函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割之欧阳育创编.docx
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函数名正弦余弦正切余切正割余割之欧阳育创编
函数名正弦余弦正切余切正割余割
时间:
2021.02.04
创作:
欧阳育
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有
正弦函数sinθ=y/r
余弦函数cosθ=x/r
正切函数tanθ=y/x
余切函数cotθ=x/y
正割函数secθ=r/x
余割函数cscθ=r/y
(斜边为r,对边为y,邻边为x。
)
以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:
正矢函数versinθ=1cosθ
余矢函数coversθ=1sinθ
正弦(sin):
角α的对边比上斜边
余弦(cos):
角α的邻边比上斜边
正切(tan):
角α的对边比上邻边
余切(cot):
角α的邻边比上对边
正割(sec):
角α的斜边比上邻边
余割(csc):
角α的斜边比上对边
[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式:
·平方关系:
sin²(α)+cos²(α)=1cos²(a)=(1+cos2a)/2
tan²(α)+1=sec²(α)sin²(a)=(1cos2a)/2
cot²(α)+1=csc²(α)
·积的关系:
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβsinα·sinβ
cos(αβ)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1tanα·tanβ)
tan(αβ)=(tanαtanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数:
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγsinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγcosα·sinβ·sinγsinα·cosβ·sinγsinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγtanα·tanβ·tanγ)/(1tanα·tanβtanβ·tanγtanγ·tanα)
·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t),其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(αt),tant=A/B
·倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)sin²(α)=2cos²(α)1=12sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1tan²(α)]
·三倍角公式:
sin(3α)=3sinα4sin³(α)
cos(3α)=4cos³(α)3cosα
·半角公式:
sin(α/2)=±√((1cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1cosα)/sinα
·降幂公式
sin²(α)=(1cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1tan²(α/2)]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(αβ)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)sin(αβ)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(αβ)]
sinα·sinβ=(1/2)[cos(α+β)cos(αβ)]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(αβ)/2]
sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(αβ)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(αβ)/2]
cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]sin[(αβ)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanαcotα=2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1cos2α=2sin²α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
·其他:
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n1)/n]=0以及
sin²(α)+sin²(α2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanBtan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1)x+sinnxsinx]/2sinx
证明:
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x0+sin3xsinx+sin4xsin2x+...+sinnxsin(n2)x+sin(n+1)xsin(n1)x]/2sinx(积化和差)
=[sin(n+1)x+sinnxsinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx=[cos(n+1)x+cosnxcosx1]/2sinx
证明:
左边=2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(2sinx)
=[cos2xcos0+cos3xcosx+...+cosnxcos(n2)x+cos(n+1)xcos(n1)x]/(2sinx)
=[cos(n+1)x+cosnxcosx1]/2sinx=右边
等式得证
[编辑本段]三角函数的诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到πα与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2πα与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
[编辑本段]正余弦定理
正弦定理是指在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^22bccosA
角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sinA=角A的对边/斜边
斜边与邻边夹角a
sin=y/r
无论y>x或y≤x
无论a多大多小可以任意大小
正弦的最大值为1最小值为
[编辑本段]部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得):
sinx=[e^(ix)e^(ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(ix)]/2
tanx=[e^(ix)e^(ix)]/[ie^(ix)+ie^(ix)]
泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!
+z^2/2!
+z^3/3!
+z^4/4!
+…+z^n/n!
+…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解:
对于微分方程组y=y'';y=y'''',有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。
补充:
由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。
特殊角的三角函数:
角度a0°30°45°60°90°120°180°
1.sina01/2√2/2√3/21√3/20
2.cosa1√3/2√2/21/201/21
3.tana0√3/31√3无限大√30
4.cota/√31√3/30√3/3/
[编辑本段]三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)
c0+c1(xa)+c2(xa)2+...+cn(xa)n+...=∑cn(xa)n(n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!
*(xa)+f''(a)/2!
*(xa)2+...f(n)(a)/n!
*(xa)n+...
实用幂级数:
ex=1+x+x2/2!
+x3/3!
+...+xn/n!
+...
ln(1+x)=xx2/3+x3/3...
(1)k1*xk/k+...(|x|<1)
sinx=xx3/3!
+x5/5!
...
(1)k1*x2k1/(2k1)!
+...(∞ cosx=1x2/2! +x4/4! ... (1)k*x2k/(2k)! +...(∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1) arccosx=π(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1) arctanx=xx^3/3+x^5/5...(x≤1) sinhx=x+x3/3! +x5/5! +... (1)k1*x2k1/(2k1)! +...(∞ coshx=1+x2/2! +x4/4! +... (1)k*x2k/(2k)! +...(∞ arcsinhx=x1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5...(|x|<1) arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1) 在解初等三角函数时,只需记住公式便可轻松作答,在竞赛中,往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..π)(f(x))dx an=1/π∫(π..π)(f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..π)(f(x)sinnx)dx 三角函数的数值符号 正弦第一,二象限为正,第三,四象限为负 余弦第一,四象限为正第二,三象限为负 正切第一,三象限为正第二,四象限为负 [编辑本段]三角函数定义域和值域 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔1,1〕 tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R [编辑本段]初等三角函数导数 y=sinxy'=cosx y=cosxy'=sinx y=tanxy'=1/(cosx)²=(secx)² y=cotxy'=1/(sinx)²=(cscx)² y=secxy'=secxtanx y=cscxy'=cscxcotx y=arcsinxy'=1/√1x² y=arccosxy'=1/√1x² y=arctanxy'=1/(1+x²) y=arccotxy'=1/(1+x²) [编辑本段]反三角函数 三角函数的反函数,是多值函数。 它们是反正弦Arcsinx,反余弦Arccosx,反正切Arctanx,反余切Arccotx,反正割Arcsecx=1/cosx,反余割Arccscx=1/sinx等,各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。 为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值y限在y=π/2≤y≤π/2,将y为反正弦函数的主值,记为y=arcsinx;相应地,反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctanx的主值限在π/2 反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求,其图像与其原函数关于函数y=x对称。 其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数,而不是f1(x). 反三角函数主要是三个: y=arcsin(x),定义域[1,1],值域[π/2,π/2],图象用红色线条; y=arccos(x),定义域[1,1],值域[0,π],图象用兰色线条; y=arctan(x),定义域(∞,+∞),值域(π/2,π/2),图象用绿色线条; sinarcsin(x)=x,定义域[1,1],值域【π/2,π/2】 证明方法如下: 设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代如上式即可得 其他几个用类似方法可得。 时间: 2021.02.04 创作: 欧阳育
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