几何画板画图.docx
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几何画板画图
几何画板画图
----动态图形中多边形有重合点如何构造多边形
动态图形中多边形有重合点如何构造多边形
题目:
如图
(1),在平面直角坐标系中,已知点A(0,4
),点B在x轴正半轴上,且∠ABO=30°。
动点 P 在线段AB上从点A向点B以每秒
个单位的速度运动,设运动时间为t秒。
在 x 轴上取两点M,N作等边△PMN。
(1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点 M 运动到与原点O重合时t的值;
(3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt
AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上。
设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
一、基本图形的绘制
1.利用【点工具】,在绘图区绘制任意一点,保持该点的选中状态,单击【显示】→【点的标签】,出现对话框后,将标签修改为O,单击【确定】,则字母O出现在点的附近,拖动字母可以改变字母的位置(后面标记标签的方法相同,也可以利用快捷键“Alt+/”标记图形对象的标签)。
选中点O,单击【变换】→【平移】,出现“平移”对话框后,“平移变换”选“极坐标”方式,“固定距离”为默认的“1.0”厘米,“固定角度”修改为的“0°”,单击【平移】,得到向右的平移点,选中点O和平移点,单击【构造】→【直线】,得到水平的直线,利用【点工具】,在这条直线点O的左右各绘制一个自由点,如图1所示。
2.单击【自定义工具】→【箭头工具】→【箭头A】,在绘图区绘制箭头向右的箭头,如图2所示。
3.将箭头上左右两点和点O左右的两点分别合并,方法如下:
先选中直线上左边的点,再选中箭头上左边的点(这里有顺序要求),单击【编辑】→【合并点】,则箭头上的点合并到直线上。
另两点合并方法相同,结果如图3所示。
4.选中直线和平移的点,单击【显示】→【隐藏对象】,隐藏直线和点,拖动箭头上的两个点,改变为合适的长度,结果如图4所示。
5.利用同样的方法,构造过点O的铅直箭头,构成直角坐标系,标记出x和y,如图5所示。
6.利用【点工具】,在y轴正半轴上绘制一个任意点,标记为A。
双击点O(可以看到动画闪烁),标记为旋转
中心,然后选中点A,单击【变换】→【旋转】,出现【旋转】对话框后,“旋转参数”选默认的“固定角
度”,并修改为“-90.0”度,单击【旋转】,得到横轴上的一点,如图6所示。
7.根据题目计算出OB长度为12。
双击点O,标记为缩放中心,再选中旋转得到的点,单击【变换】→【缩放】,
出现【缩放】对话框后,“缩放参数”选默认的“固定比”,分子修改为12,分母修改为
(输入时,要先把输入法改为英语状态,然后输入4*(3^0.5),其中“^”与数字6为同一个键),如图7所示,单击【缩放】,得到在横轴上的缩放点,标记为B,如图8所示。
8.选中点A、B,利用快捷键“Ctrl+L”,构造线段AB,选中旋转的点将其隐藏,如图9所示。
9.利用【点工具】,在线段AB上绘制任意点,标记为P。
计算可得∠MPB=90°,选中点P和线段AB,单击【构造】→【垂线】,得到过点P与AB垂直的直线,点击垂线与横轴的交点并标记为M,如图10所示,然后隐藏过点P的垂线。
10.双击点P,标记为旋转中心,再单击点M,单击【变换】→【旋转】,出现【旋转】对话框后,“旋转参数”选默认的“固定角度”,并修改为“-60.0”度,单击【旋转】,得到横轴上的另一点,这点标记为N。
11.选中点P、M、N,使用快捷键“Ctrl+L”,构造△PMN,拖动点P三角形的大小可以改变,结果如图11所示。
12.根据题目条件,可推理知点C、E分别为线段AB、OA的中点。
双击点A,标记为缩放中心,再单击点B,单击【变换】→【缩放】,得到“缩放”对话框后,“缩放参数”设置为“固定比”1/2 ,单击【缩放】,得到线段AB的中点,标记为C(也可以直接构造线段AB的中点)。
同样方法绘制点D、E。
依次选中点O、D、C、E,利用快捷键“Ctrl+L”,构造矩形ODCE,如图12所示,基本图形绘制完成。
二.动态重叠图形的绘制
13.本题目中,点P是主动点。
拖动点P,从△PMN与矩形ODCE的重叠部分的变化,可以知道点P的分界点有四个,分别是t=1,t=2,t=4,t=5。
双击点P,标记为旋转中心,再单击点B,单击【变换】→【缩放】,得到“缩放”对话框后,“缩放参数”选“固定比”,分子修改为1,分母修改为8(点P运动时间为8秒),单击【缩放】,得到的缩放点标记为1。
同样方法得到t=2时的缩放点标记为2(固定比为2/8);t=4时的缩放点为AB中点C,这里不再做缩放,直接使用点C。
t=5时的缩放点标记为3(固定比为5/8),结果如图13所示。
14.拖动点P,可以看到第一个从动点的运动路径为折线E-C-D,对应的点P是从点1到点3运动,且分界点为点C。
第二个从动点的运动路径为折线E-O-D,对应的点P也是从点1到点3运动,但分界点是点2。
15.制作第一个从动点:
选中点1、C,利用快捷键“Ctrl+L”构造线段1C,再同样构造线段C3。
选中线段1C和点P,同时按住Shift键,单击【度量】→【点的值】,得到结果为
的度量值文本框。
同样度量
的值。
拖动点P在1、2之间,再双击点E,标记为缩放中心,再单击点C,单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,单击
的度量值文本框,“缩放参数”变成“标记比”,如图14所示,单击【缩放】,得到C点的缩放点,标签修改为a(若点P在线段A1上,则点a与点E重合;若PM与EC相交,则点a为交点;若点P在线段CB上,则点a与点C重合)。
保持点a的选中状态,单击【变换】→【标记中心】,再单击点D,接着仍单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,再单击
的度量值,“缩放参数”变为“标记比”,显示为
单击【缩放】,得到点D的缩放点(若点P在线段A1上,则点a与点E重合;若PM与EC相交,则点a为交点;若PM与CD相交,则点a为交点;若点P在线段3B上,则点a与点D重合)。
保持点D缩放点的选中状态,单击【显示】→【点的标签】,出现对话框后,标签修改为1’。
保持点1’的选中状态,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点1’”按钮,单击按钮将点1’隐藏。
重新选中a点,同样制作【隐藏/显示】按钮,将点a隐藏,然后将点1’显示出来,结果如图15所示,拖动点P可以看到动点1’在折线E-C-D上的运动变化。
16.制作第二个从动点:
选中点1、2,利用快捷键“Ctrl+L”构造线段12,再同样构造线段23。
选中线段12和点P,同时按住Shift键,单击【度量】→【点的值】,得到结果为
的度量值文本框。
同样度量
的值。
先拖动点P在点1、2之间,再双击点E,标记为缩放中心,再单击点O,单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,单击
的度量值文本框,“缩放参数”变成“标记比”,单击【缩放】,得到点O的缩放点,标签修改为b(若点P在线段A1上,则点b与点E重合;若PM与EO相交,则点b为交点;;若点P在线段2B上,则点b与点O重合)。
保持点b的选中状态,单击【变换】→【标记中心】,再单击点D,接着仍单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,再单击
的度量值,“缩放参数”变为“标记比”,显示为
单击【缩放】,得到点D的缩放点(若点P在线段A1上,则该点与点E重合;若PM与EO相交,则该点为交点;若PM与OD相交,则该点与点M重合;若点P在线段3B上,则该点与点D重合)。
保持点D缩放点的选中状态,单击【显示】→【点的标签】,出现对话框后,标签修改为2’。
保持点2’的选中状态,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点2’”按钮,单击按钮将点2’隐藏。
重新选中b点,同样制作【隐藏/显示】按钮,将点b隐藏,然后将点2’显示出来,结果如图16所示。
拖动点P可以看到动点2’在折线E-O-D上的运动变化。
17.拖动点P到点A,这时设线段PN与EC的交点记为F,点N这时的位置记为G,可以计算此时等边△PMN的边长为8,则ON的长度为4,EF的长度为2。
先拖动点P在点1、2之间,双击点E,标记为缩放中心,将点C进行缩放,缩放参数的固定比为1/3,得到点F。
再双击点O,将点D进行缩放,缩放参数的固定比为2/3,得到点G,如图17所示。
拖动点P,可以看到第三个从动点的运动路径是沿F-C-D移动,对应的点P是从点A到点3,分界点是点C;第四个从动点在线段GD上运动;第五个从动点的运动路径是沿G-D-C-D移动,对应的点P是从点A到点3,但分界点是2和C,第四、五两个从动点可以同时完成绘制。
18.制作第三个从动点:
选中点A、C,利用快捷键“Ctrl+L”构造线段AC(此时线段AB变成虚线,且AC在上,AB在下,后面可以修正它的线型)。
选中线段AC和点P,同时按住Shift键,单击【度量】→【点的值】,得到结果为
的度量值文本框。
拖动点P在1、2之间,再双击点F,标记为缩放中心,再单击点C,单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,单击
的度量值文本框,“缩放参数”变成“标记比”,单击【缩放】,得到点C的缩放点,标记为c(若点P在AC上,则点c就是PN与EC的交点;若点P在CB上,则点c与点C重合),保持点c的选中状态,单击【变换】→【标记中心】,再单击点D,接着仍单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,再单击
的度量值,“缩放参数”变为“标记比”,显示为
单击【缩放】,得到点D的缩放点,保持该点的选中状态,单击【显示】→【点的标签】,出现对话框后,标签修改为3’,保持点3’的选中状态,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点3’”按钮,单击按钮将3’隐藏。
重新选中c点,同样制作【隐藏/显示】按钮,将c点隐藏;再选中点F,制作【隐藏/显示】按钮,将F点隐藏,然后将点3’显示出来,如图18所示。
拖动点P,可以看到动点3’的运动变化。
19.制作第四个和第五个从动点:
选中点A、2,利用快捷键“Ctrl+L”构造线段A2。
选中线段A2和点P,同时按住Shift键,单击【度量】→【点的值】,得到结果为
的度量值文本框。
拖动点P在1、2之间,再双击点G,标记为缩放中心,再单击点D,单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,单击
的度量值文本框,“缩放参数”变成“标记比”,单击【缩放】,得到点D第一个缩放点,标记为4’(若点P在A2上,则点4’与点N重合;若点P在2B上,则点4’与点D重合),它是从点G到点D的一个从动点,也是第四个从动点。
保持点4’的选中状态,单击【变换】→【标记中心】,再单击点C,接着仍单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,再单击
的度量值,“缩放参数”变为“标记比”,显示为
,
单击【缩放】,得到点C的缩放点,标签修改为d(若点P在线段A2上,则点d与点N、点4’重合;若点P在线段2C上,则点d是PN与CD的交点;若点P在线段CB上,则点d与点C重合),保持点d选中状态,再单击【变换】→【标记中心】,再单击点D,接着仍单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,再单击
的度量值,“缩放参数”变为“标记比”,显示为
,
单击【缩放】,得到点D的第二个缩放点,保持该点的选中状态,单击【显示】→【点的标签】,出现对话框后,标签修改为5’,保持点5’的选中状态,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点5’”按钮,单击按钮将5’隐藏。
重新选中点4’,同样制作【隐藏/显示】按钮,将该点隐藏;再选中d点、G点和N点,同样分别制作【隐藏/显示】按钮,将这三个点隐藏,然后将点4’和5’显示出来,如图19所示。
拖动点P,可以看到动点4’和5’沿G-D-C-D的运动变化。
20.制作第六个从动点:
这个点在线段OD上运动,先拖动点P在1、2之间,再双击点O,标记为缩放中心,再单击点D,单击【变换】→【缩放】,出现“缩放”对话框后,单击
的度量值文本框,“缩放参数”变成“标记比”,单击【缩放】,得到点D的缩放点(若点P在A2上,则该点与与点O重合;若点P在23上,该点与点M重合;若点P在线段3B上,则该点与点D重合),保持这个点的选中状态,单击【显示】→【点的标签】,出现对话框后,标签修改为6’,保持点6’的选中状态,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点6’”按钮,单击按钮将6’隐藏。
重新选中点O,同样制作点O的【隐藏/显示】按钮,将点O隐藏,然后将点6’显示出来。
拖动点P,可以看到动点6’在OD上的运动变化。
拖动点P,让点P仍在线段12上,如图20所示,则重叠的多边形出现最多的边数,由于这里4’和5’重合,故多边形应为六边形,因此下边需要对点4’先作微平移。
21.先拖动点P在1、2之间,再隐藏点5’。
选中点4’和线段OD,同时按住Shfit键,单击【度量】→【点的值】,得到
的度量值文本框。
单击【数据】→【计算】,出现“新建计算”计算器后,单击
的度量值,出现在对话框中后,单击“-”号和数值“0.1”,单击确定,得到
的度量值文本框,选中这个文本框,再单击线段OD,单击【绘图】→【在线段上绘制点】,得到点4’的移动点,标签修改为4’’,如图21所示。
隐藏点4’,显示点5’。
利用【多边形工具】(不带边界),依次单击点1’、2’、6’、4’’、5’,双击3’,得到一个六边形,多边形内部的颜色自己可以修改,如图22所示。
选中
的度量值文本框,光标放在文本框上,右击鼠标,出现菜单,单击【编辑计算】,出现【编辑计算】对话框后,将
中的“0.1”修改为“0.001”,单击【确定】,得到结果为将点4’向左微移。
当点P在线段A2上时,微移点4'’看起来像和点5’重合,如图23所示。
至此,动态的重叠多边形制作完毕。
这里只能将点4’微移,可以保证多边形的面积为0时,面积度量值文本框不消失;而将点6’微移,则会出现度量值消失的情况。
22.选中点4’’,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点4’’”按钮,单击按钮将4’’隐藏。
再单击操作类按钮隐藏点1’、2’、3’、5’、6’,显示点O、N。
依次选中点1、2、3,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏点”按钮,单击按钮将这三个点隐藏,结果如图24所示。
23.选中重叠多边形的内部,单击【度量】→【面积】,得到“1’2’6’4’’5’3’的面积=……”的值;选中点O、B,单击【度量】→【距离】,得到“OB=……厘米”的值。
单击【数据】→【计算】,在“新建计算”计算器中,计算“1’2’6’4’’5’3’的面积÷(OB÷12)^2”的值,出现度量值文本框后,鼠标放在文本框上,右击鼠标,在下拉菜单中,单击【属性】,出现“度量值”对话框后,将标签改为S,单击【确定】,度量值最后改为“S=……”(这里不再有单位)
24.选中线段AB和点P,单击【度量】→【点的值】,得到度量值为
;
单击【数据】→【计算】,在“新建计算”计算器中,计算
的值,再将度量值标签改为t(方法同23),结果为“t=……”。
25.单击【数据】→【新建参数】,出现“新建参数”对话框,将名称改为t,数值改为2,单击【确定】,
结果为“t=……”。
同样方法新建参数“S=……”(因为t和S的数据较大,在坐标系中需要改变单位长度的值,以便于观察函数图象)。
26.单击【自定义工具】→【蚂蚁坐标系】→【平面直角坐标系【参数版】】,再依次单击“t=……”和“S=……”,移动鼠标以后,此时会出现一个调控手柄,在合适的位置单击一下,调控手柄出现在绘图区,同时出现一组控制按钮,然后在合适的位置再单击一下,又会出现一个坐标系,可以得到如图25所示。
现在的坐标系有点乱,单击控制按钮中的【系统初始化】,坐标系变成正常态了,拖动坐标系中坐标轴上四个手柄,使坐标系中刻度值的大小符合t和s的范围(这里0≤t≤8,0≤S<15),还可以利用图25中的调控手柄调整单位长度的大小,使其符合绘图需求(自已可以拖动其他手柄,看看它们的作用)。
将标签x修改为t,标签y修改为S,并将坐标系调整如图26所示。
27.依次选中“t=……”和“S=……”,单击【绘图】→【绘制点(x,y)】,可以在坐标系中得到一个点,标签修改为P’,拖动点P,点P’随之运动。
28.给重叠多边形1’2’6’4’’5’3’和坐标系中的点加上颜色:
(1)多边形1’2’6’4’’5’3’随点P的运动形状不断发生改变,我们可以让多边形在不同的位置显示不同的演示。
我们先计算分界点,当0≤t≤1,1 我们可以新建一个符号函数来构造一个颜色参数yanse,使其控制多边形的颜色变化。 单击【数据】→【新建函数】,在“新建函数”计算器中,输入式子sgn(sgn(t-x)+1),得到结果为f(x)=sgn(sgn(t-x)+1)。 单击【数据】→【计算】,出现“新建计算”计算器后,点击f(x)=sgn(sgn(t-x)+1),计算器中出现f(),输入数值1,单击【确定】,得到“f (1)=……”,这里省略号所代表的值,只有1.00和0.00。 用同样的方法计算f (2)、f(4)和f(5)的值。 接着单击【数据】→【计算】,出现“新建计算”计算器后,计算 “0.2+0.2* f (1)+0.3* f (2)+0.4* f(4)+0.4* f(5)” 的值,得到度量值文本框后,标签改为“yanse”,结果为“yanse=……”。 (2)单击重叠多边形的内部和度量值“yanse=……”,再单击【显示】→【颜色】→【参数】,出现“颜色参数”对话框,如图27所示,【颜色范围】选【单向循环】,【参数范围】选“0.0”到“1.5”,单击【确定】,拖动点P,则重叠多边形的内部颜色随之改变。 用同样方法给坐标系中的点设置加上颜色。 9.选中点P和坐标系中的点(此时绘制的点已经自动隐藏,显示出来的点是通过颜色参数设置的点,单击【构造】→【轨迹】,可以得到S随着t变化的函数图象。 可以选中图象,单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】,得到“隐藏轨迹”按钮方框,点击可以隐藏或显示图象轨迹。 30.通过自定义颜色变换构造动态的图像: (1)选中点P和坐标系中的点,单击【变换】→【自定义颜色变换】,出现“创建自定义变换”对话框后,“自定义变换名称”选默认的“颜色变换1”,单击【确定】。 (2)选中点P和点A,利用快捷键“Ctrl+L”构造线段AP,保持线段AP的选中状态,单击【变换】→【颜色变换1】,得到坐标系中带颜色的动态轨迹,如图28所示。 拖动点P,可以看到动态轨迹的变化。
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- 几何 画板 画图