高三数学二轮专题复习专题综合检测二三角函数.docx
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高三数学二轮专题复习专题综合检测二三角函数
专题综合检测二三角函数
时间:
120分钟 满分:
150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(文)已知角α的终边经过点P(m,-3),且cosα=-,则m等于( )
A.- B.
C.-4 D.4
[答案] C
[解析] 由题意可知,cosα==-,
又m<0,解得m=-4,故选C.
(理)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(x,2)是角θ终边上一点,且cosθ=,则x的值为( )
A.±3 B.-3
C.3 D.±13
[答案] C
[解析] P到原点的距离|PO|=,由三角函数的定义及题设条件得,解之得x=3.
2.(2013·海淀区期中)若向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|=1,则a·b的值为( )
A.-B.
C.-1D.1
[答案] A
[解析] ∵|a|=|b|=|a+b|,∴〈a,b〉=120°,
∴a·b=1×1×cos120°=-.
3.(2013·榆林一中模拟)下列函数中,周期为π,且在区间[,]上单调递增的函数是( )
A.y=sin2xB.y=cos2x
C.y=-sin2xD.y=-cos2x
[答案] C
4.(文)(2012·邯郸市模拟)要得到函数y=cos(-)的图象,只需将函数y=sin的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
[答案] A
[解析] ∵y=sin=cos(-)=cos(-)=cos[(x-)-]向左平移个单位长度,即得y=cos(-)的图象.
(理)(2013·天津六校联考)若把函数y=sinωx的图象向左平移个单位,则与函数y=cosωx的图象重合,则ω的值可能是( )
A.B.
C.D.
[答案] B
[答案] 由条件知,=,∴T=,
又T=,∴ω=.
5.(文)(2013·德阳市二诊)若cosθ+sinθ=-,则cos(-2θ)的值为( )
A.B.
C.-D.-
[答案] D
[解析] 将cosθ+sinθ=-两边平方得,
sin2θ=-,
∴cos(-2θ)=sin2θ=-.
(理)(2013·苍南求知中学月考)函数y=cos2(2x-)的图象向左平移个单位,所得的图象对应的函数是( )
A.值域为[0,2]的奇函数
B.值域为[0,1]的奇函数
C.值域为[0,2]的偶函数
D.值域为[0,1]的偶函数
[答案] D
[解析] y=cos2(2x-)=,左移个单位后为y=+cos4x为偶函数,值域为[0,1],故选D.
6.(2013·常德市模拟)在△ABC中,若·(-2)=0,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
[答案] B
[解析] ∵·(-2)=·(-)
=·(+)=0,
∴(-)·(+)=0,
∴||2=||2,
∴||=||,故选B.
7.(2013·重庆一中月考)已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行,则tan2α的值为( )
A.B.
C.D.
[答案] C
[解析] ∵tanα=,∴tan2α==.
8.(文)(2013·保定市一模)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<)的部分图象如右图所示,则函数f(x)的表达式为( )
A.f(x)=sin(2x+)
B.f(x)=sin(2x-)
C.f(x)=sin(4x+)
D.f(x)=sin(4x-)
[答案] A
[解析] 周期T=4(-)=π,故ω=2,又点(,1)在图象上,代入可得φ=,故选A.
(理)函数y=tan(x-)(0 A.-8 B.-4 C.4 D.8 [答案] D [解析] A点坐标为(2,0),即=(2,0), 由y=tan(x-)的图象的对称性知A是BC的中点. ∴+=2, ∴(+)·=2· =2×||2=8.故选D. 9.(2013·新课标Ⅰ文,10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9 C.8D.5 [答案] D [解析] 本题考查了倍角公式、余弦定理.由倍角公式得23cos2A+cos2A=25cos2A-1=0,cos2A=,△ABC为锐角三角形cosA=,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2-b-13=0,即5b2-12b-65=0,解方程得b=5. 10.(文)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点,则·(+)( ) A.最大值为8B.是定值6 C.最小值为2D.与P的位置有关 [答案] B [解析] 如图,∵+==2,△ABC为正三角形, ∴四边形ABDC为菱形,BC⊥AO,∴在向量上的投影为,又||=,∴·(+)=||·||=6,故选B. (理)(2013·榆林一中模拟)如图,已知△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上且满足==2,若||=2,||=3,∠BAC=120°,则·的值为( ) A.-2B.2 C.D.- [答案] A [解析] 由条件知=,=,·=2×3cos120°=-3, ∴·=(+)·=(+)· =(+-)· =(+·)· =(+)·(-) =·-||2+||2=-2. 11.(2013·湖南理,3)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( ) A.B. C.D. [答案] D [解析] 由=,得sinA=,∵△ABC为锐角三角形.∴A=. 12.(文)设F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,·的值为( ) A.0B.1 C.D.2 [答案] A [解析] 设P(x,y),F1(-,0),F2(,0), 则·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3. ∵△F1PF2的面积S=|||y|=·2·|y|=|y|=1, ∴y2=.由于点P在椭圆上, ∴+y2=1.∴x2=. ∴·=x2+y2-3=+-3=0.故选A. (理)(2013·内江市模拟)已知椭圆+=1(a>b>0),F(c,0)是右焦点,经过坐标原点O的直线l与椭圆交于点A、B,且·=0,|-|=2|-|,则该椭圆的离心率为( ) A.B. C.-1D.-1 [答案] D [解析] ∵|-|=||,|-|=||,且|-|=2|-|, ∴AB=2AF,∵·=0,∴FA⊥FB, ∴OF=OA=AF,∴A(,-c)在椭圆上, ∴+=1, ∴+=1,∴e2+=1, ∵0 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,将答案填写在题中横线上.) 13.(2013·北京西城一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且==.若c=10,则△ABC的面积是________. [答案] 24 [解析] 由=得acosA=bcosB, 由正弦定理得sin2A=sin2B, 由=知A≠B,∴2A=π-2B, ∴A+B=,∴C=, 又=,c=10,∴b=6,a=8,S=ab=24. 14.(文)(2013·北京东城区模拟)函数f(x)=sin(x-)的图象为C,有如下结论: ①图象C关于直线x=对称; ②图象C关于点(,0)对称; ③函数f(x)在区间[,]内是增函数. 其中正确的结论序号是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①②③ (理)(2013·江西八校联考)已知函数f(x)=cosxsinx,给出下列四个结论: ①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是2π; ③f(x)在区间[-,]上是增函数; ④f(x)的图象关于直线x=对称. 其中正确的结论是________. [答案] ③④ [解析] f(x)=sin2x最小正周期T=π,对称轴x=+,k∈Z,令k=1得x=;由2kπ-≤2x≤2kπ+得,kπ-≤x≤kπ+,取k=0知,f(x)在区间[-,]上为增函数,f(x)为奇函数,当x1=-x2时,有f(x1)=f(-x2)=-f(x2),但f(x1)=-f(x2)时,由周期性知不一定有x1=-x2,故正确选项为③④. 15.(2013·重庆一中月考)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于________. [答案] - [解析] AM=1,=2,∴||=,||=, ∴·(+)=· (2)=-2××=-. 16.(文)关于平面向量a、b、c,有下列四个命题: ①若a∥b,a≠0,则∃λ∈R,使b=λa; ②若a·b=0,则a=0或b=0; ③存在不全为零的实数λ,μ,使得c=λa+μb; ④若a·b=a·c,则a⊥(b-c). 其中正确的命题序号是________. [答案] ①④ [解析] 逐个判断.由向量共线定理知①正确;若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,所以②错误;在a,b能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数λ,μ使得c=λa+μb,所以③错误;若a·b=a·c,则a·(b-c)=0,所以a⊥(b-c),所以④正确.故正确命题序号是①④. (理)(2012·浙江宁波模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若A、B、C成等差数列,且b=1,则△ABC面积的最大值为________. [答案] [解析] 本题考查解三角形的相关知识.由题意得B=,根据余弦定理cosB==, ∴a2+c2-1=ac⇒a2+c2=1+ac≥2ac,∴ac≤1. S=acsinB=ac≤. 三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(文)(2013·天津六校联考)△ABC中,已知A=45°,cosB=. (1)求sinC的值; (2)若BC=10,D为AB的中点,求AB、CD的长. [解析] (1)∵三角形中,cosB=,所以B为锐角, ∴sinB= 所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =. (2)三角形ABC中,由正弦定理得=, ∴AB=14, 又D为AB中点,所以BD=7, 在三角形BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cosB=37,∴CD=. (理)设△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,cosB=,b=2. (1)当A=时,求a的值; (2)当△ABC面积为3时,求a+c的值. [解析] (1)∵B是△ABC的内角,且cosB=,(0 ∴sinB===. 由正弦定理得: =, ∴a===. (2)由题意得: S=acsinB, ∴ac=3,ac=10, 又由余弦定理得: b2=a2+c2-2accosB, ∴a2+c2-ac=b2,∴a2+c2=b2+ac=20, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=40, ∴a+c=2. 18.(本小题满分12分)(文)(2013·德阳市二诊)函数f(x)=sinωxcosφ-cosωxsinφ(ω>0,0<φ<π)的图象过点(,0),且相邻两条对称轴间的距离为. (1)求f(x)的表达式; (2)试求函数y=f2(x)+的单调增区间. [解析] (1)由题意y=sin(ωx-φ), ∵相邻两条对称轴间的距离为, ∴T=π=,∴ω=2, 故f(x)=sin(2x-φ), 又y=f(x)的图象过点(,0), ∴2×-φ=kπ,k∈Z, ∴φ=-kπ, 又0<φ<π,∴φ=, f(x)=sin(2x-). (2)y=f2(x)+=sin2(x-)+ =+=1-cos(2x-), 由2kπ≤2x-≤2kπ+π, 解之得kπ+≤x≤kπ+, ∴y=f2(x)+的增区间为[kπ+,kπ+],(k∈Z). (理)(2013·重庆一中月考)已知函数f(x)=sin(x+)+2sin2. (1)求f(x)的单调增区间; (2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=1,a=1,c=,求b的值. [解析] (1)f(x)=sin(x+)+2sin2=sinx+cosx+1-cosx=sinx-cosx+1=sin(x-)+1, 由2kπ-≤x-≤2kπ+得,2kπ-≤x≤2kπ+, ∴增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z). (2)∵f(A)=sin(A-)+1=1, ∴sin(A-)=0,∴A=, 由余弦定理得,12=b2+3-2b··, ∴b2-3b+2=0,∴b=1或b=2. 19.(本小题满分12分)(文)(2013·西城二模)已知函数f(x)=sinx+acosx的一个零点是. (1)求实数a的值; (2)设g(x)=[f(x)]2-2sin2x,求g(x)的单调递增区间. [解析] (1)依题意,得f()=0, ∴sin+acos=-=0, ∴a=1. (2)由 (1)得f(x)=sinx+cosx, ∴g(x)=[f(x)]2-2sin2x =(sinx+cosx)2-2sin2x =sin2x+cos2x=sin(2x+). 由2kπ-≤2x+≤2kπ+得, kπ-≤x≤kπ+,k∈Z ∴g(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (理)(2013·保定市一模)已知向量a=(sin,),b=(cos,-)(ω>0,x≥0),函数f(x)=a·b的第n(n∈N*)个零点记作xn(从左向右依次计数),则所有xn组成数列{xn}. (1)若ω=,求x2; (2)若函数f(x)的最小正周期为π,求数列{xn}的前100项和S100. [解析] f(x)=a·b=sincos-=sinωx-. (1)当ω=时,f(x)=sin(x)-, 令f(x)=0,得x=4kπ+或x=4kπ+(k∈Z,x≥0),取k=0,得x2=. (2)因为f(x)最小正周期为π,则ω=2,故f(x)=sin2x-, 令f(x)=0得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z,x≥0), 所以S100=(kπ+)+(kπ+)] =(2kπ+)=2π(0+1+2+…+49)+50× =50×49π+25π=2475π. 20.(本小题满分12分)(2013·江西八校联考)如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)证明: sinα+cos2β=0; (2)若AC=DC,求β. [解析] (1)证明: ∵AB=AD,∠ABC=β,∠CAD=α, ∴2β=+α, ∴sinα+cos2β=sinα+cos(+α)=sinα-sinα=0. (2)在△ABC中, ∵AC=DC,∴sinβ=sinα, ∴sinβ=sinα=-cos2β=2sin2β-. ∵β∈(0,),∴sinβ=, ∴β=. 21.(本小题满分12分)(2013·惠州质检)已知向量m=(1,cosA),n=(sinAcosB,sinB),m·n=sin2C,且A、B、C分别是△ABC的三边a、b、c所对的角. (1)求角C的大小; (2)设sinA、sinC、sinB成等比数列,且·(-)=8,求边c的值. [解析] (1)由题知,m·n=sinAcosB+sinBcosA =sin(A+B)=sin(π-C)=sinC. 又m·n=sin2C,∴sin2C=sinC, ∴sinC(2cosC-1)=0,∵0 ∴cosC=,∴C=. (2)∵sinA,sinC,sinB成等比数列, ∴sin2C=sinA·sinB. 根据正弦定理得,c2=ab. ∵·(-)=·=8,∴bacosC=8. ∴ab=16,∴c2=16,∴c=4. 22.(本小题满分14分)(文)(2013·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)图象上的任意两点,若|y1-y2|=2时,|x1-x2|的最小值为,且函数f(x)的图象经过点(0,). (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sinAsinC+cos2B=1,求f(B)的取值范围. [解析] (1)由题意知=,∴T=π, 又T=,∴ω=2, ∵f(0)=sinφ=且φ∈(0,),∴φ=, 从而f(x)=sin(2x+). (2)∵2sinAsinC+cos2B=1, ∴2sinAsinC=1-cos2B=2sin2B,即sinAsinC=sin2B, ∴ac=b2, 由cosB==≥=,得B∈(0,]. ∴2B+∈(,],从而f(B)=sin(2B+)的取值范围为[,1]. (理)(2013·江西八校联考)已知向量a=(sinωx,2cosωx),b=(cosωx,-cosωx)(ω>0),函数f(x)=a·(b+a)-1,且函数f(x)的最小正周期为. (1)求ω的值; (2)设△ABC的三边a、b、c满足: b2=ac,且边b所对的角为x,若方程f(x)=k有两个不同的实数解,求实数k的取值范围. [解析] (1)∵f(x)=a·(b+a)-1 =(sinωx,2cosωx)·(sinωx+cosωx,0)-1 =sin2ωx-cos2ωx- =sin(2ωx-)-. ∵T==,∴ω=2. (2)由 (1)知,f(x)=sin(4x-)-, ∵在△ABC中,cosx=≥=, ∴0 ∴f(x)=sin(4x-)-=k有两个不同的实数解时,k的取值范围是(-1,). 一、选择题 1.(文)(2013·天津十二区县联考)将函数y=cos(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式是( ) A.y=cos(-) B.y=cos(2x-) C.y=sin2xD.y=cos(-) [答案] D [解析] y=cos(x-)y=cos(x-)y=cos(-). (理)(2013·眉山市二诊)将函数y=cos(x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数的最小正周期为( ) A.πB.2π C.4πD.8π [答案] C [解析] y=cos(x+)y=cos(+)y=cos(+). ∴最小正周期为T==4π. 2.(文)已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,则a·b等于( ) A.-10B.-6 C.0D.6 [答案] A [解析] 由a∥b得2x=-4,x=-2,a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10,故选A. (理)(2012·河南豫北六校精英联考)已知向量a=(1,1-cosθ)且b=(1+cosθ,),a∥b,则锐角θ等于( ) A.30°B.45° C.60°D.75° [答案] B [解析] 本题主要考查向量平行的概念及特殊角的三角函数值.由两向量平行可得=1-cos2θ, ∴cosθ=±, 又θ为锐角,∴θ=45°,故选B. 3.在△ABC中,已知cosA=,sinB=,则cosC的值为( ) A.B. C.或D.-或 [答案] A [解析] 由cosA=>0得A为锐角,且sinA=,sinB=,sinA>sinB,因此B为锐角,于是cosB=,cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=,选A. 4.(文)(2013·大兴区模拟)函数f(x)=( ) A.在(-,)上递增 B.在(-,0]上递增,在(0,)上递减 C.在(-,)上递减 D.在(-,0]上递减,在(0,)上递增 [答案] D [解析] f(x)==∴选D. (理)函数f(x)=tan(-x)的单调递减区间为( ) A.(kπ-,kπ+),k∈Z B.(kπ-,kπ+),k∈Z C.(kπ-,kπ+),k∈Z D.(kπ,(k+1)π),k∈Z [答案] B [解析] f(x)=tan(-x)=-tan(x-), 所以f(x)的单调递减区间满足不等式 -+kπ -+kπ 5.(2013·江西八校联考)设f1(x)=cosx,定义fn+1(x)为fn(x)的导数,即fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)=0,则sinA的值是( ) A.1B. C.D. [答案] A [解析] f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,f5(x)=f4′(x)=cosx,…可见fn(x)关于n呈周期出现,周期为4.且f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴f1(A)+f2(A)+…+f2013(A)=503×0+f2013(A)=f1(A)=cosA=0, ∴sinA=1.故选A. 6.(2013·苍南求知中学月考)已知定义在R上的函数f(x)是周期为3的奇函数,当x∈(0,)时,f(x)=sinπx,则函数f(x)在区间[0,5]上的零点个数为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 [答案] D [解析] 由条件知,当x∈(-,)时,f(x)=sinπx. ∴f(-1)=f(0)=f (1)=0. 又f(x)的周期为3, ∴f (2)=f(3)=f(4)=f(5)=0. ∴f(x)在区间[0,5]上有6个零点. 7.函数y=sinx(3sinx+4cosx)(x∈R)的最大值为M,最小正周期为T,则有序数对(M,T)为( ) A.(5,π)B.(4,π) C.(-1,2π)D.(4,2π) [答案] B [解析] 依题意得y=3sin2x+2sin2x=+2sin2x=sin(2x-θ)+(其中tanθ=),所以M=4,T==π,结合各选项知,选B. 8.(文)若向量a、b满足a+b=(2,-1),a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( ) A.45°B.60° C.120°D.135° [答案] D [解析] 依题意得b=(a+b)-a=(1,-3). 设a、b的夹角为θ,则 cosθ===-. 又0°≤θ≤180°,因此θ=135°,选D. (理)(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知向量|a|=2,|b|=3,a、b的夹角为120°,那么|a-b|等于( ) A.19B. C.7D. [答案] B [解析] ∵|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=120°,∴a·b=|a|·|b|·cos120°=-3,∴|a-b|2=|a|2+|b|
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