相似三角形压轴题文档7篇.docx
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相似三角形压轴题文档7篇
相似三角形压轴题(文档7篇)
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第1篇
中考全国试卷分类汇编
相似三角形
1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为()
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:
FC=()
3.如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:
①PM=PN;②
个数是();③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=PC.其中正确的
4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点
A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为.
5.如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论:
①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE+DC=DE,
其中正确的有()个.
222
6.已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.
(1)当点P在线段AB上时,求证:
△APQ∽△ABC;
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长.
.
7.如图,点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,连接DP并延长DP交边AB于点E,连接BP并延长交边AD于点F,交CD的延长线于点G.
(1)求证:
△APB≌△APD;
(2)已知DF:
FA=1:
2,设线段DP的长为x,线段PF的长为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x=6时,求线段FG的长.
8.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,
(1)求证:
AC=AB•AD;
(2)求证:
CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
2
.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
第2篇
初三相似三角形压轴题
一.选择题(共1小题)
1.(2013•江干区一模)如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5,相邻两条平行直线间的距离都相等,如果直角梯形ABCD的三个顶点A、B、D分别在平行直线l1、l5、l2上,∠ABC=90°且AB=3AD,则tanα=()
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共3小题)2.(2013•宁波模拟)如图,直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上.OA∥BC,D是BC上一点,BD=OA=
,AB=3,∠OAB=45°,E,
F分别是线段OA,AB上的两个动点,且始终保持∠DEF=45°.设OE=x,AF=y,则y与x的函数关系式为.
3.(2012•南岗区一模)在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,点E在边AD上,且AE:
DE=1:
3,连接BE,BE与AC相交于点M,若AC=6,则M0的长是.
4.(2004•深圳)在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为E,连接DE交AC于点P,过P作PF⊥BC,垂足为F,则
第1页(共8页)
的值是.
三.解答题(共12小题)5.(2012•重庆模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合),且保持DE∥BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.
(1)试求△ABC的面积;
(2)当边FG与BC重合时,求正方形DEFG的边长;
(3)设AD=x,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(4)当△BDG是等腰三角形时,请直接写出AD的长.
6.(2012•亭湖区一模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,M是边AC的中点,CH⊥BM于H.
(1)试求sin∠MCH的值;
(2)求证:
∠ABM=∠CAH;(3)若D是边AB上的点,且使△AHD为等腰三角形,请直接写出AD的长为.
7.(2011•莆田)已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
(1)特殊发现:
如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:
菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.①猜想验证:
如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
第2页(共8页)
②拓展运用:
如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断明理由.
是否为定值?
若是,请求出该定值;若不是,请说
8.(2011•武汉)
(1)如图1,在△ABC中,点D、E、Q分别在AB、AC、BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P,求证:
=
;
(2)如图,△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;
2
②如图3,求证:
MN=DM•EN.
9.(2011•本溪模拟)如图,在边长为2的等边△ABC中,AD⊥BC,点P为边AB上一个动点,过P点作PF∥AC交线段BD于点F,作GP⊥AB交线段AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
(1)①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;
②用x的代数式表示线段DG的长,并写出x的取值范围;
(2)记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S值为
时x的值;
(3)以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似?
如果能相似,请求出BP的长;如果不能,请说明理由.
第3页(共8页)
10.(2010•武汉)已知:
线段OA⊥OB,点C为OB中点,D为线段OA上一点.连接AC,BD交于点P.
(1)如图1,当OA=OB,且D为OA中点时,求
(2)如图2,当OA=OB,且
的值;
时,求tan∠BPC的值.
时,直接写出tan∠BPC的值.
(3)如图3,当AD:
AO:
OB=1:
n:
11.(2011•绵阳)已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,D是腰AC上的一个动点,过C作CE垂直于BD或BD的延长线,垂足为E,如图.
(1)若BD是AC的中线,求
的值;
的值;
的值
(2)若BD是∠ABC的角平分线,求(3)结合
(1)、
(2),试推断
的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探究
能小于吗?
若能,求出满足条件的D点的位置;若不能,说明理由.
第4页(共8页)
12.(2011•海淀区一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=.点D在边AC上(不与A,C重合),连接BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连接CF、EF、CE,如图1.设CF=kEF,则k=;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.求证:
BE﹣DE=2CF;
(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.
13.(1997•吉林)已知:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C
2
作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F、求证:
BP=PE•PF.
14.(2015•成都模拟)已知点E在△ABC内,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)当α=60°时(如图1),
①判断△ABC的形状,并说明理由;②求证:
BD=AE;
(2)当α=90°时(如图2),求
的值.
第5页(共8页)
15.(2012•攀枝花)如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=y,PE=x.
(1)当x=EF时,求S△DPE:
S△DBC的值;
(2)当CQ=CE时,求y与x之间的函数关系式;(3)①当CQ=CE时,求y与x之间的函数关系式;
②当CQ=CE(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式.16.(2012•娄底)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,BC=8,D在边BC上,E在线段DC上,DE=4,△DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.
(1)求证:
△BMD∽△CNE;
(2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切?
(3)设BD=x,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围);当x为何值时,y有最大值?
并求y的最大值.
第6页(共8页)
第7页(共8页)
初三相似三角形压轴题
参考答案
一.选择题(共1小题)1.B
二.填空题(共3小题)2.
3.
4.
三.解答题(共12小题)5.6.
7.8.9.
10.11.12.
13.14.15.16.
第8页(共8页)
第3篇
2013中考数学压轴题:
函数相似三角形问题
(一)
1
例1、直线yx1分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方
3
向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1)写出点A、B、C、D的坐标;
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
k
(k0)在x
第一象限内的图像与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE
例2、Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数y
的面积为2.
(1)求m与n的数量关系;
1
(2)当tan∠A=时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式;
2
(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在
(2)的条件下,如果△AEO与△EFP相似,求点P的坐标.
图1
例3如图1,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线ymx22mxn上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
图1
例5、如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
图1
第4篇
2010•佛山)一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题:
如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC.
(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?
(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数?
考点:
相似三角形的判定.专题:
压轴题;分类讨论.分析:
(1)此题应分作三种情况考虑:
①点D在线段AB上,若△ACD∽△ABC,已知的等量条件是公共角∠BAC,那么必须满足∠ACD=∠ABC,由于∠ACB>∠ABC,因此在线段AB上,有一个符合条件的D点;②点D在线段AB的延长线上,此时已知的等量条件仍为公共角∠BAC,由于∠ACD>∠ACB>∠ABC,因此这两个三角形不可能相似,故在这种情况下,不存在符合条件的D点;
③点D在线段AB的反向延长线上,由于∠BAC是锐角,那么∠BAC<90°<∠DAC,根据三角形的外角性质知:
∠CAD>∠BCA>∠ABC,因此这两个三角形也不可能相似,故此种情况下也不存在符合条件的D点.
(2)可将∠BAC分作三种情况:
①∠BAC是锐角,②∠BAC是直角,③∠BAC是钝角;每种情况都可按照
(1)题的分类讨论法进行求解.解答:
解:
(1)①如图1,若点D在线段AB上,由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,
使得△ACD∽△ABC;(1分)
②如图2,若点D在线段AB的延长线上,则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点D不存在;(1分)
③如图3,若点D在线段AB的反向延长线上,由于∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD,不可能有△ACD∽△ABC,因此,这样的点D不存在.(1分)
综上所述,这样的点D有一个.
注:
③中用“∠CAD是钝角,△ABC中只可能∠ACB是钝角,则∠CAD>∠ACB”说明不存在点D亦可.
(2)若∠BAC为锐角,由
(1)知,这样的点D有一个(如图4);若∠BAC为直角,这样的点D有两个(如图5);
若∠BAC为钝角,这样的点D有1个(如图6).
注:
(2)的第一个解答不写不扣分,第二个解答回答“这样的点D有一个”给(1分).点评:
主要考查的是相似三角形的判定以及分类讨论的数学思想,此题的难点在于怎样分类,能够将所有的情况都考虑到是解决此题的关键.
第5篇
相似三角形压轴题
DAB90,AD2DC4,AB6.1.(2010咸宁)如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,动
点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).
(1)当t0.5时,求线段QM的长;
(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
CQ
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定
RQ
值;若不是,请说明理由.
PCCDD
Q
MBBl
(第24题)(备用图1)
24.解:
(1)过点C作CFAB于F,则四边形AFCD为矩形.
∴CF4,AF2.此时,Rt△AQM∽Rt△ACF.……2分PC
D
C
B
(备用图2)
QMCF
.
AMAFQM4即,∴QM1.……3分0.52
QlMF
(第24题)
B
(2)∵DCA为锐角,故有两种情况:
①当CPQ90时,点P与点E重合.
此时DECPCD,即tt2,∴t1.……5分②当PQC90时,如备用图1,
l
DC
Q
EQMA
.PEQM
由
(1)知,EQEMQM42t,
而PEPCCEPC(DCDE)t(2t)2t2,
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA42t15
.∴t.2t223
5
综上所述,t1或.……8分(说明:
未综述,不扣分)
3
CQ(3)为定值.……9分
RQ
当t>2时,如备用图2,
PADADP4(t2)6t.
由
(1)得,BFABAF4.∴CFBF.∴CBF45.∴QMMB6t.∴QMPA.
DB
(备用图1)
CQ
∴四边形AMQP为矩形.∴PQ∥AB.……11分∴△CRQ∽△CAB.
CQBC.……12分RQAB
2.(2010昆明)已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=90°,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点B重合),EP与BD相交于点O.
(1)当P点在BC边上运动时,求证:
△BOP∽△DOE;
(2)设
(1)中的相似比为k,若AD︰BC=2︰3.请探究:
当k为下列三种情况时,四边形ABPE是什么四边形?
①当k=1时,是;②当k=2时,是;③当k=3时,是.并证明...k=2时的结论.
A
E
D
P
24.(9分)
(1)证明:
∵AD∥BC
∴∠OBP=∠ODE……………1分
在△BOP和△DOE中∠OBP=∠ODE
∠BOP=∠DOE…………………2分
∴△BOP∽△DOE(有两个角对应相等的两
三角形相似)……………3分
(2)①平行四边形…………………4
分
②直角梯形…………………5
分
③等腰梯形…………………6
分
证明:
∵k=2时,
BP
2DE
3AD2
∴BP=2DE=AD
又∵AD︰BC=2︰3BC=
PC=BC-BP=
31
AD-AD=AD=ED22
ED∥PC,∴四边形PCDE是平行四边形
∵∠DCB=90°
∴四边形PCDE是矩形…………………7
分
∴∠EPB=90°…………………8
分
又∵在直角梯形ABCD中AD∥BC,AB与DC不平行∴AE∥BP,AB与EP不平行
四边形ABPE是直角梯形………………………9
3.(2011上海)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.点P是AB边上任意一点,直线PE⊥AB,与边AC或BC相交于E.点M在线段AP上,点N在线段BP上,EM=EN,sin
12.
(1)如图1,当点E与点C重合时,求CM的长;13
(2)如图2,当点E在边AC上时,点E不与点A、C重合,设AP=x,BN=y,求y关于x的
∠EMP=
函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)若△AME∽△ENB(△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应),求AP的长.
图1图2备用图
25.(本题满分14分,第
(1)小题满分4分,第
(2)、(3)小题满分各5分)[解]
(1)由AE=40,BC=30,AB=50,CP=24,又sinEMP=
12
CM=26。
13
(2)在Rt△AEP與Rt△ABC中,∵EAP=BAC,∴Rt△AEP~Rt△ABC,∴
EP303EPBC
,即,∴EP=x,
4x40APAC
3
x
1212EP125
又sinEMP=tgEMP===,∴MP=x=PN,
135MP5MP16
521
x=50x(0
EM1313EM13
,EM=x=EN,(3)1、當E在線段AC上時,由
(2)知,,即31216EP12x4
BN=ABAPPN=50x
又AM=APMP=x
511x=x,1616
1311
xx
AMME由題設△AME~△ENB,∴,=,解得x=22=AP。
13ENNBx50x1616
2、當E在線段BC上時,由題設△AME~△ENB,∴AEM=EBN。
由外角定理,AEC=EABEBN=EABAEM=EMP,
3x
50ACEP40
∴Rt△ACE~Rt△EPM,,即,CE=…。
CEx3CEPM
16
設AP=z,∴PB=50z,由Rt△BEP~Rt△BAC,∴CE=BCBE=30
505BEBABE
,即=,BE=(50z),
3PBBC50z30
5
(50z)…。
3505
由1,2、,解=30(50z),得z=42=AP。
33
第6篇
相似三角形压轴题
(2010江苏南通)如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若y12,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
mAFDBE
(第27题)
(2011南通)如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y=(x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p﹣1)(p>1)作x轴的平行线分别交双曲线y=(x>0)和y=﹣(x<0)于点M、N.
(1)求m的值和直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:
△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?
若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
(2012南通)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,
另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
5①若a=2,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?
若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
(2013南通)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,△DEF是边长为a(a为小于3的常数)的等边三角形,将△DEF沿AC方向平移,使点D在线段AC上,DE∥AB,设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T.
(1)求证:
点E到AC的距离为一个常数;
(2)若AD=,当a=2时,求T的值;
(3)若点D运动到AC的中点处,请用含a的代数式表示T.
(2014南通)如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与直线CD交于点F,过点M作MG⊥EM,交直线BC于G.
(1)若M为边AD中点,求证:
△EFG是等腰三角形;
(2)若点G与点C重合,求线段MG的长;
(3)请用含a的代数式表示△EFG的面积S,并指出S的最小整数值.
(2014•金山区
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