各种粒子的量子方程.docx
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各种粒子的量子方程
各种粒子的量子方程
施水荣广东省惠州市惠阳电视台,广东惠阳(516211)Email:
hytvssr@
2006.10.8摘要:
本文详细研究了常数张量及其性质,并应用常数张量的方法,探讨了电磁场、引力场、YM场的经典形式与各种量子形式及其相互转换关系,对各种形式是否等价给出了证明,并将电磁场、引力规范场、YM场纳入任意整自旋广义YM规范理论进行统一处理,
进一步引出任意自旋量子方程,充分展示了常数张量分析方法的威力。
应用张量的方法有
以下好处:
保证每一步协变性(包含内部对称性与外部对称性),保证结果的协变性,不再需要额外证明其协变性,即只要采用广义张量写法,则群规范对称性、洛伦次对称性与广义协变性是自然满足的。
本篇比较全面地列出了电磁场、引力场、YM场、中微子、电子及任意自旋场量子方程的各种形式,并基于以上结果提出了自旋模型与中微子振荡模型。
关键词:
常数张量、经典、量子、自旋、对称性。
1.前言
本文运用常数张量的方法,统一将电磁场、引力规范场、Yang-Mills场及任意自旋场
写成类中微子的量子方程形式。
对于电磁场的类中微子的量子方程形式,历史上很多人都
[1-5]
作过研究,如朗道、Oppenheimer、Weinberg、Moses、Majorana等,本文在此基础上
运用新的方法—常数张量分析方法,将电磁场情形推广运用于Yang-Mills场与引力场规范理论及一般情形,得到了所有粒子的量子方程形式,并进一步写出了各种粒子方程的多种等价形式。
2.数学准备
2.1约定
符号约定:
:
直积;:
直和;×:
叉乘;·:
点乘;*:
霍奇星算子;
采用正交标架:
gab=diag(1,1,1,1),这样可以不区分协变、逆变指标;对易与反对易指标约定:
T[ab]=Tab-TbaT(ab)=Tab+Tba;坐标指标符号:
小写阿拉伯字母u,v,s,t,p,q;标架指标符号:
除坐标指标符号外的小写阿拉伯字母a,b,c,d,...;旋量指标符号:
大写阿拉伯字母A,B,C,D,...;
自旋指标符号:
希腊字母
2.2泡利矩阵
,,,,,...。
s={
01
10,
0-i
i0,
10
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
}
0-1
[a,b]=2i
c
2
abc(s/2)
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
c
=1/2(1/2+1){a,b}=2ab(2.2.1)
2.3SO(4)群生成元
2.3.1空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
R={i,i
,i}
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
L={i
,i,i}
c
[Ra,Rb]=i
[Ra,Lb]=i
abRc[La,Lb]=i
c
abLc[La,Rb]=i
abLc
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
0
c
abLc(2.3.1)
0
0
1
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
-1
0
0
2.3.2空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元的混合表象
0
0
0
1
0
0
-1
0
0
1
0
0
-1
0
0
0
s+=R+L=i
,i,i
0
0
0
-1
0
0
-1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
s-=R-L=i
,i,i
c
2
[+a,+b]=2i
ab+c(s+/2)
=1/2(1/2+1){+a,+b}=2ab
[-a,-b]=2i
[+a,-b]=0
c
2
ab-c(s-/2)
0
0
1
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
0
1
0
0
=1/2(1/2+1){-a,-b}=2ab
s+=(-yx,-Iy,yz)s-=(xy,-zy,yI)(2.3.2)
2.4光子自旋矩阵
={i
000
00-1
010
001
,i000
-100
0-10
,i100}
000
[a,b]=i
c
abcg
2=1(1+1)
(2.4.1)
2.5转换矩阵
-1001
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1000
1
Sem=
2
-i00-i
0110
0i-i0
Sex=
++
s+=SemISems-=SemISem(2.5.1)
2.6矩阵约定
a=(-,i)+a=(-+,i)-a=(--,i)(2.6.1)
3.常数张量分析
3.1常数张量性质的物理证明注:
本节证明属于说明性的,数学上不够严格,但结论是正确的。
本节讨论的是最一般的Yang-Mills理论,包括引力场与经典YM场。
底流形采用自然基,底流形指标与群指标在引力场与经典YM场情形下变换都是独立的,以下保持底流形指标不变,对群指标进行变换。
3.2广义Yang-Mills理论情形
3.2.1YM理论
T线性无关,且满足[T,T]=ifT则可以得到以下YM理论。
U()=exp[iT]注:
群参数可以是实数也可以是复数。
U
DuUDuDu=u+iAuT
-1
AuTUAuT-(uU)U
uvuv
FTUFTU-1
3.2.2命题证明
Fuv=uAv-vAu+ifAuAv(3.2.1)
FAA
命题一:
证明:
uvB(=FuvTB)是混合张量。
(3.2.2.1)
由Yang-Mills理论得变换关系F'A
A-1
以得
A
A~exp[iT]
uv(B)=UFuv(B)U,所
~exp[-iTT]
A,Bu,vFA=FTA
u,vA,B
所以是协变旋量标,结合是坐标矢量标,所以
标的混合张量,证毕。
uvB
uvB是关于,指
命题二:
Fuv是混合张量。
(3.2.2.2)
证明:
F'AA
无穷小变换
uv(B)=(1+iT)Fuv(B)(1-iT)
FuvT=iFuvT[T]
AA
FuvTB=iFuvifTB
Fuv=iifFuv
F<>
uv=iif
可得
F
T<>
uv
~exp[iifT]~exp[-iif]
由上得是旋量标,结合u,v是坐标矢量标,所以Fuv是关于u,v,
证毕。
指标的混合张量。
T
命题三:
群基
证明:
A
B是混合常数张量。
(3.2.2.3)
FAAA
由uvB(=FuvTB)是混合张量及Fuv是混合张量,可得TB是关于A,B,
指标的混合常数
张量。
证毕。
命题四:
结构常数f
证明:
是常数张量。
(3.2.2.4)
TABAA
由结构方程
证毕。
[BT]C=ifTC及TB是张量,可得f
TA
是关于,,
指标的常数张量。
命题五:
群基协变导数
证明:
由Yang-Mills理论得
B;s=0。
(3.2.2.5)
(FuvT);s=s(FuvT)+i[AsT,FuvT](FuvT);s=s(Fuv)T+iAsFuvifT因为Fuv;s=sFuv+iAsFuvif
(FuvT);s=Fuv;sT
AA
(FuvTB);s=Fuv;sTB
A
得FuvTB;s=0
TA
B;s=0
证毕。
命题六:
结构常数协变导数f;s=0。
(3.2.2.6)
证明:
TABAA
由结构方程
[BT]C=ifTC及TB;s=0
(T
T
)
AB
[B]C;s
=if
T
A
;sC=0
f;s=0
证毕。
命题七:
一组线性无关的基T,只要满足结构方程T[T]=ifT,则必定满足以上六个命题。
(3.2.2.7)
证明:
利用以上基T,可以构造Yang-Mills理论,则自然有命题一到命题六的结论。
命题八:
正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。
(3.2.2.8)证明:
任意旋量的变换为
A~=exp[iT]
~
B
则A=gAB
-T=exp[-iTT]
gAB
AB=gAB
AB=
不变量
Tg
-T=g
TTg
TT=0
TACB
BACCC
Cg+TCg
=0T
AgCB+TBgAC=0
AB
Dcg
AB
=cg
-iAcT
g
TACBC
-iAcT
g
TBACC
AB
Dcg
=cg
cC
AB-iATAg
cC
CB-iATBgAC
AB
=cg=0
CC
DcgAB=cgAB+iAcT
AgCB+iAcTBgAC=cgAB=0
cBc
AC
DgA=D(g
gCB)=0
所以只要度规为常数张量,则其协变导数为零。
证毕。
3.2.3正交标架
正交标架下以上结论同样成立:
FAuvA
uvA
abB(=eaebFuvTB)是混合张量;Fab(=eaebFuv)是混合张量;群基TB是混合常数
fTA
=0f=0
张量;结构常数是常数张量;群基协变导数
3.3引力场型YM情形
B;c
;结构常数协变导数;c。
3.3.1引力场型YM理论
ab=-ba,
ab,a
ef
[ab,cd]=(gcbad+gdbca-gcabd-gdacb)/2=ifabcdef
则可以得到以下引力场型YM规范理论。
U()=exp[ab
U
ab]
ab
DuUDuDu=u+
uab
ab
uab
U
-1
ab
uab
-1
-(uU)U
Rab
U
ab-1
abab
abacbacb
uvabURuvabU
3.3.2命题证明
RAabA
Ruv=u
v-vu+u
vc-v
uc(3.3.1)
命题一:
证明:
uvB(=Ruv
abB)是混合张量。
(3.3.2.1)
由Yang-Mills理论得变换关系R'A
A-1
以得
uv(B)=URuv(B)U,所
A~exp[ab
ab]
ab
A
~exp[-abT]
A,Bu,vRA=RTA
u,vA,B
所以是协变旋量标,结合是坐标矢量标,所以
标的混合张量,证毕。
Rab
uvB
uvB是关于,指
命题二:
证明:
uv是混合张量。
(3.3.2.2)
洛仑兹群表示[ab,cd]=(gcbad+gdbca-gcabd-gdacb)/2
无穷小变换
Rab
uvab=
R[,]
abcd
uvabcd
Rab
uvab=
R[,]
abcd
uvabcd
Rab
acba
cb]
uvab=[
cRuv-Ruvcab
Rab
acba
cb]
uv=[
R'
cRuv-Ruvc
uv=(1+)Ruv(1-)
a,b~exp[]=exp[iwR+L]
a,bu,vRab
u,v,a,b
由上得是标架矢量标,结合是坐标矢量标,所以
量。
证毕。
uv是关于指标的混合张
命题三:
群基
证明:
A
abB是混合常数张量。
(3.3.2.3)
RAabAabA
由uvB(=Ruv
abB)是混合张量及Ruv是混合张量,可得
abB是关于A,B,a,b指标的混合
常数张量。
证毕。
fef
命题四:
结构常数
证明:
abcd
是常数张量。
(3.3.2.4)
由结构方程
fef
A
[abB,
B
ef
cd]C]=(gcbad+gdbca-gcabd-gdacb)/2=ifabcd
A
efC是张量,可
得数abcd
证毕。
是关于a,b,c,d,e,f指标的常数张量。
A
命题五:
群基协变导数
证明:
abB;s=0。
(3.3.2.5)
由引力场型Yang-Mills理论得
(Rab
ababcd
uvab);s=s(Ruvab)+[
sab,Ruvcd]
(Rab
abacbacb
uvab);s=(sRuv)ab+[
scRuv-Ruvc
s]ab
(Rab
abacbacb
uvab);s=(sRuv)ab+[
scRuv-Ruvc
s]ab
(Rabab
uvab);s=(Ruv;s)ab
(RabA
abA
uvabB);s=(Ruv;s)
A
abB
abB;s=0
证毕。
fef
命题六:
结构常数协变导数abcd;g=0
证明:
(3.3.2.6)
由结构方程
A
[abB,
B
ef
cd]C=ifabcd
A
efC及
A
abB;s=0得
{AB
efA
[abB,
fef
cd]C};g=ifabcd;g
efC
abcd;g=0
证毕。
命题七:
一组线性无关的基
ab,a>b,只要满足结构方程
A
[abB,
B
ef
cd]C]=(gcbad+gdbca-gcabd-gdacb)/2=ifabcd
A
efC,则必定满足以上六个
命题。
(3.3.2.7)
证明:
利用以上基
ab,可以构造引力Yang-Mills理论,则自然有命题一到命题六的结论。
证毕。
命题八:
正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。
(3.3.2.8)
证明:
任意旋量的变换为
]
ab
A~=exp[ab
则A=gAB
-T=exp[-
abT
]
ab
gAB
AB
AB=
gAB=不变量
Tg
~
B
-T=g
T
abg
ab=0abg
T
ab=0
A
abCg
CB+
=0
AC
B
g
abC
C
abAgCB+
C
abBgAC=0
AB
Dcg
=cg
AB-
g
abTA
A
cabC
CB-
g
abTBAC
cabC
AB
Dcg
=cg
AB-
ab
g
cabC
CB-
B
g
abAC
cabC
AB
=cg=0
DcgAB=cgAB+
C
ab
cabAgCB+
C
ab
cabBgAC=cgAB=0
cBc
AC
DgA=D(g
gCB)=0
所以只要度规为常数张量,则其协变导数为零。
证毕。
3.3.3正交标架
正交标架下以上结论同样成立:
RAuv
cdA
cduvcdA
abB(=eaebRuvTcdB)是混合张量;Rab=eaebRuv是混合张量;群基
abB是混合常数
fefA
张量;结构常数
fef
abcd;g=0。
3.4小结
abcd
是常数张量;群基协变导数
abB;c=0;结构常数协变导数
以上结论在一般李群与广义Yang-Mills规范理论下成立,SO(3,1)群、SL(2,Z)群
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