第11讲 等腰三角形初步学案.docx
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第11讲等腰三角形初步学案
教学过程
知识讲解
1.等腰三角形
(1)性质:
①两底角相等。
②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(2)判定:
①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义);②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2.等边三角形
(1)性质:
①等边三角形各边都相等;②等边三角形各角都相等,并且都等于60°。
(2)判定:
①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3.特殊直角三角形
(1)含30°的直角三角形中,30°角所对的边等于斜边一半,且三边长度比为1:
:
2;
(2)等腰直角三角形各边长比为1:
1:
。
易错点
等腰三角形的边分腰和底边;角分顶角和底角;因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下,求其余未知量时,均须分两种情况进行讨论。
(1)已知等腰三角形的两边,在未指明底边和腰时,求其周长须分两种情况进行讨论;最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。
(2)已知等腰三角形的一内角,在未指明顶角和底角时,求其余两角;须分两种情况进行讨论,最后务必检验是否满足三角形的内角和定理。
(3)已知等腰三角形的一个外角(未指明顶角还是底角的情况下),应分两种情况进行讨论。
(4)已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角,求其内角时;应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
(5)已知等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰的夹角,求底角时,应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
(6)以已知线段为腰作等腰三角形,常要分以该腰不同顶点为顶角顶点两种情况进行讨论。
(7)在等腰三角形中,若三边的长度中含有字母要分三种情况讨论。
例题精析
【例题1】(2013•淮安)若等腰三角形有两条边的长度为3和1,则此等腰三角形的周长为( )
A.
5
B.
7
C.
5或7
D.
6
【变式1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,则等腰三角形的顶角是( )
A.
30°
B.
60°
C.
150°
D.
30°或150°
【变式2】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°,则该三角形的一个底角为( )
A.
32.5°
B.
57.5°
C.
65°或57.5°
D.
32.5°或57.5°
【例题2】如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
【变式1】已知:
如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2.求证:
△ABC是等腰三角形.
【变式2】(2013•荆门模拟)如图,在四边形ABCD中,AE∥DC,CA是∠DCE的平分线,∠CEB=∠AEB,试判断△ABC的形状,并证明你的结论.
【例题3】△NKM与△ABC是两块完全相同的45°的三角尺,将△NKM的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,且MK经过点C,设AC=a.则两个三角尺的重叠部分△ACM的周长是 .
【变式1】如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)求∠BAD的度数.
【变式2】两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD中点M,连接ME,MC.判断△EMC的形状,说明理由.
【例题4】(2013•槐荫区二模)如图,△ABD与△AEC都是等边三角形,AB≠AC.下列结论:
①BE=CD;②∠BOD=60°;③∠BDO=∠CEO,正确的是 .
【变式1】如图是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是1,则六边形的周长是 .
【变式2】如图,在等边△ABC中,AC=6,点O在AC上,且AO=2,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上,则AP的长是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
【例题5】如图,在等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE=60°,DE交∠C的外角平分线于E,则△ADE是 三角形.
【变式1】a,b,c为△ABC三边,且(a﹣b)(a﹣c)(b﹣c)=0,则△ABC一定是 三角形.
【变式2】一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°,连续四边的长依次为AB=1,BC=3,CD=3,DE=2,那么这个六边形ABCDEF的周长是( )
A.
12
B.
13
C.
14
D.
15
【例题6】等边三角形ABC的边长是6cm,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,则DE的长是 cm.
【变式1】△ABC为边长是5的等边三角形,点E在AC边上,点F在AB边上,ED⊥BC,且ED=AE,DF=AF,则CE的长是( )
A.
B.
C.
20+10
D.
20﹣10
【变式2】如图,将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次,依次得到点P1、P2、P3、…、P2011,则点P2011的坐标是 .
课堂运用
【基础】
1.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为( )
A.
40°
B.
100°
C.
40°或100°
D.
70°或50°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线DE交AC与D,交AB于E,下列论述错误的是( )
A.
BD平分∠ABC
B.
D是AC的中点
C.
AD=BD=BC
D.
△BDC的周长等于AB+BC
3.已知实数x,y满足
,求以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长( )
A.
20或16
B.
20
C.
16
D.
以上答案均不对
4.如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,则下列结论正确的是( )
A.
点F在BC边的垂直平分线上
B.
点F在∠BAC的平分线上
C.
△BCF是等腰三角形
D.
△BCF是直角三角形
5如图,四边形ABCD中,BD>AC,∠ACB=∠DBC,∠BAC+∠BDC=180°,E为BD上一点,BE=AC,判断△EDC的形状,并证明你的结论.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D,沿DE所在直线折叠,使点B恰好与点A重合,若CD=2,则AB的值为( )
A.
2
B.
4
C.
4
D.
8
7.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点所构成的三角形是( )
A.
直角三角形
B.
钝角三角形
C.
等腰三角形
D.
等边三角形
8.如图所示,∠BAC=30°,D为角平分线上一点,DE⊥AC于E,DF∥AC,且交AB于点F.
(1)求证:
△AFD为等腰三角形;
(2)若DF=10cm,求DE的长.
9.如图,将一副三角板如图所示叠放在一起,若AB=8cm,则阴影部分的面积是 cm2.
10.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接CD.请找出图②中的全等三角形,并说明理由(说明:
结论中不得含有未标识的字母).
11.如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,且PA=CQ,连PQ交AC边于D.
(1)求证:
PD=DQ;
(2)若△ABC的边长为1,求DE的长.
课后作业
【基础】
1.(2013•毕节地区)已知等腰三角形的一边长为4,另一边长为8,则这个等腰三角形的周长为( )
A.
16
B.
20或16
C.
20
D.
12
2.已知等腰三角形的一个内角为70°,则另两个内角的度数是( )
A.
55°,55°
B.
70°,40°
C.
55°,55°或70°,40°
D.
以上都不对
3.已知一个等腰三角形的底边长为5,这个等腰三角形的腰长为x,则x的取值范围是( )
A.
0<x<
B.
x≥
C.
x>
D.
0<x<10
4.如图是人字型屋架的设计图,由AB,AC,BC,AD四根钢条焊接而成,其中A,B,C,D均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点,现在焊接所需的四根钢条已截好,且已标出BC的中点,如果接工身边只有检验直角的角尺,那么为了准确快速地焊接,他首先应取的两根钢条及焊接点是( )
A.
AB和BC焊接点B
B.
AB和AC焊接点A
C.
AB和AD焊接点A
D.
AD和BC焊接点D
5.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板,将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动,使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C.已知AC=2,则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于 .
6.如图,△ABC是等边三角形,AD为中线,AD=AE,则∠EDC的度数为 .
7.如图,△ABC、△ECD都是等腰直角三角形,且C在AD上,AE的延长线与BD交于P.
求证:
△ACE≌△BCD.
8.(2012•房山区一模)如图,点F在线段AB上,AD∥BC,AC交DF于点E,∠BAC=∠ADF,AE=BC.求证:
△ACD是等腰三角形.
9.如图,AB=AC,∠ABD=60°,∠BDC=30°,若AB=BD+CD,则∠ADB= .
10.在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=9cm,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,
(1)求证:
BM=MN=NC.
(2)求MN的长度.
5.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,AE是∠BAC的角平分线.CD⊥AE,与AE的延长线交于D点,与AB的延长线交于F点.求证:
CD=
AE.
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