数学题 2.docx
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数学题 2.docx
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数学题2
1.如图,在四棱锥P−ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(Ⅰ)PA⊥底面ABCD;(Ⅱ)BE∥平面PAD;(Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD.
2.如图,三棱柱ABC−A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点。
(Ⅰ)证明:
EF∥平面A1CD;(Ⅱ)证明:
平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值。
3.如图,正三棱锥O−ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积。
∵
4.如图,AB是圆O的直径,PA⊥圆O所在的平面,C是圆O上的点。
(1)求证:
BC⊥平面PAC;
(2)若Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:
QG∥平面PBC.
5.如图,在三棱锥S−ABC中,平面SAB⊥平面SBC,
AB⊥BC,AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点。
求证:
(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA
6.(2013浙江)20.(文20)(本题满分15分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA 平面 ABCD ,
AB = BC =2, AD = CD =
, PA =
,∠ ABC =120°, G 为线段 PC 上的点.
(1)证明:
BD ⊥平面 APC ;
(2)若 G 为 PC 的中点,求 DG 与平面 APC 所成的角的正切值;
(3)若 G 满足 PC ⊥平面 BGD ,求
的值.
7.如图.在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.
(1)证明:
AD⊥C1E;
(2)当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三棱锥C1-A1B1E的体积.
8.如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A−BCF,其中BC=2√2.
(1)证明:
DE∥平面BCF;
(2)证明:
CF⊥平面ABF;
(3)当AD=23时,求三棱锥F−DEG的体积VF−DEG.
9.如图,四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60∘,已知PB=PD=2,PA=√.6
10.如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AB∥CD,AD⊥AB,AB=2,AD=2√,AA1=3,
E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1)证明:
BE⊥平面BB1C1C;
(2)求点B1到平面EA1C1 的距离。
11.如图,在三棱柱ABC−A1B1C中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120∘,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点。
(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1−QC1D的体积.(锥体体积公式:
V=13Sh,其中S为底面面积,h为高)
12.如图,四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=23√,BC=CD=2,∠ACB=∠ACD=π3.
(Ⅰ)求证:
BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P−BDF的体积。
13.如图,四棱锥P−ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点。
(Ⅰ)求证:
CE∥平面PAD
(Ⅱ)求证:
平面EFG⊥平面EMN.
15.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量AD⃗的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M为PA的中点,求证:
DM∥平面PBC;(3)求三棱锥D-PBC的体积.
.
16如图,四棱锥P−ABCD中,∠ABC=∠BAD=90∘,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形。
(Ⅰ)证明:
PB⊥CD;(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离。
14.如图, 四棱柱ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 的底面ABCD 是正方形,O 为底面中心,
A 1 O⊥ 平面ABCD,AB=AA 1 = √ . 2
( Ⅰ) 证明:
平面A 1 BD ∥平面CD 1 B 1 ;
( Ⅱ) 求三棱柱ABD−A 1 B 1 D 1 的体积。
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