八年级数学第19章全等三角形的小结与复习华东师大版知识精讲.docx

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八年级数学第19章全等三角形的小结与复习华东师大版知识精讲

初二数学第19章全等三角形的小结与复习华东师大版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

第19章全等三角形的小结与复习

二.重点、难点：

1.重点：

⑴研究命题、定理的条件与结论，以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系；

⑵熟练掌握全等三角形的判定方法：

（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.），并灵活应用；

⑶认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作图；

⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用.

2.难点：

⑴灵活运用（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.）这些全等判定方法，解决各种问题．

⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学推理的能力．

三.知识梳理：

（一）本章知识框架图：

（二）本章知识回顾：

1.命题

⑴命题的概念：

可以判断正确或错误的句子．命题必是判断句，与句子是否正确无关．

正确的命题称为真命题．包括公理和定理等．

错误的命题称为假命题．只要能举出一个反例就能说明是假命题．

⑵命题的组成：

许多命题常由题设（或已知条件）和结论两部分组成；命题常可写成“如果……，那么……”的形式．“如果”开始的部分就是题设，“那么”开始的部分就是结论．

2.公理、定理

⑴公理：

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．

⑵定理：

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．

3.逆命题与逆定理：

⑴逆命题：

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．

每个命题都有逆命题．

⑵逆定理：

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．

4.三角形全等的识别方法：

识别方法

条件

注意

边边边（SSS）

三边对应相等

三边分别对应相等

边角边（SAS）

两边及其夹角对应相等

必须是两边夹一角，不能是两边对一角

角边角（ASA）

两角及其夹边对应相等

这两个条件常结合起来用，但不能理解为两角及任意一边

角角边（AAS）

两角及其中一角的对边对应相等

斜边、直角边（HL）

直角三角形斜边和一直角边对应相等

这是直角三角形全等的特殊识别方法

注意：

SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的条件．

5.判定全等思路：

条件

方法

思路

知两边

找一边

SSS

找夹角

SAS

知两角

找夹边

ASA

找其中一角的对边

AAS

知一角一边

一边和邻角

找边的另一邻角

ASA

找边的对角

AAS

找角的另一邻边

SAS

一边和对角

找另一角

AAS

6.尺规作图：

我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．

7.基本作图内容：

⑴画一条线段等于已知线段；

⑵画一个角等于已知角；

⑶经过一点画已知直线的垂线；

⑷画已知线段的垂直平分线；

⑸平分已知角．

8.本节中的定理：

⑴等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．

⑵勾股定理及逆定理：

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

勾股定理的逆定理：

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．

⑶角平分线有关定理

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

角平分线的性质定理的逆命题：

到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；

内心：

三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．

⑷线段垂直平分线有关定理：

定理：

线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

定理的逆命题：

到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；

三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．

【典型例题】

例⒈写出下列命题的逆命题，并判断真假．

（1）同位角相等，两直线平行．

（2）如果x＝3，那么x

＝9．

（3）如果△ABC≌△A’B’C’，那么BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’．

（4）如果△ABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，△ABC的三个外角中只有两个钝角．

思维诊断

（1）每一个命题都有

逆命题，但原命题是真命

题，而它的逆命题不一定是真命题；

（2）每一个定理不一

定有逆思维诊断

（1）每一个命题都有

逆命题，但原命题是真命

题，而它的逆命题不一定是真命题；

（2）每一个定理不一

思维诊断

（1）每一个命题都有

逆命题，但原命题是真命

题，而它的逆命题不一定是真命题；

（2）每一个定理不一

分析：

（1）每一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题

（2）每一个定理不一定有逆定理．

解答：

（1）逆命题是：

两直线平行，同位角相等．真命题．

（2）逆命题是：

如果x

＝9，则x＝3．它是一个假命题．由x

＝9可知，除x＝3外，还有x＝－3．

（3）逆命题是：

如果在△ABC和△A’B’C’中，BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’，那么△ABC≌△A’B’C’．这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

（4）逆命题是：

如果△ABC的三个外角中只有两个钝角，那么△ABC是直角三角形．它是一个假命题．因为△ABC还有可能是钝角三角形．

例2.如图，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BED＝72°，则∠BFD的度数为．

分析：

由AB//CD可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，又因为BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，可得∠ABF＋∠CDF＝

（∠ABE＋∠CDE），而∠ABE＋∠CDE＝∠BED＝72°．所以∠BFD＝36°．

解答：

∠BFD＝36°

例3.测量池塘两端的距离．校八

（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下几种方案．

（I）如图⑴，先在平地取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长．

（Ⅱ）如图⑵，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D

两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B距离．

阅读后回答下列问题：

⑴方案（I）是否可行？

，理由是．

⑵方案（Ⅱ）是否切实可行？

，理由．

⑶方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否仍成立？

，理由．

分析：

实际问题转化为数学问题，关键是找到数学模型．问题中的

（1）、

（2）、（3）可转化为判断两个三角形是否全等，

解：

⑴可行，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB，EC＝BC，根据（S．A．S．）识别方法知△DCE≌△ACB，所以DE＝AB．

⑵可行，∠EDC＝∠ABC＝90°，CD＝CB，∠ECD≌△ACB，根据（A．S．A．）识别方法知△ECD≌△ACB，所以DE＝AB．

（3）为了使△EDC≌△ABC成立．∠EDC＝∠ABC，CD＝CB，∠ECD＝∠ACB，根据（A.S.A.）识别方法知△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．

例4.（2006年乐山市）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，EF交AD于点G，交BC于点H．

⑴图中的全等三角形有对，它们分别是：

（不添加任何辅助线）

⑵请在

（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明．

我选择的是：

．

证明：

分析：

本题重在考查学生的识图能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．

解：

⑴2，△AEG≌△CFH和△BEH≌△DFG．

⑵△AEG≌△CFH．

证明：

在平行四边形ABCD中，有∠BAG＝∠HCD．

所以∠EAG＝180º－∠BAG＝18Oº－∠HCD＝∠FCH．

又因为BA∥DC，

所以∠E＝∠F．

又因为AE＝CF，

所以△AEG≌△CFH．

例5.（2006年湖州市）如图

（1），已知Rt△ABC中，∠C＝90º．根据要求作图；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法．）

①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；

②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为点H；

③连接ED．

分析：

只需依次按要求作图．

解答：

如右图⑵．

例6.如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．

求证：

AB＝AC，AD＝AE．

分析：

对于几何问题，要善于将已知条件的数量关系和图形相结合来处理，同时要看清问题的实质，准确把握要解决问题的方向．

证明：

因为∠BAC＝∠DAE，

所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE

又因为∠ABD＝∠ACE，BD＝CE

所以△ABD≌△ACE（AAS）．

所以AB＝AC，AD＝AE．

例7.如图所示，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长．

分析：

⑴折叠是一种轴对称，故折叠前后会产生全等形．⑵通过设未知数，用方程的知识来解决有关几何的计算问题是一种非常有用的方法．欲求CE的长，可考虑在Rt△CEF中利用勾股定理求得．由△AFE≌△ADE可知EF＝DE，即EF＋CE＝CD＝AB＝8．因此，要求CE的长，只需求出CF的长，而CF＝BC－BF．故只需根据题目的已知条件求出BC和BF的长即可．

解：

由AB＝8，S＝24，所以BF＝6．

所以在Rt△ABF中，AF

＝AB

＋BF

，AF＝10．

由题意可知△ADE≌△AFE，所以AD＝AF＝1O．

所以CF＝BC－BF＝AD－BF＝1O－6＝4．

设CE＝x，则EF＝DE＝8－x，

在Rt△CEF中，CE

＋CF

＝EF

，x

＋4

＝（8－x）

．

解得x＝3．

所以EC的长为3．

例8.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90º，∠B＋∠D＝180º，AB＝AD，作AH

BC于H，若AH＝5cm，求四边形ABCD的面积．

分析：

求不规则四边形面积常用割补法，使图形变成规则图形，而面积保持不变．

解：

过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，

∴∠ADE＝∠B

在△ADE和△ABH中

∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠AHB＝90°，AD＝AB

∴△ADE≌△ABH（AAS）

∴AE＝AH＝5cm

∴△ADE面积＝△ABH面积

四边形ABCD面积＝矩形AHCE面积＝AE·AH＝5×5＝25（cm

）．

例9.如图，已知AE平分∠BAC，AB＝AC＋BD，E是CD的中点，试证明BE平分∠ABD．

分析：

本题抓住“AB＝AC＋BD”，通过截长、补短的方法添加辅助线构造全等三角形，从而顺利解决了问题，“截长补短法”添加辅助线是解决形如条件“a＝b＋c”型问题中普遍采用的方法．

要证BE平分∠ABD，即证∠ABE＝∠DBE．考虑到AB＝AC＋BD且AE平分∠CAB，可尝试通过三角形全等来证明·显然图中三角形均不全等，因此，必须构造全等三角形．

由AE平分∠CAB得∠1＝∠2，AE可看作公共边，条件AB＝AC＋BD是关键，其一，构造一个三角形与

ACE全等，则需在AB上截取AF＝AC；其二，构造一个三角形与△ABE全等，则需延长AC至F使AF＝AB，由此找到突破口，问题便可解决了．

证法一：

在AB上截取AF＝AC，连结EF如图

（1）

因为AB＝AC＋BD，AF＝AC，

所以BF＝BD．

在△ACE与△AFE中，

由AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE

得：

△ACE≌△AFE（S.A.S.）

则CE＝FE

因为E为CD中点，则CE＝DE

所以FE＝DE

在△BEF与△BED中

BF＝BD，BE＝BE，EF＝ED

所以△BEF≌△BED（S.S.S.）

所以∠FBE＝∠DBE，即BE平分∠ABD．

证法二：

如图

（2），延长AC至F，使CF＝BD，连结EF

因为AB＝AC＋BD，CF＝BD

所以AB＝AF

在△ABE与△AFE中

AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE

所以△ABE≌△AFE（S.S.S.）

所以BE＝EF，∠F＝∠ABE

在△BED与△FEC中

由BE＝FE，CE＝DE，BD＝FC

得△BED≌△FEC（S.S.S.）

所以∠EBD＝∠F

所以∠EBD＝∠ABE，即BE平分∠ABD．

【模拟试题】（答题时间：

90分钟）

一、选择题

1、以下命题：

①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．其中的真命题是（）

A.①③B.①④C.①②④D.②③④

2、两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）

A.两角和一边B.两边及夹角C.三个角D.三条边

3、根据下列条件，能惟一画出△ABC的是（）

A.∠A＝60º，∠B＝45º，AB＝4；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30º

C.AB＝3，BC＝4，AC＝8；D.∠C＝90º，AB＝6

4、如图所示，在等边△ABC中，D、E、F，分别为AB、BC、CA上一点（不是中点），且AD＝BE＝CF，图中全等的三角形组数（都全等的为一组）有（）

A.3组B.4组C.5组D.6组

5、如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，则

的根据是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

6、如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD平分∠ABC，则∠BAD＋∠C的和为（）

A.120ºB.150ºC.180ºD.210º

7、如图，在△ABC中，DE、GF分别是AB、AC边上的垂直平分线，若AB＝10，BC＝22，AC＝18，则△AEG的周长等于（）

A.22B.24C.25D.30

8、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，O是△ABC的三条角平分线的交点，则O到AB的距离是（）

A.2B.3C.4D.2.4

二、填空题

9、写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：

．

10、如图，已知，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，

（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为　　　　　　　　；

（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为　　　　　　　　；

（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为　　　　　　　　；

11、如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7cm，那么ED＝cm；如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝．

12、如图，AB＝CD，AD＝BC，O为BD中点过O点作直线与DA、BC延长线交于E、F，若

，EO＝10，则∠DBC＝，FO＝．

13、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB＝3，PP′＝．

14、如图所示，AC⊥CD，BD⊥CD，线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，且AC＝FD，则△ABF是三角形．

15、如图，在ΔABC中，已知AB的垂直平分线交AC于E，ΔABC和ΔBEC的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长为．

16、如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，点C与点C’重合，则折叠后重合部分的面积为．

三、解答题

17、如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC＝OA，并简述步骤．

18、已知：

如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝FE，求证：

AE＝CE．

19、已知如图：

△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于E，ED＝2，求：

E到BC的距离．

20、已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）求证：

DE＝DF；

（2）求证：

AD⊥EF．

【试题答案】

一.选择题。

1~4BCAB5~8BCAA

二.填空题。

9、对边分别相等的四边形是平行四边形

10、BC＝EF/BE＝CF；∠A＝∠D；∠ACB＝∠F

11、7；60°

12、60°；10

13、3

14、等腰直角

15、10厘米

16、9

三.解答题。

17、（作图略）

18、提示：

证△ADE≌△CFE（AAS）；

19、EF＝ED＝2；

20、

（1）用全等或用角平分线性质得到DE＝DF

（2）用等腰三角形三线合一．