学年高中数学第3章不等式43简单线性规划的应用教案北师大版必修5.docx
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学年高中数学第3章不等式43简单线性规划的应用教案北师大版必修5
4.3 简单线性规划的应用
学习目标
核心素养
1.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.(重点)
2.培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识.
3.能够找出实际问题的约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解.(难点)
1.通过解决简单线性划的应用题,提升数学建模素养.
2.通过求解实际问题的最优解,培养数学运算素养.
简单线性规划的实际应用
阅读教材P105~P107“练习”以上部分,完成下列问题.
(1)简单线性规划应用问题的求解步骤:
①设:
设出变量x、y,写出约束条件及目标函数.
②作:
作出可行域.
③移:
作一条直线l,平移l,找最优解.
④解:
联立方程组求最优解,并代入目标函数,求出最值.
⑤答:
写出答案.
总之,求解线性规划问题的基本程序是作可行域,画平行线,解方程组,求最值.
(2)若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解时,应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.
思考:
(1)线性规划的实际应用问题中,整点最优解是唯一的吗?
[提示] 不是唯一的,可能有多个整点最优解.
(2)解决线性规划实际应用问题最关键的是什么?
[提示] 最关键的是认真审题,列出约束条件,写出目标函数.
1.4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元,而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元.设每枝玫瑰花的价格为x元,每枝茶花的价格为y元,则x,y满足的约束条件为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] A
2.A,B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时,在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时,在乙机器上加工3小时.在一个工作日内,甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时.设生产A产品x件,生产B产品y件,列出满足生产条件的约束条件为________.
[由题意知
]
3.某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件
则z=10x+10y的最大值是___________________.
90 [该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由于x,y∈N*,计算区域内与
最近的点为(5,4),故当x=5,y=4时,z取得最大值为90.
]
与最大值有关的实际问题
【例1】 某公司计划同时出售电子琴和洗衣机,由于两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大,已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品的有关数据如下表
电于琴(架)
洗衣机(台)
月供应量
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
/
试问:
怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少?
[解] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台,总利润为z百元,则根据题意,
有
且z=6x+8y,作出不等式组所表示的平面区域,如图中所示的阴影部分.
令z=0,作直线l0:
6x+8y=0,即3x+4y=0.
当移动直线l0平移至过图中的A点时,z=6x+8y取得最大值.
解方程组
得A(4,9),
代入z=6x+8y得zmax=6×4+8×9=96.
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时,公司可获得最大利润,最大利润是96百元.
解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来理顺.
(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题.
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.
1.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的
.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合才使成本最低.
[解] 设每周需用谷物饲料xkg,动物饲料ykg,每周总的饲料费用为z元,
由题意得
而z=0.28x+0.9y.
如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域,
作一组平行直线0.28x+0.9y=z,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x+y=35000和直线y=
x的交点A
,即x=
,y=
时,饲料费用最低.
所以,谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.
求最小值的实际应用
【例2】 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为多少?
[解] 设需A型车x辆,B型车y辆,则
⇒
由目标函数z=1600x+2400y,得y=-
x+
,
表示直线在y轴上的截距,要z最小,则直线在y轴上的截距最小,画出可行域(如图),
平移直线l:
y=-
x到l0过点A(5,12)时,
zmin=5×1600+2400×12=36800.
故租金最少为36800元.
解答线性规划应用题的技巧
(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要.
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.
(3)结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等.
(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式.
2.某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张,才能使得总用料面积最小.
[解] 设需要甲种原料x张,乙种原料y张,则可做文字标牌(x+2y)个,绘画标牌(2x+y)个,
由题意可得
所用原料的总面积为z=3x+2y,
作出可行域如图.
平移直线l0:
3x+2y=0,经过可行域内的直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点A(2,1)z最小,
∴最优解为x=2,y=1.
∴使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小.
整数最优解问题
[探究问题]
1.采取什么方法能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件?
[提示] 通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理.
2.怎样求线性规划中的最优整数解问题?
[提示] 先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值、最后筛选出最优解.
【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车,有9名驾驶员.此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,甲型卡车每辆每天的成本费为252元,乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低?
思路探究:
弄清题意,设出与运输成本有关的各型车的辆数,找出它们的约束条件,列出目标函数,用图解法求其整数最优解.
[解] 设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆,车队所花成本费为z元,那么
目标函数z=252x+160y,
作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图.
作出直线l0:
252x+160y=0,把直线l0向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使在y轴上的截距最小,观察图形,可见当直线252x+160y=t经过点(2,5)时,满足上述要求.此时,z=252x+160y取得最小值,即x=2,y=5时,zmin=252×2+160×5=1304(元).
即每天派出甲型车2辆,乙型车5辆,车队所用成本费最低.
1.(变结论)例3的条件不变,问每天派出甲型车与乙型车各多少辆时,车队所花费成本最高?
[解] 由例3的解答,作出直线l0:
252x+160y=0,把直线l0向上方平移,使其经过可行域上的整点,且在y轴上的截距最大,观察图形,可见当直线252x+160y=t经过点(4,5)时,满足上述要求,此时,z=252x+160y取得最大值,即x=4,y=5时,zmax=252×4+160×5=1808(元),即每天派出甲型车4辆,乙型车5辆,车队所用成本费最高.
2.(变条件)把例3的条件换为下表所示:
数量
(单位:
辆)
载重量
(单位:
t)
每天可往
返次数
每辆每天的成本费(单位:
元)
甲型卡车
8
6
4
320
乙型卡车
4
10
3
504
现有10名驾驶员,车队每天至少要运送180t矿石至冶炼厂.
试确定每天派出甲型卡车与乙型卡车的数量,使车队所花费的成本费最低.
[解] 设矿山车队每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,每天花费的成本是z元,则z=320x+504y,其中x,y满足约束条件
作可行域如图(阴影内的整点)所示.
作直线l0:
320x+504y=0.
在可行域内的整点中,直线经过(8,0)时,zmin=8×320=2560(元).
所以每天派出甲型卡车8辆就能完成任务,且花费成本最低.
寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法:
先打网络,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解,这种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解.
(2)小范围搜寻法:
即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来,代入目标函数,直接求出目标函数的最大(小)值.
(3)调整优值法:
先求非整点最优解及最优值,再调整最优值,最后筛选出整点最优解.
1.画图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图中操作尽可能规范.
2.解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立:
正确理解题意,将一般文字语言转化为数学语言,进而建立数学模型,这需要在学习有关例题解答时,仔细体会范例给出的模型建立方法.
(2)模型求解:
画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点,选定可行域中的特殊点作为最优解.
(3)模型应用:
将求解出来的结论反馈到具体的实例中,设计出最佳的方案.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的,也可能是无界的.( )
(2)线性目标函数的最优整数解不唯一.( )
(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点.( )
[答案]
(1)√
(2)√ (3)×
[提示]
(1)
(2)正确,(3)错误,二者不一定距离最近,要根据具体的题目条件确定.
2.有5辆6t的汽车,4辆4t的汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A.z=6x+4y B.z=5x+4y
C.z=x+yD.z=4x+5y
A [由题意可知z=6x+4y为目标函数.]
3.某学校用800元购买A、B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A、B两种用品应各买的件数为( )
A.2件,4件B.3件,3件
C.4件,2件D.不确定
B [设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,则
求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).]
4.某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品,已知生产1tA产品,1tB产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示.
产品
所需原料
原料
A产品
(1t)
B产品
(1t)
总原料(t)
甲原料(t)
2
5
10
乙原料(t)
6
3
18
利润(万元)
4
3
问:
在现有原料下,A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大?
[解] 设生产A、B两种产品分别为xt、yt,其利润总额为z万元,根据题意,可得约束条件为
目标函数z=4x+3y,作出可行域如图:
作直线l0:
4x+3y=0,再作一组平行于l0的直线l:
4x+3y=z,当直线l经过点P时z=4x+3y取得最大值,
由
解得交点P
.
所以有zmax=4×
+3×1=13(万元).
所以生产A产品2.5t,B产品1t时,总利润最大,为13万元.
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