课标通用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算学案理10142.docx

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课标通用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算学案理10142

§1.1　集合及其运算

考纲展示►　

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

5．能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及运算．

考点1　集合的基本概念

元素与集合

（1）集合元素的特性：

________、________、无序性．

（2）集合与元素的关系：

若a属于集合A，记作________；若b不属于集合A，记作________．

（3）集合的表示方法：

________、________、图示法．

（4）常见数集及其符号表示：

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

________

N*或N＋

Z

Q

R

答案：

（1）确定性　互异性　

（2）a∈A　b∉A　（3）列举法　描述法　（4）N

集合表示的两个误区：

集合的代表元素；图示法．

（1）已知集合A＝{y|y＝sinx}，B＝{x|y＝sinx}，则A∩B＝________.

答案：

[－1,1]

解析：

集合A表示的是函数y＝sinx的值域，即A＝[－1,1]；集合B表示的是函数y＝sinx的定义域，即B＝R，所以A∩B＝[－1,1]．

（2）设全集U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．

答案：

{x|1≤x<2}

解析：

图中阴影部分可用（∁UB）∩A表示，故（∁UB）∩A＝{x|1≤x<2}．

解决集合问题的两个方法：

列举法；图示法．

（1）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集的个数为________．

答案：

4

解析：

A∩B＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个．

（2）[2015·北京卷改编]若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝________.

答案：

{x|－3＜x＜2}

解析：

在数轴上画出表示集合A，B的两个区间，观察可知A∩B＝{x|－3＜x＜2}．

[典题1]　

（1）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3

C．5D．9

[答案]　C

[解析]　∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝（　　）

A.

B．

C．0D．0或

[答案]　D

[解析]　当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝

.

（3）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

[答案]　C

[解析]　因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，则

＝－1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

（4）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

[答案]　－

[解析]　由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－

.当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，故m＝－

.

[点石成金]　与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．

（2）集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

考点2　集合间的基本关系

集合间的基本关系

表示

关系　　　　

文字语言

记法

集合

间的

基本

关系

子集

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素

__________或__________

真子集

集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A

__________或__________

相等

集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

空集

空集是________集合的子集

∅⊆A

空集是________集合的真子集

∅B且B≠∅

答案：

A⊆B　B⊇A　AB　BA　任何　

任何非空

集合中的两个易混结论：

集合中元素的个数；集合的子集的个数．

（1）[2015·江苏卷]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

答案：

5

解析：

因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5.

（2）集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集．

答案：

28　28－1　28－1　28－2

解析：

因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集，28－1个真子集，28－1个非空子集，28－2个非空真子集．

[典题2]　

（1）设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

[答案]　C

[解析]　因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，故选C.

（2）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　D

[解析]　由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，

∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

（3）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

[答案]　（－∞，3]

[解析]　∵B⊆A，

∴①若B＝∅，则2m－1

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3]．

[题点发散1]　在本例（3）中，若A⊆B，如何求解？

解：

若A⊆B，则

即

所以m的取值范围为∅.

[题点发散2]　若将本例（3）中的集合A，B分别更换为A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，

如何求解？

解：

①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，

解得－2＜m＜2；

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－

，此时B＝

，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2,2）．

[点石成金]　1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

2．根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．

（1）若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.

1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个B．5个

C．4个D．3个

答案：

A

解析：

由题意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

2．[2017·广西南宁模拟]已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]B．（－∞，－1）

C．[3，＋∞）D．（3，＋∞）

答案：

A

解析：

M＝{x|（x－3）（x＋1）<0}＝（－1,3），又M⊆N，因此有a≤－1，即实数a的取值范围是（－∞，－1]．

考点3　集合的基本运算

集合的基本运算

（1）三种基本运算的概念及表示：

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

________

________

若全集为U，则集合A的补集为________

图形表示

意义

{x|________}

{x|________}

∁UA＝________________

（2）三种运算的常见性质：

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.

②A∩A＝________，A∩∅＝________.

③A∪A＝________，A∪∅＝________.

④A∩（∁UA）＝________，A∪（∁UA）＝________，

∁U（∁UA）＝________.

⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

答案：

（1）A∪B　A∩B　∁UA　x∈A，或x∈B

x∈A，且x∈B　{x|x∈U，且x∉A}　

（2）②A　∅　③A　A　④∅　U　A

（1）[教材习题改编]满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案：

C

解析：

A中包含元素0,1，还有集合{2,3}真子集中的元素，{2,3}的真子集有22－1＝3（个）．

（2）[教材习题改编]已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∪B＝A，则a的值可为________．

答案：

1或

或0

解析：

A∪B＝A⇒BA，若B＝∅，则a＝0；若1∈B⇒a＝1；若2∈B⇒a＝

.

集合中两组常用结论：

集合间的基本关系；集合的运算．

（1）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅.

（2）（∁UA）∩（∁UB）＝________，（∁UA）∪（∁UB）＝________.

答案：

∁U（A∪B）　∁U（A∩B）

解析：

设x∈∁U（A∪B），则x∉A∪B，得x∉A且x∉B，即x∈∁UA且x∈∁UB，即x∈（∁UA）∩（∁UB），即∁U（A∪B）⊆（∁UA）∩（∁UB）；反之，当x∈（∁UA）∩（∁UB）时，得x∈∁UA且x∈∁UB，得x∉A且x∉B，则x∉A∪B，所以x∈∁U（A∪B），即∁U（A∪B）⊇（∁UA）∩（∁UB）．根据集合相等的定义，得∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．同理可证另一结论．

[考情聚焦]　有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生灵活处理问题的能力．

主要有以下几个命题角度：

角度一

离散型数集间的交、并、补运算

[典题3]　[2017·湖南株洲模拟]设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{y|y＝log

（x－1），x∈A}，则集合（∁UA）∩（∁UB）＝（　　）

A．{0,4,5,2}B．{0,4,5}

C．{2,4,5}D．{1,3,5}

[答案]　D

[解析]　由题意知B＝{0,2}，∴∁UA＝{0,1,3,5}，∁UB＝{1,3,4,5}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{1,3,5}．

角度二

连续型数集间的交、并、补运算

[典题4]　

（1）设全集U＝R，A＝{x|x（x＋3）<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|－3

C．{x|－1≤x＜0}D．{x|x<－3}

[答案]　C

[解析]　因为A＝{x|x（x＋3）<0}＝{x|－3

（2）设集合A＝{x|（x＋1）（x－2）<0}，B＝{x|1

[答案]　{x|－1

[解析]　∵A＝{x|（x＋1）（x－2）<0}＝{x|－1

∴A∪B＝{x|－1

（3）已知集合A＝{y|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}，则A∩B＝__________.

[答案]　{y|－1≤y≤7}

[解析]　∵y＝x2－2x＝（x－1）2－1≥－1，y＝－x2＋2x＋6＝－（x－1）2＋7≤7，

∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，

故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．

[题点发散1]　本例（3）中，若集合A变为“A＝{x|y＝x2－2x，x∈R}”，其他条件不变，求A∩B.

解：

因为A中元素是函数自变量，则A＝R，

而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．

[题点发散2]　本例（3）中，若集合A，B中元素都为整数，求A∩B.

解：

由（3）可知A∩B＝{y|－1≤y≤7}，

则当A，B中元素都为整数时，A∩B＝{－1,0,1,2,3,4,5,6,7}．

[题点发散3]　本例（3）中，若集合A，B不变，试求（∁RA）∪（∁RB）．

解：

∵A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，

∴∁RA＝{y|y＜－1}，∁RB＝{y|y＞7}，

故（∁RA）∪（∁RB）＝{y|y＜－1或y＞7}．

[题点发散4]　本例（3）中，若集合A，B变为“A＝{（x，y）|y＝x2－2x，x∈R}，B＝{（x，y）|y＝－x2＋2x＋6，x∈R}”，求A∩B.

解：

由

⇒x2－2x－3＝0，

解得x＝3或x＝－1.

于是，

或

故A∩B＝{（3,3），（－1,3）}．

角度三

根据集合的运算结果求参数

[典题5]　

（1）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．

[答案]　2

[解析]　∵（∁UA）∩B＝∅，∴B⊆A.

又A＝{x|x2＋3x＋2＝0}＝{－1，－2}，

∴－1和－2是方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的两个根．

∴m＝2.

（2）已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－（2m－3）x＋m（m－3）≤0，m∈R}，若A∩B＝[2,4]，则实数m＝________.

[答案]　5

[解析]　由题知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，

因为A∩B＝[2,4]，

故

则m＝5.

[点石成金]　解决集合的基本运算问题，从三点入手

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．（如角度一）

（2）集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．（如角度二）

（3）根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．（如角度三）

角度四

新定义集合问题

[典题6]　

（1）若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（　　）

A．1B．3

C．7D．31

[答案]　B

[解析]　具有伙伴关系的元素组是－1；

，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

（2）对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝（M－N）∪（N－M），设A＝

，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝（　　）

A.

B.

C.

∪[0，＋∞）

D.

∪（0，＋∞）

[答案]　C

[解析]　依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝

，故A⊕B＝

∪[0，＋∞）．

[点石成金]　解决集合的新定义问题，从两点入手

（1）正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．

（2）合理利用集合性质．运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.

[方法技巧]　1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．

2．求集合的子集（真子集）个数问题，需要注意以下结论的应用：

含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．

[易错防范]　1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．

2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．

3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝（　　）

A.

B．

C.

D．

答案：

D

解析：

由题意得，A＝{x|1

，则A∩B＝

.故选D.

2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（　　）

A．{1}B．{1,2}

C．{0,1,2,3}D．{－1,0,1,2,3}

答案：

C

解析：

由已知可得B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}＝{x|－1

3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|（x－2）·（x－3）≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝（　　）

A．[2,3]

B．（－∞，2]∪[3，＋∞）

C．[3，＋∞）

D．（0,2]∪[3，＋∞）

答案：

D

解析：

集合S＝（－∞，2]∪[3，＋∞），结合数轴，可得S∩T＝（0,2]∪[3，＋∞）．

4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1,0}B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{0,1,2}

答案：

A

解析：

由题意知B＝{x|－2

5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]B．[－1,2）

C．[－1,1]D．[1,2）

答案：

A

解析：

∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.

6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝（　　）

A．{1}B．{2}

C．{0,1}D．{1,2}

答案：

D

解析：

N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．

课外拓展阅读

集合运算问题的三种解题模板

集合的基本运算包括交集、并集、补集，是历年高考必考的内容．解决集合的基本运算问题，要先明确集合中元素的特征，求出每个集合，然后理清几个集合之间的关系，最后利用列举法或借助数轴、Venn图等进行基本运算，从而得出结果．

方法一　列举法

列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此种方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题，其基本的解题步骤是：

（1）定元素：

确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．

（2）定运算：

根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．

（3）定结果：

根据定义的运算进行求解，利用列举法写出所求集合中的所有元素．

[典例1]　设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是（　　）

A．7B．10

C．25D．52

[思路分析]　

[答案]　B

[解析]　因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，

所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．

由x∈A∩B，可知x可取0,1；

由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.

所以元素（x，y）的所有结果如下表所示：

　　y

x　　

－1

0

1

2

3

0

（0，－1）

（0,0）

（0,1）

（0,2）

（0,3）

1

（1，－1）

（1,0）

（1,1）

（1,2）

（1,3）

所以A*B中的元素共有10个．

方法二　数形结合法

数形结合法就是利用数轴或Venn图或平面直角坐标系中的图象表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求解的基本步骤是：

（1）画图形：

根据题设条件给出的几何意义，画出与集合对应的几何图形或函数图象．

（2）定区域：

利用数轴、韦恩（Venn）图或直角坐标系中的函数图象确定集合运算所表示的平面区域．

（3）求结果：

根据图形确定相关运算的结果或区域所表示的几何图形的面积．

[典例2]　若集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}

C．{x|0≤x≤1}D．∅

[思路分析]　

[答案]　C

[解析]　因为集合A表示函数y＝

中x的取值范围，即该函数的定义域，

由1－|x|≥0得－1≤x≤1，

即A＝{x|－1≤x≤1}，

又集合B表示函数y＝x2在定义域R上的值域，

由x2≥0得B＝{y|y≥0}，所以结合数轴，

如图所示阴影部分，可得A∩B＝{x|0≤x≤1}．

方法三　特值法

高考对集合的基本运算的考查以选择题为主，所以我们可以利用特值法解题，即根据选项之间的明显差异，选择一些特殊元素进行检验排除，从而得到正确选项．其求解的基本步骤如下：

（1）辨差异：

分析各选项，辨别各选项的差异．

（2）定特殊：

根据选项的差异，选定一些特殊的元素．

（3）验排除：

将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项．

（4）定结果：

根据排除的结果确定正确的选项．

[典例3]　[2017·河北衡水中学模拟]已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|2

A．{x|－1≤x≤4}B．{x|2

C．{x|2≤x<3}D．{x|－1

[思路分析]　

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[答案]　B