明: 设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C),若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C,也即x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈T,所以ST. 反之,若x∈T,则x∈A∩B或x∈A∩C, 即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C 也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,所以TS. 因此T=S. 4.试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC). 证明: 设S=A(BC),T=(AB)(AC),若x∈S,则x∈A或x∈BC,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.也即x∈AB且x∈AC,即x∈T,所以ST. 反之,若
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