组合与组合数公式doc.docx
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组合与组合数公式doc
组合与组合数公式
一、教学目标
1、正确理解组合与组合数的概念;
2、弄清组合与排列之间的关系;
3、会做组合数的简单运算
二、教学过程
1、问题情境
问题一:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
问题二:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
问题三:
从1、2、3三个数字中选两个数字,能组成多少个没有重复数字的两位数?
问题四:
从1、2、3三个数字中选两个数字,能构成多少个不同的集合?
2、新课讲解
组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)
个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合.
排列定义:
一般地说,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
共同点:
都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:
对于所取出的元素,排列要“按照一定的顺序
排成一列”,而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”.
排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关
想一想:
ab与ba是相同的排列还是相同的组合?
为什么?
两个相同的排列有什么特点?
两个相同的组合呢?
思考练习:
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
(2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备
多少种车票?
有多少种不同的火车票价?
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,
共有多少种分法?
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,
共需握手多少次?
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
如:
从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
如:
已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个
元素的所有组合.
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛,通过单循环决出冠亚军.
(1)列出所有各场比赛的双方;
(2)列出所有冠亚军的可能情况
组合数:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示
思考:
如何计算:
写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。
写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有排列.
所有的组合为:
所有的排列为:
组合数公式:
这里m、n
且m≤n,这个公式叫组合数公式.
它有以下三个特点:
(1)分子和分母都是m个连续正整数连乘;
(2)分子的第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1(3)分母的第一个因数是m,后面每一个因数比它前面一个因数少1,最后一个因数是1.
注意区别:
规定:
由组合数公式知:
3、数学应用
例1计算
(1)
(2)
(3)
例2:
求证:
组合数的两个重要性质
4、课堂小结
(1)组合定义,排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关
(2)组合数及组合数公式的运用。
5、作业布置
创新作业
组合
(2)
一、教学目标
1、正确理解排列与组合的异同;
2、熟练进行组合数的运算、化简;
3、能利用组合数的两个性质简化计算.
二、教学过程
1、复习回顾
组合定义:
一般地说,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合数公式:
组合数公式:
组合数的两个性质:
3、例题讲解
(一).简单组合问题
例1、在200件产品中,有2件次品,从中任取5件;
(1)“其中恰有2件次品”的抽法有多少种?
(2)“其中恰有1件次品”的抽法有多少种?
(3)“其中没有次品”的抽法有几种?
(4)“其中至少有1件次品”的抽法有多少种?
(二).有限制条件的组合问题
例2、按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?
(1)甲、乙、丙三人必须当选;
(2)甲、乙、丙三人不能当选;
(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;
(4)甲、乙、丙三人只有一人当选;
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;
(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
有限制条件的优先考虑
练习:
1、有13名医生,其中男医生7人,女医生6人,现抽出5人前往灾区,若至少2名男医生,至多3名女医生,则不同的选法总数
2、从4名男生和5名女生中选出5人组成一个小组,
(1)要求男生2名,女生3名,且某女生必须入选有多少种选法?
(2)要求男生不少于2名,有多少种选法?
(3)要求既有男生又有女生,有多少种选法?
(三).分组问题
例3:
六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?
(1)平均分给甲、乙、丙三人;
(2)平均分成三堆;
(3)分为三堆,一堆一本,一堆两本,一堆三本;
(4)分给甲、乙、丙三人,其中甲得一本,乙得两本,丙得三本;
(5)分给甲、乙、丙三人,其中一人一本,一人两本,一人三本.
分组问题注意是否均分
练习:
1.
(1)将四个不同的小球分给甲、乙两人,每人两个,有多少分法?
(2)将四个不同的小球分成两组,每组两个,有多少种分法?
(3)将四个小球分成两组,一组三个,一组一个,有多少分法?
(4)将四个小球分给甲乙两人,一人三个,一人一个,有多少分法?
2、有6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,一人得4本,其余两人各得1本,有多少种不同的分法?
3、将12个人分成2,2,2,3,3的5个组,则分组的种数是多少?
(四).先选后排
例4:
4个不同的球,4个不同的盒子,把
球全部放到盒子中;
(1)共有多少种放法?
(2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法?
(3)恰有一个盒内有两个球,有多少种放法?
(4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法?
(五).隔板法
例5:
把30个相同的球放入6个不同的盒子(盒子不能为空)有几种放法?
练习1:
从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
练习2:
马路上有编号为1,2,3,…10的10盏灯,为节约用电又不影响照明,现关掉其中的3盏灯,但不能同时关掉相邻的2盏或3盏,也不关掉两端的路灯,共有多少种不同的关灯方法?
练习3:
求方程x1+x2+x3+x4=7的正整数解的个数.
(六).元素交叉问题
例6:
某出版社的11名工人中,有5人只会排版,4人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从这11人中选出4人排版,4人印刷,有多少种不同的选法?
练习:
某歌舞团有10名演员,其中7名会唱歌,5名会跳舞,现在要从10名演员中选出3人,两人唱歌,一人跳舞,到农村演出,问有多少种选法?
(七).组合在几何中的应用
例:
圆周上有8个点,这8个点每两点的连线在圆内最多可有多少个交点?
例:
平面内有7个点,其中有3个点在一直线上,其余任何3点都不在一直线上,由这7个点能确定多少条不同的直线?
能确定多少个三角形?
练习:
1.四面体的一个顶点为A,从其余各点和各棱的中点中取3个点,使它们和点A在同一平面内,有多少种不同的取法?
2.平面内有9个点,其中4个点在一条直线上,此外没有3个点在一条直线上,过这9个点可以作多少个三角形?
(八).定序排列问题
例8:
某车队有7辆车,现要调出4辆车按一定的顺序去执行任务,要求甲车,乙车必须参加,且甲车在乙车前开出,那么有多少种不同的调度方法?
练习:
1.有3名男生,4名女生排成一行,其中甲,乙,丙三位同学按自左至右的顺序保持不变,求不同的排列方法数.
2.6人排成两排,每排3人,假定每人的身高都不同,要求后排的人比前排相对应的人个子高,共有多少种排法?
3.4男4女共8人从左到右排成一排,要求男生从矮到高排列,女生由高到矮排列(假定男女生的身高各不相同),共有多少种排法?
3、组合应用小结
一、简单组合问题
二、有限制条件的组合问题
三、分组问题
四、先组后排
五、隔板法
六、元素交叉问题
七、几何问题
八、定序排列问题
4、作业:
创新作业
排列组合的综合问题
一、主要内容
较复杂的排列组合问题的求解思路。
二、教学目标
1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。
组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去,集合中的元素是无序的。
较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。
必须完成所有的分组再排列,不能边分组边排列。
排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。
弄清问题的实质,适当的分类,合理的分步是解决这个错误的关键,采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。
2、排列组合的常见模型有“捆绑法”、“插空法”、错位法“、”分组分配“等。
集合是常用的工具之一。
为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手,通过画格子,画树图等帮助理解。
“正难则反”是处理问题常用的策略。
三、典型例题
例1、高二
(1)班有30名男生,20名女生,从50名学生中3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员,共有多少种不同的选法。
例2、2名女生、4名男生排成一排,问:
(1)2名女生相邻的不同排法共有多少种?
(2)2名女生不相邻的不同的排法共有多少种?
(3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种?
例3、从0,1,2,…,9这10个数字中选出5个不同的数字组成5位数,其中大于13000的共有多少个?
例4、有6本不同的书,按下列方式分配,分别有多少种分配方式?
(1).按一组1本,一组2本,一组3本分成三组;
(2).按一人1本,一人2本,一人3本分成甲、乙、丙三人;
(3).均分成三组;
(4).均分成甲、乙、丙三人。
例5、有9名同学排成两行,第一行4人,第二行5人,其中甲必须站在第一行,乙、丙必须站在第二行,问有多少种不同的排法?
例6、将4个不同的球放入4个不同的盆子内
(1)共有几种放法?
(2)恰有一个盆子未放球,共几种放法?
(3)恰有一个盆子内有2球,共几种放法?
(4)恰有两个盆子内未放球,共有几种放法?
例7、现有印有0,1,3,5,7,9六个数字的六张照片,如果允许9可以作6使用,那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数(首位数不为零)。
例8、用0,1,2,3,4五个数字组成各位数字不重复的五位数,若按由小到大排列,试问:
(1)42130是第几个数?
(2)第60个数是什么?
例9、5个成年人,2个小孩,排成一排,两头都是成年人,每个小孩两边都是成年人,且其母女俩一定要相邻的排法有多少种?
例10、在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的种植方法共有多少种?
例11、由-1,0,1,2,3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=ax2+bx+c的系数。
(1)开口向上的抛物线有几条?
(2)开口向下的抛物线有几条?
(3)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?
(4)与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条?
(5)与x轴负轴至少有一个交点的抛物线有多少条?
同步练习
(一)填空题
11、从1到9这9个数字中任选3个排成没有重复数字的三位数,要求个位上的数字大于十位上的数字,这样的三位数共有__________个。
12、从5个男乒乓球运动员和4个女乒乓球运动员中选出2男、2女进行乒乓球混合双打,则不同的分组方法有__________种。
13、某班有同学30人,暑假时约定互通一封信,互通一次电话,则共写信________封,共打电话________次。
14、由6,7,8,9,0这五个数字组成没有重复数字的五位数,按从小到大的顺序排列,那么67890是这个数列的第________项。
15、有编号为1,2,3,…,10的10只灯,为了节约用电,可以将其中三只大灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,则满足条件的关灯方法有________种。
(二)
解答题
16、某产品有4只次品,6只正品,每只产品均不同且可区分,若每次取出一只测试,直到4只次品全部测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况共有多少种?
17、图为某市A及四郊B、C、D、E的区域地图,现有五种颜色,每区域只能用一种颜色涂,问有多少种不同的涂色方法,使每相邻两块不同颜色?
18、6项不同的工程,由4个工程队分别承包,每个工程队至少承包一项,且6项工程全部被承包,则不同的承包方式共有多少种?
19、从6种小麦品种中选出4种,分别种植在不同土质的4块土地上进行试验,已知1号、2号小麦品种不能在试验田甲上种植,则共有多少种不同的种植方案?
20、有翻译8人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余3人既会英语又会日语,现从中选6人,安排3人翻译英语,3人翻译日语,则不同的安排方法有多少种?
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