高中数学4231直线与圆的方程的应用 新人教A版必修2.docx

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高中数学4231直线与圆的方程的应用新人教A版必修2

2019-2020年高中数学4.2.3-1直线与圆的方程的应用新人教A版必修2

【教学目标】

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

【教学重难点】

教学重点：

直线的知识以及圆的知识

教学难点：

用坐标法解决平面几何.

【教学过程】

一、复习准备：

（1）直线方程有几种形式?

分别为什么?

（2）圆的方程有几种形式?

分别是哪些?

（3）求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?

什么条件下用一般方程?

（4）直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

（5）如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

（6）如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?

二、讲授新课：

提出问题、自主探究

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：

圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：

支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．

方法一：

在中R2=422+（R-15）2可求出半径R，而在中，

∴，从而可求得长度。

能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？

方法二：

先求圆的方程，再把求长度看成的纵坐标。

首先应建立坐标系。

如何建系？

四种不同的建系方案：

分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。

归纳总结、巩固步骤

总结解决应用问题的步骤：

（1）审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；

（2）建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；

（3）解模----求解数学问题，得出数学结论；

（4）还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．

流程图：

实际问题数学问题数学结论实际问题结论

（审题）（建模）（解模）（还原）

变式训练：

某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。

有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？

当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

深入讨论、提炼思想

在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。

这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。

（1）.

思路：

把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.

对于一般情形，这个结论正确吗？

作如下猜想：

“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？

证明：

（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，

∵∠3=∠4∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2

∵∠5=∠1+∠7，∠6=∠2+∠7∴∠5=∠6①

又∵∠ACF=900且∠CHD=900∴CF∥BD②

由①②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD|又∵|FD|=2|PE|∴|BC|=2|PE|

用“建系”这一新工具尝试

证明：

（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，.

用勾股定理，，其中为中点；

先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。

设圆方程为（x-m）2+（y-n）2=r2，考虑到圆与轴交于、两点，令y=0，得关于的一元二次方程x2-2mx+（m2+n2-r2）=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标，同理可得圆心的纵坐标。

应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。

过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的坐标。

变式练习：

设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；

（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；

（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。

．．．．．．

课堂小结：

（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；

（2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；

（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。

用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：

建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：

通过代数运算，解决代数问题；

第三步：

把代数运算结果“翻译”成几何结论；

【板书设计】

一、指数函数

1．定义

2.图像

3.性质

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】

习题4.2B组的2、3、4题

４.２.３直线与圆的方程的应用导学案

（一）

课前预习学案

一、预习目标：

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

二、预习内容：

（1）直线方程有几种形式?

分别为什么?

（2）圆的方程有几种形式?

分别是哪些?

（3）求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?

什么条件下用一般方程?

（4）直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

（5）如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

（6）如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?

三、提出疑惑

1、；

2、；

3、。

课内探究学案

一、学习目标：

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

学习重难点：

直线的知识以及圆的知识

二、讲授新课：

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：

圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：

支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．

变式训练：

某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。

有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？

当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。

（1）.

思路：

把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.

对于一般情形，这个结论正确吗？

作如下猜想：

“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？

变式练习：

设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

当堂检测:

1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：

A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．

2.已知：

长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

3.写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．

课后练习与提高

1．圆上的点到直线的距离最大值是（）

ABCD

2将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（　　）

A　B　C　D

3在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（）

A条B条C条D条

４已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________

5已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________

2019-2020年高中数学4.2.3-1直线与圆的方程的应用教案新人教A版必修2

【教学目标】

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

【教学重难点】

教学重点：

直线的知识以及圆的知识

教学难点：

用坐标法解决平面几何.

【教学过程】

一、复习准备：

（2）直线方程有几种形式?

分别为什么?

（2）圆的方程有几种形式?

分别是哪些?

（3）求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?

什么条件下用一般方程?

（4）直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

（5）如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

（6）如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?

二、讲授新课：

提出问题、自主探究

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：

圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：

支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．

方法一：

在中R2=422+（R-15）2可求出半径R，而在中，

∴，从而可求得长度。

能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？

方法二：

先求圆的方程，再把求长度看成的纵坐标。

首先应建立坐标系。

如何建系？

四种不同的建系方案：

分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。

归纳总结、巩固步骤

总结解决应用问题的步骤：

（1）审题----分清条件和结论，将实际问题数学化；

（2）建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；

（3）解模----求解数学问题，得出数学结论；

（4）还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题．

流程图：

实际问题数学问题数学结论实际问题结论

（审题）（建模）（解模）（还原）

变式训练：

某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。

有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？

当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

深入讨论、提炼思想

在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何中的计算。

这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”，再看下例：

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。

（1）.

思路：

把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.

对于一般情形，这个结论正确吗？

作如下猜想：

“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？

证明：

（平面几何法）连接AP并延长交圆P于点F，连接DF，CF，

∵∠3=∠4∴在Rt⊿ADF和Rt⊿AHB中∠1=∠2

∵∠5=∠1+∠7，∠6=∠2+∠7∴∠5=∠6①

又∵∠ACF=900且∠CHD=900∴CF∥BD②

由①②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD|又∵|FD|=2|PE|∴|BC|=2|PE|

用“建系”这一新工具尝试

证明：

（解析几何法）以AC，BD交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，，，.

用勾股定理，，其中为中点；

先求出圆心P的坐标及直线AD的方程，然后用点到直线距离公式求PE的长；先求出圆心P与点E的坐标，再用两点间距离公式求PE的长。

设圆方程为（x-m）2+（y-n）2=r2，考虑到圆与轴交于、两点，令y=0，得关于的一元二次方程x2-2mx+（m2+n2-r2）=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标，同理可得圆心的纵坐标。

应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。

过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出圆心的坐标。

变式练习：

设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

（1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对边的平方和等于另一组对边的平方和；

（2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对角线之积等于两组对边之积的和；

（3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。

．．．．．．

课堂小结：

（1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用；

（2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原；

（3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题，达到数形结合的一种完美境界。

用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：

建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：

通过代数运算，解决代数问题；

第三步：

把代数运算结果“翻译”成几何结论；

【板书设计】

一、指数函数

1．定义

2.图像

3.性质

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

【作业布置】

习题4.2B组的2、3、4题

４.２.３直线与圆的方程的应用导学案

（一）

课前预习学案

一、预习目标：

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

二、预习内容：

（1）直线方程有几种形式?

分别为什么?

（2）圆的方程有几种形式?

分别是哪些?

（3）求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?

什么条件下用一般方程?

（4）直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?

（5）如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？

（6）如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系?

三、提出疑惑

4、；

5、；

6、。

课内探究学案

一、学习目标：

利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题

学习重难点：

直线的知识以及圆的知识

二、讲授新课：

例1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：

圆拱跨度AB＝84米，拱高A6P6=15米，在建造时每隔7米需用一个支柱支撑，求：

支柱A3P3的长度（精确到0.01米）．

变式训练：

某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米。

有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否通过？

当卸完货返航时，船水面以上高3.9米，此时能否通过？

例2、已知内接于圆P的四边形ABCD的对角线互相垂直，于，探求线段与的数量关系。

（1）.

思路：

把四边形特殊化，看成正方形，那么圆心与正方形的中心重合，此时.

对于一般情形，这个结论正确吗？

作如下猜想：

“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以证明？

变式练习：

设为的中点，则，如何用代数方法证明这一结论呢？

还能有什么其他发现？

当堂检测:

1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：

A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．

2.已知：

长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．

3.写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．

课后练习与提高

1．圆上的点到直线的距离最大值是（）

ABCD

2将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（　　）

A　B　C　D

3在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（）

A条B条C条D条

４已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________

5已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________

参考答案：

1-3BAB4.55.