总复习 数的运算.docx
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总复习数的运算
数的运算总复习
安阳市第一实验小学王利
一、基本框架
整数的运算
数四则混合运算小数的运算
的分数的运算
运简便运算
算与整数相关的问题
解决实际问题
与分数、百分数相关的问题
二、知识要点
(一)整数运算的意义 、法则
1.加法:
意义:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
法则:
相同数位对齐,从低位加起,哪一位上的数相加满十,就向前一位进一。
名称:
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。
加数是部分数,和是总数。
关系:
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2.减法:
意义:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
法则:
相同数位对齐,从低位减起,哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起再减。
名称:
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。
被减数是总数,减数和差分别是部分数。
关系:
被减数-减数=差被减数-差=减数减数+差=被减数
加法和减法互为逆运算。
3.乘法:
意义:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
名称:
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数的和叫做积。
关系:
一个因数×一个因数=积 一个因数=积÷另一个因数
注意:
在乘法里,0和任何数相乘都得0。
1和任何数相乘都的任何数。
4.除法:
意义:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
名称:
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
关系:
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
乘法和除法互为逆运算。
注意:
在除法里,0不能做除数。
因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。
5.在四则运算中,应注意一些特殊情况:
a+0=aa×0=00÷a=0
a-0=aa×1=aa÷a=1
a-a=0a÷1=a1÷a=1/a
注意:
a做除数时不能为0
(二)小数的运算
1.小数加减法的计算法则:
(1)相同数位对齐(即小数点对齐)。
(2)按照整数加减法法则进行计算。
(3)得数的小数点要和加数或被减数、减数的小数点对齐。
(4)得数的小数部分末位有0的,要去掉。
2.小数乘法计算法则:
先按整数乘法的计算方法计算,再看因数中一共有几位小数,就从积的右边起数出几位点上小数点,积的小数数位不够时,需要添0补位,积的小数末位有0时,要把0去掉。
3.小数除法的计算法则:
除数是整数的小数除法与整数除法的方法相同,只是商的小数点与被除数的小数点对齐。
除数是小数的除法,先利用商不变的性质转化成除数是整数的除法,然后再按照除数是整数的除法法则进行计算。
温馨提示:
关键是把除数是小数转化为除数是整数。
4.求积、商的近似数:
通常:
四舍五入(进一法、去尾法)
规定:
所看数位要比要求保留的数位多一位。
做除法时,要除到比保留的数位多一位,所看数位上的数字是5或大于5,向前一位进1,所看数位上的数字小于5,舍去。
5.整数、小数运算中的易错点:
(1)在整、小数的加减计算中,没有把相同数位对齐。
例:
9+4.266.58-51.004+3.2
(2)因数中间有0或末尾有0的乘法。
例:
714×1052070×2115.8×50
(3)小数乘法计算中,积里小数点的位置。
例:
0.086×0.5
(4)漏掉商中间或商末尾的0。
2.52÷2.40.54÷9
(5)在小数除法中,当除数是小数时,被除数和除数要同时扩大使除数变成整数时,被除数的小数点移动错误。
(6)在四则运算中,运算顺序错误。
例:
2.3×5÷2.3×54.68-1.68÷0.2+4.5
(三)分数的运算
1.同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变。
2.异分母分数加减法计算方法:
先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
3.分数乘法的计算法则:
分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
4.分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
5.分数计算中的易错点:
(1)运算方法混淆,2/5+5/7=7/12
(2)运算顺序错误,2×3/4÷2×3/45/6+1/6÷1/5
(3)受简算影响错误,12÷(3/4+6/7)
6.整数、小数、分数加减的异同:
整数加减时,相同数位对齐
小数加减时,小数点对齐计数单位相同才能相加减
分数加减时,分数单位相同
(四)运算定律与简便计算
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a。
2.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c)。
3.乘法交换律:
两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。
4.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c)。
5.乘法分配律:
两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c。
6.减法的性质:
从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c)。
7.除法的性质:
从一个数里连续除以两个数,可以先把后两个数相乘,再相除,商不变,即a÷b÷c=a÷(b×c)
8.关于简算:
(1)加法运定律:
一般情况下两个定律同时使用
例:
带着符号搬家,例:
475+128-75
(2)乘法运算定律:
交换律和结合律一般同时使用
例:
15×0.25×2×40=(0.25×40)×(2×15)
3.2×12.5×25
=(0.8×4)×12.5×25
=(4×25)×(0.8×12.5)
(3)拆数不能改变原数的大小
例:
1.25×881.25×88
=1.25×8×11=1.25×(8+80)
(4)根据数据特点简算
例:
(5)明白简算的依据
例:
25×48有以下几种简算的方法:
25×48=25×(40+8)
25×48=25×(50-2)
25×48=25×(6×8)
25×48=(25×4)×(48÷4)
(五)运算顺序
1.第一级运算:
加法和减法叫做第一级运算。
2.第二级运算:
乘法和除法叫做第二级运算。
3.四则运算的运算顺序:
同级运算从左往右依次运算;两级运算先算乘、除法,后算加减法;有小括号先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
三、实际应用
(一)整数和小数的应用
1.解题步骤:
a.审题理解题意
b.分析数量关系
c.选择算法列式
d.回顾反思检验
2.常见的数量关系:
总价=单价×数量
路程=速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量
3.典型题型
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的题目。
(1)平均数问题:
平均数是等分除法的发展。
解题关键:
在于确定总数量和与之相对应的总份数。
a.算术平均数:
已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数,求平均每份是多少。
数量关系式:
数量之和÷数量的个数=算术平均数。
b.加权平均数:
已知两个以上若干份的平均数,求总平均数是多少。
数量关系式(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
例:
一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。
求这辆车的平均速度。
(2)归一问题:
已知相互关联的两个量,其中一种量改变,另一种量也随之而改变,其变化的规律是相同的,这种问题称为归一问题。
例:
一个织布工人,在七月份织布4774米,照这样计算,织布6930米,需要多少天?
(3)归总问题:
是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量(或单位数量的个数),通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。
例:
修一条水渠,原计划每天修800米,6天修完。
实际4天修完,每天修了多少米?
(4)和倍问题:
已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。
解题规律:
和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例:
汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
(5)差倍问题:
已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。
解题规律:
两个数的差÷(倍数-1)=标准数
标准数×倍数=另一个数。
例:
甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?
(6)行程问题:
关于走路、行车等问题,一般都是计算路程、时间、速度,叫做行程问题。
解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念,了解他们之间的关系,再根据这类问题的规律解答。
例:
甲在乙的后面28千米,两人同时同向而行,甲每小时行16千米,乙每小时行9千米,甲几小时追上乙?
(二)分数和百分数的应用
1.分数乘法应用题
是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。
解题关键:
准确判断单位“1”的量。
找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
2.分数除法应用题
求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。
解题关键:
从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。
甲是乙的几分之几(百分之几):
甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。
甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):
关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数。
已知一个数的几分之几(或百分之几),求这个数。
解题关键:
用方程解,准确判断单位“1”的量,把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际 数量。
3.百分率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率=面粉的重量/小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
……
4.工程问题
分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。
它主要是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的。
数量关系式:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
三、基础练习
(一)填空
1、980-457+68先算( )法,再算( )法。
2、482÷2×3先算( ),再算( )法。
3、39÷3-45×2可以同时算( )和( )法。
4、在算式□÷9=16……□中,被除数最大的是( ),余数最小的是( )
5、从9.6里连续减去( )个0.24,结果是0。
6、45×6表示( ),也可以表示( )。
7、被减数加上减数与差的和,再除以被减数,商为( )。
8、两个数的差是a,被减数不变,减数增加0.3后,差是()。
9、有一道除法算式,被除数、除数与商的和是90,已知商是12,被除数是( )。
10、2.4吨的1/4是(),()的1/4是2.4吨。
11、被减数是84,减数与差的比是3:
4,减数是( ),差是( )。
12、甲数是乙数的1/5,甲数比乙数少( )%,乙数比甲数多( )%。
(二)选择
1、5800除以60的商是96时,余数是( )
A、4 B、40 C、400 D、4000
2、a是大于0的数,(a+a)÷a+(a-a)×a的结果是( )
A、a B、2 C、2-a
3、在估算7.18×5.89时,与实际结果最接近的是( )
A、8×6 B、7×6 C、7×5
4、□÷△=10......9,□中最小是( )
A、99 B、100 C、109
5、六一班有50人,今天有4人请假,今天的出勤率是()
A、96% B、94% C、92%
(三)计算下面各题,能简算的要简算。
第一组:
7/8×3/4+1/4×7/82/3+1/3÷2/3
1.25×32×2.53/4×0.72+0.28×0.75
6.25÷2.5÷42.28-1.16+7.72-8.84
24×(1/4+5/6+1/2)6/7÷〔(4/7-1/2)×2/5〕
第二组:
3.8×99+3.8(8+4/9)÷4
7.8×1.112.5×4×25×8
35×(1-3/7)÷5/1230-8/5÷4/15
36×(1/4+1/12+1/6)34.6+15.7+55.4+84.3
第三组:
6×8/11+5×8/1134×9.9
12.5×88(8+4/9)÷4
4×0.37×253.2×99+3.2
(84-24×5/2)÷8%1/5+2/5×(5/6-3/4)
第四组:
3-6/11-5/111-(5/7+3/14)×2/7
25×23/24560÷16÷5
7/16×9-7/16×7125×0.72
0.2÷[5/6×(3/20+0.45)10.5-(6/7-3/4)÷2/3
第五组:
73.8-1.64-13.8-5.36 66.86-8.66-1.34
0.25×16.2×43.72×3.5+6.28×3.5
5.48-(9.4-0.52)3.6×102
4.8×7.8+78×0.52 6.4×0.25+3.6÷4
第六组:
32+4.9-0.9 4.8-4.8×0.5 (1.25-0.125)×84.8×100.1
56.5×9.9+56.5 7.09×10.8-0.8×7.09
7/12×[4/15÷(5/6-4/5)]3/5÷0.8÷1/12
第七组:
648×75-3005 12×5/6-2/9×3 8×5/4+1/4 327+9664÷32×25
15.6÷4-5.6÷437.24+23.79-17.24
15.2÷0.25÷4 4.2×99+4.2
第八组:
72×156-56×72 709×99+709
299×101 212×6.6+2.5×635 75.3×99+75.3 4.6×3.7+54×0.37 0.125×34+65×0.125+12.5% 237+359-137+149
第八组:
3/7×49/9-4/3 8/9×15/36+1/27
4/7×5/9+3/7×5/928.7/8+(1/8+1/9)
(3/4-1/2-1/6)×124.05-2.83-1.17
2/9×10.1-2/9×1.14×0.6+0.6÷1/4
(四)解决问题
1.解答下面的问题,各适合口算、笔算、估算,还是用计算器计算?
先想一想,再解答。
(1)阶梯教室有15排座位,每排20个。
一共有多少个
(2)华光电影院楼下有698个座位,楼上有219个座位。
这个电影院能同时容纳1000人看电影吗?
(3)在一个能容纳5万人的体育馆里,一场足球赛的上座率大约是75%。
大约有多少人观看了这场足球赛?
(4)据第六次全国人口普查统计,上海市有2301.91万人,其中65周岁以上的占10.1%。
65周岁以上的有多少人?
2.京津城际高速列车的平均速度大约是3.64千米/分,从北京到天津大约需要33分钟。
京津城际高速铁路全长大约多少千米?
(得数保留整数)
3.
(1)一个果园,今年收获苹果480吨,已经售出5/6,售出多少吨?
(2)一个果园,今年收获苹果480吨,已经售出5/6,还剩多少吨?
4.
(1)菜场运来番茄300千克,是黄瓜的4/5。
运来黄瓜多少千克?
(2)菜场运来番茄300千克,比黄瓜少1/5。
运来黄瓜多少千克?
5.
6.一篇文章原稿有14页,每页24行,每行25个字。
这篇文章一共有多少个字?
如果改排成每行28个字,每页30行,这篇文章要排多少页
7.
8.
(1)光明小学美术组有63人,舞蹈组有56人。
美术组的人数比舞蹈组多几分之几?
(2)光明小学美术组有63人,舞蹈组的人数比美术组少1/9。
舞蹈组有多少人?
(3)光明小学美术组有63人,比舞蹈组的人数多1/8。
舞蹈组有多少人?
9.
(1)一袋大米,先用去1/5,又用去2/5,两次一共用去6千克。
这袋大米原来有多少千克?
(2)一袋大米,先用去1/5,又用去2/5千克,两次一共用去12/5千克。
这袋大米原来有多少千克?
10.某商场有奖销售活动设置了10000张奖券,其中一、二、三等奖的中奖率分别是5%、10%和30%。
(1)一等奖和二等奖的奖券一共有多少张?
(2)你还能提出什么问题?
11.
12.
(1)张军8小时加工了320个零件,照这样计算,15小时可以加工多少个零件?
、
(2)张军加工一批零件,如果每小时加工30个,20小时可以加工完成任务;如果每小时加工40个,多少小时可以完成任务?
13.小明看一本故事书,已经看了全书的3/7,还有48页没有看。
小明已经看了多少页?
(先画线段图再解答)
14.一列火车上午8时开出,2.4小时行了全程的2/7,照这样计算,列火车什么时候能到达终点?
15.
16.
17.某种茶叶500克售价98元,李叔叔买2.2千克这种茶叶,应付多少元?
18.王阿姨买了3000元的国家债券,定期3年,年利率是3.14%,到期时,她一共可以取出多少元?
19.
20.
(1)旺旺超市九月份的水电费是480元,十月份的水电费是408元。
十月份比九月份节约百分之几?
(2)旺旺超市九月份的水电费是480元,十月份的水电费比九月份节约了15%。
十月份的水电费是多少元?
(3)旺旺超市十月份的水电费是408元,比九月份节约了15%。
九月份的水电费是多少元?
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