电大高等数学基础期末考试复习试题及答案可编辑修改word版.docx
- 文档编号:30550930
- 上传时间:2023-08-16
- 格式:DOCX
- 页数:31
- 大小:225.71KB
电大高等数学基础期末考试复习试题及答案可编辑修改word版.docx
《电大高等数学基础期末考试复习试题及答案可编辑修改word版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《电大高等数学基础期末考试复习试题及答案可编辑修改word版.docx(31页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
电大高等数学基础期末考试复习试题及答案可编辑修改word版
高等数学
(1)学习辅导(_)
第一京函数
1.理解函数的槪念:
掌握函数y=/(x)中符号/()的含义:
了解函数的两要素:
会求函数的定义域及函数值,会判断两个函数是否相等a
两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同。
2.了解函数的主要性质.即单调性、奇偶性、有界性和周期性。
若对任意X,有/(-x)=/(x),则/(x)称为偶绝数,偶函数的图形关于y轴对称。
若对任意X,有=则/CO称为奇函数,奇函数的图形关于原点对称。
举握奇偶函数的判别方法。
牮握弟调函数、有界函数及周期函数的阁形特点.
3.熟练箪握基本初等函数的解析表达式、定义域.主要性质和图形。
基本初等函数是指以下儿种类型:
1常数函数:
_y=c
2葙函数:
y=xa(a为实数}
3指数函数:
y=ax(a>0,o#l)
4对数函数:
^=logflx(a>0,o#l)
5三角函数:
sinx,cosx,tant,cot.r
6反三殆函数:
arcsinx,arccosj,arctanx
4.了解S合函数、初等函数的槪念.会把一个g合函数分解成较简苹的函数。
如函数
可以分解y=e\u=v2.v=arctanw,w=l+x。
分解后的函数前三个都是基本初等函数.而第四个函数是常
数函数和葙函数的和。
5.会列简单的疲用问题的函数关系式。
例题选解
—、填空题
1■设/(l)=x+7l+x2(x>0).则/(x)=.X
解:
设t=-,则x=-,得
Xt
1+5/1+
故/W=
X
2.函数f(X}=—-一+75^7的定义域是。
ln(x-2)
解:
对函数的第一项.要求x-2>0且ln(x-2)^0,即x>2且对函数的第二项.要求5-x>0.即x<5。
取公共部分.得函数定义域为(2,3)U(3,5]a
3.函数/(x)的定义域为[0,1].则/(lnx)的定义域是。
解:
要使/(lnx)有怠义,必须使0 Jx1-9 4.函数的定义域为。 x-3 成立,解不等式方程组.得出X>3 解: 要使有意义,必须满足x2-9>0且x_3>0.即 x-3 x>3 x>3 .故得出函数的定义域为(-0),-3]0(3,+«))0 5.设/(x)=—-—.则函数的图形关于. 解: 的定义域M-o),+aO,且有 =/(X) 、,、a-Wox+6 即/co是偶函数.故阁形关于y轴对称。 对称。 二、M选择题 1.下列各对函数中,()是相同的。 A./(x)=7? g(x)=x: B./(x)=lnx2,g(x)=21nx; C./(x)=lnx\g(x)=31nx;D./(x)=-_,g(x)=x-\ x+\ 解: A中两函数的对应关系不同,7? =|x|*.r.B,D三个选项中的每对函数的定义域都不同,所以AB.D都不是 正确的选项: 而选项C中的函数定义域相等,且对应关系相同.故选项C正确。 2.设函数/(x)的定义域为(-oo,+oo),则函数的图形关于()对称。 B_x轴: C./轴: D.坐标原点 解: 设F(x)=f(x)-f(-x),则对任意x有F(-x)=/(-X)-/H-x))=/(-x)-f(x)=-(/(X)-f(-x))=-F(x)即是奇函数.故阁形关于原点对称。 选项D正确。 3.设函数/(X)的定义域是全体实数.则函数/(x)/(-x)是(). A.单调减函数: B.有界函数: C.偶函数: D.周期函数 解: A,B,D三个选项都不一定满足。 设F(x)=/(x).f(-x).则对任意x有F(-x)=f(-x).=/(-x).f(x)=f(x)./(-x)=F(x) 即是偶函数,故选项C正确。 ax-\ 4.函数/(x)=x(o>0,o^l)() a*+1 A.是奇函数;B.是偶函数; C.既奇函数又是偶函数: D.是非奇非偶函数。 解: 利用奇偶函数的定义进行验证。 所以B正确。 5.若函数/(x+l)=x2+-! -.则f(x)=()XX A.: B.一2: C.(x-l)2: D.x2-l。 解: 因为X2+l-=x2+2+-^-~2=(x+-y-2X~XX 所以+丄)=(j十丄)2_2XX 则/(x)=x2-2.故选项B正确。 第二章极限与连续 1.知道数列极限的“£-W”定义: 了解函数极限的描述性定义。 2.理解无穷小苗: 的概念: 了解无穷小苗: 的运算性质及其与无穷大g的关系: 知道无穷小fi的比较。 无穷小fi的运算性质主要有: 1有限个无穷小S的代数和是无穷小fi: 2有限个无穷小呈的乘积是无穷小爱: 3无穷小S和有界变fi的乘积是无穷小 3.熟练牮握极限的计算方法: 包括极限的四则运算法则.消去极限式中的不定因子,利用无穷小苗: 的运算性质.有理化根式,两个重要极限.函数的连续性等方法。 求极限有儿种典型的类型 V+x*-a (1)lim= 4x* 重要极限的一般形式: lim^1=1 a(x) lim(1+—)/,x)=e(或lim(1+g(x))^=e)f(x)z(x)->ov 利用两个重要极限求极限.往往盅要作适当的变换.将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式.再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则.如 5.理解函数连续性的定义: 会判断函数在一点的连续性: 会求函数的连续区间: 了解函数间断点的概念: 会对函数的间断点进行分类。 间断点的分类: 己知点X=x0是的间断点, 若/(X)在点x=x0的左、右极限都存在.则X=X0称为/(X)的第一类间断点: 若/(X)在点x=x0的左、右极限有一个不存在.则x=x0称为/(X)的第二类间断点, 6.理解连续函数的和、差、积、商(分母不为0〉及复合仍是连续函数,初等函数在其定义域内连续的结论,知道闭区间上连续函数的儿个结论。 典型例题解析 一、填空题x2sin— 1.极限lim.又sinx x2sin—.- 解: lim=lim(xsin—)=lim.rsir-・lim—^—=0x1=0 sinxxsinxI_*°xI_*°sinx 注意: Hmxsinl=O(无穷小S乘以有界变苗: 等于无穷小5〉 x-»or 其中lim—=1是笫一个重要极限。 x-»Ox 解: 由/CO是分段函数.x=0是/(X)的分段点.考虑函数在x=0处的连续性。 因为limxsin—=0lim(x+l)=lf(0)=l x-^rxx^o* 所以函数/CO在x=0处是间断的, 又/Or)在和(0,+o)>都是连续的.故函数的间断点是x=0。 3.4.5.6.设/(x)=x2-3x+2,则/[/'(x)]=。 解: f,(x)=2x-3.故 f[f'(x)]=(2x-3)2-3(2x-3)+2=4.r2-18r+20 7.函数y=ln(l+x2)的葶调増加区间是。 二、M选择题 1■函数/(x)=.rsin丄在点x=0处(〉.X A.有定义且有极限: B.无定义但有极限: C.有定义但无极限: D.无定义且无极限 解: f(x)在点x=0处没有定义.但 limxsin-=0(无穷小gx有界变苗: =无穷小1-»0X 故选项B正确。 2.下列函数在指定的变化过程中.()是无穷小呈》 -,、sinx,、 A.e\(X->co): B.,(X->co): x C.ln(1十x),(x1);D.I+1-1,(x->0) x 解: 无穷小S乘以有界变fi仍为无穷小fi.所以 lfliA,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确。 三、计算应用腥 1.汁算下列极限: X2-3x+2 -<+3、, (l)lim— —2x2+4x-12 (2)lim(——厂X-1 ⑶二3)5 (4) ™12(x-2)15 x~*°sin3x 解: ⑴...<_知+2= (x-l)(x-2)_x-1 -3x+2+4x-12 x-1 x+6 x2+4x-\2(x-2)(x+6)x+6 (3)题H所给极限式分子的最髙次项为 x,0-(2x)s=32x15 分母的最商次项为12xls,由此得 |im(x-l)l0(2x+3)s=32=8™-l2(x-2),s-~~\2~3 (4)当时,分子、分母的极限均为0,所以不能用极限的除法法则。 氺解时先有理化根式在利用除法法则和第一 个重要极限讣算。 问(l>a,b为何值时./(为在x=0处有极限存在? (2)a,6为何值时./(又)在x=0处连续? 解: ⑴要/(x)在x=0处有极限存在,即要limf(x)=lim/(x>成立。 xWx-»0* 因为limf(x)=lim(xsin—+b)=b i-HTi-»0~x ..、..sinx, limf(x)=lim=1 WWx 所以,当b=\时.有limf(x)=limf(x)成立.即A=1时,函数在x=0处有极限存在,又因为函数在某点处有极x-»0"x-M* 限与在该点处是否有定义无关,所以此时a可以取任意值。 (2)依函数连续的定义知.函数在某点处连续的充要条件是 lim/(x)=lim/(x)=/(x0)*-**0x-**»于是有b=\=f(o)=a,即a=b=1时函数在x=0处连续8第三*导数与徽分 导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。 在学习的时候要侧重以下几点: 1.理解导数的槪念: 了解导数的几何意义: 会求曲线的切线和法线: 会用定义汁算简单函数的导数: 知道可导与连续的关系。 /(x)在点x=x0处可导是指极限limzkr 存在,且该点处的导数就是这个极限的值。 导数的定义式还可写成极限../(-v)-/(x0)lim nx-x0 函数/Or)在点x=x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=/(x)上点(x0,/(x0))处切线的斜率。 曲线=f(x)在点(x0,/(J。 ))处的切线方程为y=f,M(x-x0)+f(x0)函数y=/(x)在\点可导.则在&点连续。 反之则不然,函数y=f(x)在连续,在x。 点不一定可导。 2.了解微分的槪念: 知道一阶微分形式不变性。 3.熟记导数基本公式,熟练掌握下列求导方法 (1)导数的四则运算法则 (2)复合函数求导法则 (3)隐函数求导方法 (4)对数求导方法 (5)参数表示的函数的求导法 正确的采用求导方法有助于我们的导数计算.如 一般当函数表达式中有乘除关系或根式时.求导时采用取对数求导法,例如函数y=求/• Vx 在求导时直接用导数的除法法则是可以的.但是汁算时会麻烦一些.ifu且容易出错。 如果我们把函数先进行变形.即 再用导数的加法法则汁算其导数.于是有 这样汁算不但简单Ifu且不易出错。 显然直接求导比较麻烦I可采用取对数求导法,将上式两端取对数得Iny=-ln(x+1)--ln(x-2)23 两端求导得 整理后使可得 若函数由参数方程 XW)y=冲)的形式给出.则有导数公式 dx(p\t) 能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则汁算函数的导数.能够利用隐函数求导法.取对数求导法,参数表示的函数的求函数的导数。 4.熟练牮握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似d(u+v)=dw±dvd("■v)=vdu十wdv j'm、vdw-wdv_d(—)=——;—(v*0) Vv~ —阶微分形式的不变性 dy=y'x^=y'u■w;dr=y'udu微分的汁算可以归结为导数的汁算.但要注意它们之间的不同之处.即函数的微分等+函数的导数与fl变§微分的乘积。 6.了解离阶导数的概念;会求显函数的二阶导数. 函数的高阶高数即为函数的导数的导数。 由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。 要求函数的阶导数就要先求函数的w-l阶导数。 第三章导数与微分典型例题选解 —、填空题 1.设函数/(x)在x=0邻近有定义.且/(0)=0,/'(0)=1,则lim^= x-0 解: 呼*1 故应填1。 2.曲线y=-j=在点(1,1)处切线的斜率是» 解: 由导数的儿何意义知.曲线/(x)在x=x0处切线的斜率是/'(X。 ).即为函数在该点处的导数.子是 1—1y=--x2,y(i)=-^A 故脯-丄。 2 3.设/(x)=x2-4x+5.则= 解: f'(x)=2x-4,故 Af'M]=(2x-4)2-4(2.r-4)+5=4x2-24x+37故敁埴4x2-24x+37 二、争项选择题 1.设函数f(x)=x2,则lim/(x)~A (2)=()。 x~*2x—2 A.2x: B.2: C.4: D不存在 解: 因为lim^X)~^2)=f (2),且f(x)=x2,x-»2x-2 所以/, (2)=2x|j=2=4,即C正确。 2.设/(士)=x,则/'(J)=()o A.—: B.——: C.-y: D. XXx~ 解: 先要求出f(x),再求/'(X)。 因为/(i)=x=p由此得/(x)=l,所以/(x)=(iy=~即选项D正确。 3.设函数/(x)=(x+l)x(x-l)(x-2),则尸⑼=(). A.0: B.1: C.2: D.-2 解: 因为/'(x)=x(x-l)(x-2)+(x+l)(x-l)(x-2)+(x+\)x(x-2)+(x+l)x(x-1),其中的三项当x=0时为0.所以 f'⑼=(0+1)(0-1)(0-2)=2 故选项C正确。 4.曲线y=x-ex在点()处的切线斜率等于0。 A.(0,1): B.(l,0): C.(o,-1): D.(-l,0) 解: y=l-ex,令y=0得x=0。 而y(0)=-l.故选项C正确。 5._y=sinx2,则夕'=(>» A.cosx2: B.-cosx2: C.2xcoix2: D.-2xcosx2 解: y'=cosx2•(x2)*=2xcosx2故选项C正确。 三、汁算应用题 1.设y—tan2x+2iB,1,求 解: ⑴由导数四则运算法则和良合函数求导法则/=—\—十cosx-2"n,In2cos22x 由此得 2Hsin— dy=(: —+cos—-22ln2)dx=2dx -,x=2cos2/r2 2.设夕=/(e')e/u>,其中/(x)为可微函数.求_/。 解⑴+/(e: )[e,⑴]' =/'(e*)[e: J'eM+/(e: )e,/⑶]'=/'(e')eV⑷+/(e')e/(VV)=e/(W)e: +/(e”nx)] 求复合函数的导数时.要先搞洁函数的复合构成.即复合函数是由哪些基本初等函数复合血成的.特别要分洁复合函数的S合层次,然后由外层开始,逐层使用S合函数求导公式,一层一层求导I关键是不要遗漏.最后化简。 3.设函数y=y(x)由方程xy+e}=\n-确定y 解: 方法一: 等式两淄对: r求导得 整理得 y~2v 方法二: 由一阶微分形式不变性和微分法则.原式两據农敵斧得 左瑞=d(jy+e’’)=d(.ry)+d(ey)=+xdy+eyd}' 右^=d(ln^)=^)=21.fc^ yxyxy 由此得 y^+^y+e>dy=y.^^-ry 盩理得 dy_y~xydrx2y+xyey+x 4.设函数y=y(x)由参数方程 x=P_ X~~2 y=\-t 解: 由参数求导法 1 dr~x;T 5.设y=(l+x2)arctanx.求y・。 解少'=2xarctanj+(1+又2)—=2xarctanx+1 1+x y"=(2xarctanx+1)#=2arctanx+ l+x~ 第四章导数的疢用典型例题 填空题 1.函数_y=ln(l-x2)的单调増加区间是. 解: y'=z2±.,当x>o时y'<0.故函数的單调増加区间是(-0),0).1+x 2.极限lim *-*'1—x 解: 由洛必达法则 1 3.函数/(x)=|(ex+e-*)的极小值点为, 解: /W=^(ex-e'x),令/'(x)=0.解得驻点x=0,又j<0时,/'(x)<0: .y>0时,所以 x=O是函数/(x)=|(ex+e_I)的极小值点. 二、单选题 1.函数y=x2+\在区间[-2,2]上是(〉 A)单调増加B)舉调减少 C)先单调増加再单调减少D)先单调减少再攀调増加 解: 选择D y=2.v,当久<0时,/'(x)<0: ^x>0时,所以在区间[一2,2]上函数y=x2+l先单调减少再单调増加。 2.若函数y=f(x)满足条件(〉,则在(a,份内至少存在一点^(a<^ 成立。 A)在(a,6>内连续;B)在(a,Z>)内丐导; C〉在(a,Z>)内连续,在(a,Z»)内可导: D〉在[a,6]内连续,在(a,ft)内可导。 解: 选择D» 由拉格朗日定理条件.函数/(x)在[a,内连续.在(a,5)内可导,所以选择D正确。 3.满足方程/'(x)=O的点是函数y=f(x)的()。 A)极值点B)拐点 C)驻点D)间断点 解: 选择C« 依驻点定义,函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。 4.设函数/⑻在(a,ZO内连续,xoe(a,Z>),且/'(x0)=/•(%)=0.则函数在x=x0处(〉。 A)取得极大值B)取得极小值 C)—定有拐点(x0,/(x0))D)可能有极值,也可能有拐点 解: 选择D 函数的一阶导数为零.说明: r<,可能是函数的极值点: 函数的二阶导数为零.说明&可能是函数的拐点,所以选择D。 三、解答题 1.汁算题 求函数y=x-ln(l+x)的单调区间。 解: 函数y=x-\n(\+x)的定义区间为(-l,+a>).由子,1xy=1 1+X1+X 令y=o,解得x=q,这样可以将定义区间分成(-i,o)和(o,+co)两个区间米讨论》当一i 由此得出.函数^=x-ln(l+x)在(一1,0)内单调递减.在(0,+a>)内单调増加。 2.应用题 欲做一个底为正方形,容积为108立方米的长方体开口容器.怎样做法所用材料最省? 解: 设底边边长为X,商为所用材料为 x2A=108,A=^X y=x2+4xh 2,1082432 =x+4x—=x+—r- -4322x3-432 y十j-=—p— 令y=0得2(x3-216)=0=>x=6. 且因为x>6,y>0;x<6,y<0.所以1=6,夕=108为最小值.此时A=3. 于是以6米为底边长,3米为高做长方体容器用料最省。 3.证明题: 当;r>l时.证明不等式 ex>xe 证设函数/(x)=lnx.因为/(x)在(0,+x)上连续可导,所以/(x)在[l,x]上满足拉格朗日中值定理条件.有公式可得 /(-V)-/(l)=/W-D 其中\ Inx—In1=—(X—1)c 又由于ol.有-<1 c 故有lnx 两边同时取以e为底的指数,有etax e 所以当x>l时.有不等式 e*>xe成立■ 第5窣学习辅导 (2) 典型例题解析一、填空题 1.曲线在任意一点处的切线斜率为2*,且曲线过点(2,5),则曲线方程为。 解: |2.rdr=x2+c,即曲线方程为y=x2^c。 将点(2,5)代入得口1,所求曲线方程为 y=x2+\ 2.已知函数/(X)的一个原函数是arctanx2,则f\x)=• 解: /(x)=(arctailx2)'=- 1+X vA_z2x2(1+? )-8? _2-6? '1+x4~(1+x4)2~(l+x4)2 3.已知T^x)是/(x)的一个原函数,那么Jf(ar+/? )dr=。 解: 用凑微分法 J*f(ax+b)dx=丄(ox+ft)d(ox)=丄J/(ax+b)d(ax+b) =—((lF(ax+h)=-F(ax+b)+caJa 二、单项选择题 1.设j/(x)dx=xlnx+c,则/(x)=()。 故选项C正确. 三、计算题 1.计算下列积分: =-cot/-/+c=+arcsinx+c x ⑵利用分部积分法 f^-(lx=[inxd(-—)=—-+J丄d(lnx)XXXX Inxe1,Inx1+I—dx+c xJxx (V第A幸勞fl箱务 综合练习题 <-)M选择题 (1).下列式子中,正确的是( (2). (3) 若/(X)是[-a,a]上的连续偶函数.A.£/(x)di C. D-j0/(淋 2£/(x)dx (5)若/(x>与S(x)是[a,6]上的两条光滑曲线.则由这两条曲线及直线义=a,x=A所围阁形的面积(). A.£|/(x)-g(伞B.£(/(x)-g{x))dx c.£(g(x)-f(x))dxD.|广(/(x)-g(x))dx| 答案: (1)A- (2)D: (3)D: (4)Ci(5)A。 解: (I)根据定积分定义及性质可知A正确。 而厂/⑴办=
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 电大 高等数学 基础 期末考试 复习 试题 答案 编辑 修改 word