第十三讲简单的统筹规划问题.docx
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第十三讲简单的统筹规划问题
第十三讲简单的统筹规划问题
这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。
例1某工地A有20辆卡车,要把60车渣土从A运到B,把40车砖从C运到D(工地道路图如下所示)。
问如何调运最省汽油?
分析把渣土从A运到B或把砖从C运到D,都无法节省汽油,只有设法减少跑空车的距离,才能省汽油。
解:
如果各派10辆车分别运渣土和砖,那么每运一车渣土要空车跑回300米,每运一车砖则要空车跑回360米,这样到完成任务总共空车跑了:
300×60+360×40=32400(米)
如果一辆从从A→B→C→D→A跑一圈,那么每运一车渣土,运一车砖要空车跑:
240+90=330(米);
因此,先派20辆车都从A开始运渣土到B,再空车开往C运砖到D后空车返回A,这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务。
然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A,则运渣土任务也完成了。
这时总共空车跑了:
330×40+300×20=19200(米)
后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米,这是最佳节油的调运方案。
说明:
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则,下面通过例子再介绍“避免对流”的原则。
例2一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地,人数如下图所示。
为调整使各基地人数相同,如何调动最方便?
(调动时不考虑路程远近)
分析在人员调动时不考虑路程远近的因素,就只需避免两个基地之间相互调整,即“避免对流现象”。
解:
五个基地人员总数为
17+4+16+14+9=60(人)
依题意,调整后每个基地应各有
60÷5=12(人)
因此,需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人。
为了避免对流,经试验容易得到调整方案如下:
先从D调2人到E,这样E尚缺1人;再由A调1人给E,则E达到要求。
此时,A尚多余4人,C也多余4人,总共8人全部调到B,则B亦符合要求。
调动示意图如下所示,这样的图形叫做物资流向图。
用流向图代替调运方案,能直观地看出调运状况及有无对流现象,又可避免列表和计算的麻烦。
图中箭头表示流向,箭杆上的数字表示流量。
说明:
发生对流的调运方案不可能是最优方案,这个原则可以证明:
如上图,设A1、B2=a千米,B2B1=b千米,B1A2=c千米。
如果从A1运1吨货物到B1,同时又从A2运1吨货物到B2,那么在B1B2之间A1的物资从西向东运输,A2的货物从东向西运输,两者发生对流,于是这样调动的总吨千米数为:
(a+b)+(b+c)=a+c+2b.
而如果从A1运1吨货物到B2,同时从A2运1吨货物到B1,则运输总吨千米数为a+c,显然
a+c<a+c+2b.
例3在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如下图左),共有5个仓库。
一号仓库存有10吨货物,二号仓库有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费,那么最少要多少运费才行?
分析欲使花费的运输费最少,关键在于运输的货物和路程尽可能少。
实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠”。
下面就以两地调运问题为例加以计算验证:
如上图右,在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子,问打麦场建在何处运费最少?
设打麦场建在C点,则总运费是(假定每吨小麦运输1千米的费用是a元):
W=10×a×AC+15×a×BC
=10a×AC+10a×BC+5a×BC
=10a×AB+5a×BC
上式中10a×AB是固定的值,不随C点的选取而改变;只有5a×BC随BC的变化而改变,若BC越小,则W也越小。
当BC=0时,即C点与B点重合时,W的值最小。
因此打麦场建在B点时总运费是10a×AB(元)最少。
显然当打麦场建在AB线段之外时,总运费都大于10a×AB(元)。
解:
根据“小往大处靠”的原则,先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中,需运费:
10×0.5×100=500(元)
这时可以认为二号仓库有30吨货物,而五号仓库有40吨货物,于是又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中,需运费:
30×0.5×300=4500(元)
所以,把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少,需要500+4500=5000(元)。
说明:
“小往大处靠”的原则也不是一成不变的,具体问题还要具体分析。
再举两例如下:
例如一号仓库有20吨货物,二号仓库有30吨货物,其他仓库存货照样如前,那么应该往哪个仓库集中呢?
首先仍应把一号仓库的20吨货物运往二号仓库集中,然后再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中,这样运费最少。
又如一号仓库有30吨货物,二号仓库有20吨货物,其他仓库存货仍然如前,那么应该往哪个仓库集中呢?
先把一号仓库的30吨货物运往二号仓库集中,再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中,这样运费最省。
(想想为什么?
)
还有一点值得注意,在决定货物往何处集中时,起决定作用的是货物的重量,至于距离仅仅是为了计算运费。
如果把本题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值,仍应该把货物集中到五号仓库。
本题可以推广为一般命题:
“在一条公路上有n个仓库,它们分别存货a1吨、a2吨、…、an吨,现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里,应该选取哪个仓库可以使总运输费最少?
”它的解法将涉及到一次函数的知识,同学们在学过初三代数之后就会完全明白了。
例4189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸,如果剪法最省材料?
分析显然无残料的剪法是最优方案,于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。
解:
设4米长的剪x根,7米长的剪y根,依题意列方程
4x+7y=189
根据倍数分析法可知
7︱x(即x是7的倍数)
令x1=0,则7y=189,解出y1=27;
x2=7,则7y=161,解出y2=23;
x3=14,则7y=133,解出y3=19;
x4=21,则7y=105,解出y4=15;
x5=28,则7y=77,解出y5=11;
x6=35,则7y=49,解出y6=7;
x7=42,则7y=21,解出y7=3。
因此,有七种剪法都是最省材料的。
说明:
本例是最简单的下料问题,属于“线性规划”的范畴。
线性规划是运用一次方程(组)、一次函数来解决规划问题的数学分支,规划论研究的问题主要有两类:
一类是确定了一项任务,研究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它;另一类是在已有一定的人力、物力和财力的条件下,研究怎样合理调配,使它们发挥最大限度的作用,从而完成最多的任务。
例5用10尺长的竹竿做原材料,来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根,至少要用去原材料几根?
怎么截法最合算?
分析不难想到有三种截法省料:
截法1:
截成3尺、3尺、4尺三段,无残料;
截法2:
截成3尺、3尺、3尺三段,残料1尺;
截法3:
截成4尺、4尺两段,残料2尺。
由于截法1最理想(无残料),因此应该充分应用截法1。
考虑用原材料50根,可以截成100根3尺长的短竹竿,而4尺长的仅有50根,还差50根。
于是再应该截法3,截原料25根,可以得到4尺长的短竹竿50根,留下残料:
2×25=50(尺)
解:
至少要用75根原材料,其中50根用截法1,25根用截法3,这样的截法最省料。
说明:
一般说来,一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题,用本例的方法求解是比较省料的。
这种解法的理论根要用到二元不等式及一次函数图像,有兴趣的读者可参阅有关书刊。
例6甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服,甲厂每月用
的时间生产上衣,
的时间生产裤子,全月恰好生产900套西服;乙厂每月用
的时间生产上衣,
的时间生产裤子,全月恰好生产1200套西服。
现在两厂联合生产,尽量发挥各自特长多生产西服,那么现在每月比过去多生产西服多少套?
分析根据已知条件,甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间比为2:
3,因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比也是2:
3(注意:
在固定时间内,数量与每件所用时间成反比);同理可知,在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3:
4。
由于
>
,所以甲厂善于生产裤子,乙厂善于生产上衣。
下面简单说明理由:
如果甲厂生产9条裤子,则相当甲厂生产6件上衣;如果让乙厂生产这6件上衣,则相当于生产8条裤子。
这就是说,甲厂生产9条裤子时乙厂只能生产8条裤子。
显然甲厂善于生产裤子。
类似地,如果乙厂生产9件上衣,则相当于乙厂生产12条裤子;如果让甲厂生产这12条裤子,则相当甲厂生产8件上衣。
这就是说,乙厂生产9件上衣时甲厂只能生产8件上衣。
显然乙厂善于生产上衣。
解:
两厂联合生产,尽量发挥各自特长,安排乙厂全力生产上衣。
由于乙厂用
月生产1200件上衣,那么乙厂全月可生产上衣:
1200÷
=2100(件)
同时,安排甲厂全力生产裤子,则甲厂全月可生产裤子:
900÷
=2250(条)
为了配套生产,甲厂先全力生产2100条裤子,这需要:
2100÷2250=
(月)
然后甲厂再用
月单独生产西服:
900×
=60(套)
于是,现在联合生产每月比过去多生产西服:
(2100+60)-(900+1200)=60(套)
说明:
本例是线性规划中劳力组合问题。
劳力组合最简单的情况就是效率比问题,这里给出多种劳力(或机械)干两种配套活的一般分工原则:
设甲生产A产品与B产品的数量比为
,乙生产A产品与B产品的数量比为
。
如果
>
,则甲善于生产A产品,乙善于生产B产品。
习题十三
1,某乡共有六块甘蔗地,每块地的产量如下图所示。
现在准备建设一座糖厂,问糖厂建于何处总运费最省?
2,产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上,位置如下图所示。
已知A1、A2、A3的产量分别为5吨、3吨、2吨;B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨。
试求出使运输吨公里数最小的调运方案。
3,把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋,如何截法最省材料?
4,钢筋原材料每件长7.3米,每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段。
现在需要绑好钢筋架子100套,至少要用去原材料几件?
截料方法怎样最省?
5,某车间有铣床3台,车床3台,自动机床1台,生产一种由甲、乙两个零件组成的产品,每台铣床每天生产甲零件10个,或者生产乙零件20个;每台车床每天生产甲零件20个,或者生产乙零件30个;每台自动机床每天生产甲零件30个,或者生产乙零件80个。
如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产品?
每天最多可生产多少套产品?
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