三角函数倍角公式.docx
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三角函数倍角公式
三角函数倍角公式
复习重点:
二倍角公式
二倍角的正弦公式:
sin2A=2sinAcosA
二倍角的余弦公式:
cos2A=cos2A—sin2A=2cos2A—1=1—2sin2A
二倍角的正切公式:
tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
对公式的再认识:
(1)适用范围:
二倍角的正切公式有限制条件:
心kn^-且AM匕+(k€Z);
(2)公式特征:
二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例;二倍角关系是相对的。
(3)公式的灵活运用:
正用、逆用、变形用。
复习难点:
倍角公式的应用
复习内容:
小结:
倍角公式:
sin2A=2sinAcosA
cos2A=cosFA—sin2A=2cosFA—1=1—2sin2A
化“1”公式(升幕公式)
1+sin2A=(sinA+cosAf,
1—sin2A=(sinA—cosAf
1+cos2A=2cos2A
1—cos2A=2sin2A
sin2A=
1—cos2A
2
降幕公式
2tana
1-tan2ct
二倍角公式是两角和公式的特殊情况,即
2222
sin2a=2sinacosa,cos2k-cosa-sina=2coscs-1=1-2sir*a,tan2a-
由此可继续导出三倍角公式•观察角之间的联系应该是解决三
角变换的一个关键•二倍角公式中余弦公式有三种形式,采用哪种形
式应根据题目具体而定
倍角和半角相对而言,两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.
.2q1-coso2of1+cosa
sm一=cos一=
推导过程中可得到一组降次公式,即,
进一步得到半角公式:
空11—C0SftCL十COSSCLfl—COStZ
sin—=±J’C63—=土」Jan——-+J
2V22Q22Vl+costz
降次公式在三角变换中应用得十分广泛,降次”可以作为三角变
换中的一个原则•半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取,而
(X
是正是负取决于二所在的象限•而半角的正切可用a的正弦、余弦表
ut1-cosatsincetan一=——;
示,即卩:
_丄亠
-"1■一.这个公式可由二倍角公式得出,这个
0C
公式不存在符号问题,
因此经常采用•反之用tan]也可表示sinacosa
tana,即:
Stan-
tanQi=—
1-tan2-
2这组公式叫做
2tan-
2
;in«='—
2
CQSQi=-
vce
1亠tan一
2
万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式,其它公式并没有给出,需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出
例1.推导三倍角的正弦、余弦公式
解:
sin3a=sin(2a+a
=sin亡za+C6SSiESift&=2sinaa+(1-2sina)sina
j^.3..?
-2sinc&(l-sina)+sinas-2sina~3sma.-4sina
cos3o=cos(2a+a
■2.J
=C6£2&亡-filfL2&5in-(2t65。
一1)-25ifi*"£KCi>£
-2cos^-cosc-2(1-co/cz)coscu-4cos^a-3cose
例2.利用三倍角公式推导sin18的值.
解:
vsin36=cos54°「.2sin18Cos18=4co^18-3cos18
tcos18°M0「•2sin18=4co§18°-3
2sin18=4-4sirh8-3
•••4si〃18°+2sin18-1=0
10fl-2+V20厉-1
sin18■
•••.本题还可根据二倍角公式推出
cos36°
^os36°-1-2£m218°・1-買』1二■仝匕
即〜二.
例3.化简求值:
(1)csc10-°°sec10⑵tan20+&ot20-2sec50
解:
(1)csclO-广seclO
1_厲.cxlM-历sin10°.2(妣型g"凹弋*30°命10。
).2皿出-12).4
sin10°cos10csin10°coslODsinW°tc>slO°丄血2爪
2
(2)tan20+Cot20-2sec50
sm20°cos20°
一_丰一=
2
=:
2r>fiOi2nnO
sinAU+gos2U
==
2
=':
2
=-
__2“
cos2CI°sin20°
cos50*^
cos20°sin20°
sin4u°
sin40°
例4•求:
sin220°+coS?
50°+sin30sin70
1-CQe40^1GQslOO^1十+—SltL
2
解:
sin^O°+co$50°+sin30sin70
2£2如卅…"圖制®吧+驰7°
=l+l[cos(70°+汕)-cos(70°-30°)]+|sin70°=1+|(-2sin70°sin3O°)+|sm7O0=1
例5.已知:
cos(—一&)cos(—十0)
44
1
z•求:
cog&+sin4B的值.
GO5(—_0)C05(—"*■&)=]解:
T「-,
(cos-cos
4
即1,:
,_?
COE2^=—
即“,二cos4&+sif0
例6.求cos36°os72的值.
解:
cos36°cos72°
2sin36°C6S36°eos72°2m72°eds720sin144°1
2sin36°4sm36°4sin36°4
k23
cos—■cos—?
r■cos—k
例7.求:
「=:
的值.
cos—'COS—兀・COS—TC解:
一?
一
24
=COS—COS—K'C-CQS—=一
7177
jt24
2sin—cos—cos—cos—
7777
—^cos
4
COS—JI
2sin
44
—cos—九
77
sm
3
-JT
8sh-
4siti
上述两题求解方法一致,都是连续应用二倍角的正弦公式•而能
采用这种方法求值的题目要求也是严格的,要满足
(1)余弦相乘,
(2)后一个角是前一个角的两倍,(3)最大角的两倍与最小值的和(或差)是n满足这三个条件即可采用这种方法.
例8.已知:
2cos8=1+sinB,求42.
2(cos
方法一:
t2cos0=1+sin0,二
兀&1
GOt(—-—
4'汗
1十tan-
2
1-tan—
2:
.
叫一”或网右fl.
cos—十sin—=Ucos—=Jsin—或]
方法二:
t2cos8=1+sin0,
2sin(冷_=1-hcosfy_ff)
4stn(—-—)cos(—-—)=2cos(—-—
Q匸:
Sin—=Hl亠SULDC
例9.已知:
二
求:
tana的值.
sin—=J1十since-Ji一sinat2
at.a>a
sin—=sin—十cos—
2122
a
sm—一cos
2
1'
sin
sm
.Of
sm—+
2
a..a:
cos—-sm—一
212
cos
⑴当
则有
r°
。
仔
StQ
-时,
sm
cos
asm—■+cos
tan—=0
2
a
十£in—-
2
a>cos—
2
.QJsin—
2
2sm—
2
2ten-
tan«==Q
l+tena-
2
W.Of—、
x一》sin
O!
〉cos
a
⑵当
42
2
】,则有
Ct
.1
a
Q.0:
a
sin—
=sin-
—十cos
—-sin—
+
cos—
2
2
22
2
Stan—
9
4
-1:
-■-
IkllJ
.2Q
1-tail一
-_
3
2Qsin一斗cos'
注意:
1与Sina在一起时,1往往被看作】二,而1与COSa在一起时,往往应用二倍角余弦公式把1去掉•
例10.已知:
sinQsina,cos0为等差数列;sinQsin®cos0为等比数列.求证:
2cos2a=cos2®
4sin3a二1+2血Bcos0
2sin'Q=2sincos$
「•4sirfa=1+2sirf®/•2-4sin2a=2-1-2sin2®
2cos2沪cos2®
课后练习:
5>={oj|ct!
=l-2pin:
1—=$\/3=2cos3%-1,W2E2V)
1.若:
''
则()•
2.若A为/ABC的内角,
£m+cosj4=-
3,贝卩cos2A=()
B、
C、:
l
+2/nD、"-:
l
A、P,QB、PQC、P=QD、PAQ=:
3.若,贝卩sin28=().
A、•:
B、1-QC、一7
tan—=<0)
A、
B、
2a
C、-1
2a
D、-1,
4.若二•,则sin8=()
oct=1-cosa+sinatail—=:
5.若-,贝yi—一■丄…上=(
A、2B、「C、1D、-1
sin&:
sin一=8:
5
6.若2,贝yCOSOF.
a2A09
cosp=-—-/2tan—+cot—
7.若8为第二象限角,且[,贝q1】=.已知
3十为
sinA+cosA=2sinB.求证:
cos2B=coS「
参考答案
7.6
l+tana-
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- 三角函数 公式