黑龙江省齐齐哈尔市学年高一下学期期末考试数学试题解析版.docx
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黑龙江省齐齐哈尔市学年高一下学期期末考试数学试题解析版
齐齐哈尔市2017—2018学年度高一下学期期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
化简集合A,然后求交集即可.
详解:
由题意可知:
,又
∴
故选:
D
点睛:
本题考查交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.《张丘建算经》中女子织布问题为:
某女子善于织布,一天比一天织得快,且从第
天开始,每天比前一天多织相同量的布,已知第一天织
尺布,一个月(按
天计)共织
尺布,则从第
天起每天比前一天多织布()
A.
尺B.
尺C.
尺D.
尺
【答案】D
【解析】依题意可知这是首项为
,公差为
的等差数列,所以
,解得
.
3.若三点
、
、
共线,则有()
A.
,
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为三点
共线,所以
,
因此选C.
4.已知角
为第二象限角,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析:
由同角三角函数的基本关系可得tana,代入二倍角的正切公式可得.
详解:
∵a是第二象限角,且sina=
,
∴cosa=﹣
=
,
∴tana=
=
,
∴tan2a=
=2×
=
故选:
A.
点睛:
本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,考查计算能力,属于基础题.
5.在
中,若
,则
与
的关系为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析:
利用正弦定理及大边对大角即可得到结果.
详解:
由正弦定理知
,
∵sinA>sinB,
∴a>b,
∴A>B.
故选:
B.
点睛:
本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.
6.在等比数列
中,已知
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析:
利用等比数列的性质计算即可.
详解:
设公比为q,
∵
,
,
∴a3+a3q2+a3q4=21,
∴3+3q2+3q4=21,
解得q2=2
∴a5=a3q2=3×2=6,
故选:
A.
点睛:
比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略:
①化基本量求通项.求等比数列的两个基本元素
和
,通项便可求出,或利用知三求二,用方程求解.
②化基本量求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.
③化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质,建立方程组求解.
④化基本量求和.直接将基本量代入前
项和公式求解或利用等比数列的性质求解
7.已知
,
,若
,则实数
的值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析:
由向量垂直的条件:
即数量积为0,结合向量的平方即为模的平方,计算即可得到t.
详解:
由(
+
)⊥(
+t
),
可得(
+
)•(
+t
)=0,
即有
+t
+(1+t)
=0,
又
,
,
即4+4t﹣
(1+t)=0,
解得t=﹣1.
故选:
C.
点睛:
本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量垂直的条件,考查运算能力,属于基础题.
8.函数
的部分图象如图所示,若
,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析:
由图象可得A=1,由周期公式可得
=2,代入点(
,0)可得
值,进而可得f(x)=sin(2x+
),再由题意可得x1+x2=
,代入计算可得.
详解:
由图象可得A=1,
=
,解得
=2,
∴f(x)=sin(2x+
),
代入点(
,0)可得sin(
+
)=0
∴
+
=kπ,∴
=kπ﹣
,k∈Z
又|
|<
,∴
=
,
∴f(x)=sin(2x+
),
∴sin(2×
+
)=1,即图中点的坐标为(
,1),
又
,且f(x1)=f(x2)(x1≠x2),
∴x1+x2=
×2=
,
∴f(x1+x2)=sin(2×
+
)=
,
故选:
B.
点睛:
已知函数
的图象求解析式
(1)
.
(2)由函数的周期
求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求
.
9.若函数
有两个零点,则实数
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
函数
有两个零点,构造函数h(x)=x+
(x>0)和g(x)=﹣t,相当于函数在x>0时,图象有两个交点.
详解:
函数
有两个零点,
∴h(x)=x+
(x>0)和g(x)=﹣t有两个交点,
∵h(x)=x+
≥2
=
,
∴﹣t>
,
∴t<﹣
.
故选:
D.
点睛:
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
10.已知直三棱柱
中,
,
,
,则异面直线
与
所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...
详解:
如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,
]),
可知MN=
AB1=
,NP=
BC1=
;
作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;
∵PQ=1,MQ=
AC,
△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×(﹣
)=7,
∴AC=
,∴MQ=
;
在△MQP中,MP=
=
;
在△PMN中,由余弦定理得cos∠MNP=
=
=﹣
;
又异面直线所成角的范围是(0,
],
∴AB1与BC1所成角的余弦值为
.
点睛:
求异面直线所成角的步骤:
1平移,将两条异面直线平移成相交直线.2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角.3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角.4结论.
11.若等边
的边长为
,
为
的中点,且
上一点
满足:
,则当
取得最小值时,
()
A.
B.
C.
D.
【答案】C
详解:
如图,可知,x>0,y>0;
∵M,A,B三点共线,且
;
∴x+y=1;
∴
=
≥10+
,当
,即3y=x时取“=”,即
取最小值;
此时x=
,
;
∵N是AB的中点;
∴
=
=
=
.
故选:
C.
点睛:
考查向量加法的平行四边形法则,三点A,B,C共线的充要条件:
,且x+y=1,基本不等式的运用,注意基本不等式等号成立的条件,向量数量积的运算及计算公式.
12.已知函数
若
对任意的
,都有
,则实数
的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:
对任意的x1、x2∈R,都有f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min,分别求出最值即可得出.
详解:
对任意的x1、x2∈R,都有f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min,
注意到
,又g(x)=|a﹣2|sinx≥﹣|a﹣2|,
故
.
故选:
D.
点睛:
本题考查了函数的单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数
的最大值是__________.
【答案】
【解析】分析:
利用两角和正弦公式简化为y=
,从而得到函数的最大值.
详解:
y=sinx+cosx=
=
.
∴函数
的最大值是
故答案为:
点睛:
本题考查了两角和正弦公式,考查了正弦函数的图象与性质,属于基础题.
14.设
是定义在
上的周期为
的周期函数,如图表示该函数在区间
上的图象,则
__________.
【答案】2
【解析】分析:
由题意结合函数的周期性和函数的图象整理计算即可求得结果.
详解:
由题意可得:
f(2018)=f(2018﹣673×3)=f(﹣1)=2,
f(2019)=f(2019﹣673×3)=f(0)=0,
则
.
故选:
D.
点睛:
本题考查了函数的周期性,函数的图象表示法等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
15.设
,
满足约束条件
若目标函数
的最大值为
,则实数
__________.
【答案】1
【解析】分析:
先作出不等式组
的图象,利用目标函数
的最大值为2,求出交点坐标,代入
=0即可.
详解:
先作出不等式组
的图象如图,
∵目标函数
的最大值为2,
∴z=
=2,作出直线
=2,
由图象知
=2如平面区域相交A,
由
得
,即A(
,
),
同时A(
,
)也在直线
=0上,
∴2﹣3
=0,
则b=1,
故答案为:
1.
点睛:
本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键.
16.已知三棱锥
中,顶点
在底面的射影为
.给出下列命题:
①若
、
、
两两互相垂直,则
为
的垂心;
②若
、
、
两两互相垂直,则
有可能为钝角三角形;
③若
,且
与
重合,则三棱锥
的各个面都是直角三角形;
④若
,且
为
边的中点,则
.
其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确的序号都填上)
【答案】①③④
【解析】分析:
利用线面垂直的判定与性质定理逐一判断即可.
详解:
若PA,PB,PC两两互相垂直,容易推出AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,①正确;
若
、
、
两两互相垂直,P在底面是射影H在△ABC的内部,是三角形ABC的垂心,所以不可能是钝角三角形,②不正确;
若
与
重合则PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,
又BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,
故四个面都是直角三角形,③正确;
当PH⊥平面ABC时,PA2=PH2+HA2,
PB2=PH2+BH2,PC2=PH2+CH2,
因为H是Rt△ABC斜边AB的中点,所以BH=AH=CH,
故PA=PB=PC,故④正确;
点睛:
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知直线
及点
.
(1)求经过点
,且与直线
平行的直线方程;
(2)求经过点
,且倾斜角为直线
的倾斜角的
倍的直线方程.
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- 黑龙江省 齐齐哈尔市 学年 一下 学期 期末考试 数学试题 解析