数学建模D题会议安排的优化模型论文1.docx

数学建模D题会议安排的优化模型论文1.docx

《数学建模D题会议安排的优化模型论文1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模D题会议安排的优化模型论文1.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学建模D题会议安排的优化模型论文1

会议筹备的数学优化模型

摘要：

本问题属于优化问题，要求我们从组委会的角度出发制定出预订客房，租借会议室，租用客车的最佳方案。

我们以宾馆数量少，宾馆相对集中为目标，在满足与会代表具体要求的前提下，逐步得到了该问题的相关结果。

具体结果如下：

首先我们对附件数据做了必要的分析，采用平均百分比和线性回归两种方法分别计算出了与会人数，但由于往年资料有限，我们排除了线性回归的方法，预测实际与会人数为661人。

然后按回执中各类房间所占的不同比重来确定最终订房类别及数量，具体结果见正文。

其次，从满足代表住房要求的原则出发，尽量选择数量最少的宾馆以保证人员相对集中，建立整数规划模型，确定目标、约束条件，选取最优解。

最终选定了1、2、5、7四家宾馆，同时求出了代表满意度。

关于会场租赁及租车问题，由于需要6个会场，且每个会场与会人数不确定，我们只考虑了一种平均意义下的结果。

利用整数规划模型借助LINGO软件求出最优解，最终选择2号宾馆130人会议室2间，180人会议室1间，5号宾馆150人会议室2间，180人会议室1间。

根据代表入住每个宾馆的人数情况，我们得到需要租45座车4辆，36座车4辆，33座车4辆。

两项合计总费用为30600元。

关键词：

平均百分比线性回归整数规划LINGO代表满意度

一、问题重述与分析

某会议服务公司负责承办一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。

由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。

筹备组要在10家宾馆中选定几间来为代表预定房间。

为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。

备选宾馆的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。

根据附表2与附表3从以往几届会议情况来预订宾馆客房。

而预定的客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将引起代表的不满。

会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。

由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。

现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。

本题希望我们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

该问题来源于实际，我们认为合理的方案需要考虑如下问题：

1．尽可能准确地估计预定客房数，尽可能地满足与会代表要求；

2．尽可能少选宾馆数，且宾馆尽可能集中；

3.租会议室及租车的费用尽可能少。

二、模型假设与符号说明

1.前四届会议代表出席情况相互独立；

2.未发回执前来与会的代表住房要求与已发回执的情况相同；

3.每位代表参加任何分组会议是随机的；

4.所有参加本宾馆外的分组会代表都需要车接送；

5.每辆车只走一个单程，且不考虑中途有人上车情况。

相关符号含义表1

表1

符号

说明

第i届会议发来回执的代表数目

Wi

第i届会议实际与会的代表数目

f

会议室最小花费

租第i种会议室数

z

租车费

租第i类车子数

a

需要坐车去其他会场的人数

分别为实际与会人数占发回执人数比平均值及最大值

三、数据分析与建模

1．关于参加会议的代表人数：

模型1：

平均百分比法

为了合理安排本届与会代表入住宾馆，首先必须明确本届代表与会的基本情况。

由附表2可知本届代表的回执代表数量为755人；由附表3进一步分析以往几届会议代表的基本情况和相对应的比例后，结果如表2所示：

表2.以往几届会议代表回执和与会情况

第一届

第二届

第三届

第四届

第五届

发来回执的代表数量

315

356

408

711

755

发来回执但未与会的代表数量

89

115

121

213

未发回执而与会的代表数量

57

69

75

104

实际参加人数

283

310

362

602

661（678）

实际参加数/发来回执数

0.8984

0.8708

0.8873

0.8467

经计算得

，第五届会议与会人数

。

模型2

线性回归法

从附表3算出以往四届实际与会的代表数量

将发来回执的代表数量Qi和Wi做散点图（见图1）。

直观地看Qi和Wi有极高的线性度，因此我们考虑用线性回归模型进行预测。

图1Qi和Wi做散点图

从附表2中求得发来回执人数为755人，把

=755带入方程可预测得本届实际与会人数

638人。

使用线性回归模型来预测本届与会人数当然是可行的，实际上线性度相当高。

但是从统计学角度来讲，以往数据只有四笔，相对偏少了一点。

因此选择模型1，即取实际参会人数661人。

2．关于入住类型：

假设未发回执前来与会的代表住房要求与已发回执的情况相同，且发来回执的人住房要求与实际参加的人要求一致（概率相等）。

对附表1给定的信息，我们考虑的因素进一步增加，从附表2利用Excel画出其所反应的趋势图（见附录1）看，通过假设，本届会议发来回执且与会代表按百分比（1-30.04%=69.96%）进行估算，得到本届会议发来回执且与会代表的入住情况如表3所示（计算结果以四舍五入记录）

表3.本届会议发来回执且与会代表的入住情况

合住1

合住2

合住3

独住1

独住2

独住3

男

108

73

22

75

48

27

女

55

34

12

41

20

13

根据附表2，我们运用相应比例关系估算出未发来回执而与会代表的入住情况如表4所示（计算结果以四舍五入记录）

表4.未发来回执而与会代表的入住情况

合住1

合住2

合住3

独住1

独住2

独住3

男

27

18

6

19

12

7

女

14

8

3

10

5

3

由表3和表4综合估算出：

本届会议与会代表的实际入住情况如表5所示：

表5.实际房间数

合住1

合住2

合住3

独住1

独住2

独住3

男（人数）

135

91

28

94

60

36

女（人数）

69

42

15

52

25

17

总人数

204

133

43

145

84

53

房间数

102

67

22

145

84

53

3.关于宾馆的选择

因为宾馆越少，与会代表入住越集中，所需的车子更少，会场也更集中。

我们以宾馆数最少为目标，以满足代表入住要求及10家备选宾馆现有资源为约束，建立该问题的优化模型来解决这个问题。

考虑附件1的数据及表5的数据得到该问题的数学模型如下：

目标函数

约束条件（需求关系与供给关系）

其中，需要预订合住第j种类型客房数量T1j，j=1,2,3

需要预订独住第j种类型客房数量T2j,j=1,2,3

第i家宾馆第j种类型双人房（合住或独住）能提供的间数C1ij

第i家宾馆第j种类型单人房（独住）能提供的间数C2ij

预订第i家宾馆第j种类型双人房（合住）间数x1ij

预订第i家宾馆第j种类型单人房（独住）间数x2ij

预订第i家宾馆第j种类型双人房（改独住）间数yij

对于该整数规划问题，可以借助lingo软件求解得到，但该问题结果不唯一。

下面是其一组可行解。

表6房间预订情况

宾馆

合1

合2

合3

独1

独2

独3

1

22

（将2标2改独1）

30+标改独16

20+标改独3

2

50

34

标改独35

标改独31

5

52

33

18

标改独7

7

40+50（合改独）

30

其他宾馆

2

房间数合计

102

67

22

145

84

53

该方案的主要特点是充分利用了宾馆2与5及1与7。

从表中可以看出，如果选择1,25,7及6或8共5个宾馆所有预计到会的代表都能住到所要求价位的房间，即代表满意程度为100%。

考虑到租车等问题，可以考虑代表不满意度问题，例如选择宾馆1的2个160-200元的标间改为120-160元的单间，就可以不考虑宾其他馆。

不满意度为2/661=0.3%.

4.关于会议室选择与车辆安排：

为了尽可能少用车，我们考虑只选1,2,5,7共4个宾馆安排入住。

由于需要6个会场，但人数不确定，因此平均而言每个会场容量都应大于110人。

考虑到租车问题租会议室的宾馆不宜太多。

因为1个宾馆显然不能满足要求，可以通过穷举法比较2个宾馆及3个宾馆等各种情况，并计算费用得到，最好的方式是租宾馆2与5的各3个宾馆，具体方案见表7。

当然也可以通过优化模型来解决这个问题。

从表6中可以看出，合3的44人全住宾馆1，合住1的204人、合住2的133人均住宾馆2与5，为了让更多的人少乘车，会议室应该尽量选在这两个宾馆。

表7.会议室选择

宾馆代号

规模

间数

每天租金

2

130人

2

4000

2

180人

1

30000

5

150人

2

4000

5

180人

1

3000

合计

6

14000

因会议室选在宾馆2与5，因此需充分利用这两个宾馆资源，两个宾馆最多可安排与会人员438人（至少5辆45座车，8000元租费）。

还有44人必须住宾馆的合3，这部分人与另外189人需要乘车到宾馆2与5参加会（至少5辆45座车，8000元租费）。

由表6得到各宾馆所住人数见表8。

表8各宾馆人数统计

宾馆1

宾馆2

宾馆5

宾馆7

人数

115

234

194

120

共需45座车4辆，36座车4辆，33座辆车4辆。

具体用车方案如下：

1辆45座车,2辆36座车从宾馆1满载出发先至宾馆2再开往宾馆5。

2辆45座车，1辆33座车从宾馆7出发先到宾馆5，再开往宾馆2。

2辆36座,1辆45车从宾馆2开往宾馆5。

3辆33座车从宾馆5开往宾馆2

全天租车费用为16600元。

组会议室与租车全天合计费用为30600元。

四．模型的评价与改进：

1．与会人员模型改进：

对附表3给出的前几届会议代表回执和与会情况数据进行统计发现，发来回执但未与会的代表比例稳定，约为30%，未发回执而与会的代表比例约为17.6%。

与会代表比例、均值和方差见表9。

表9与会代表比例、均值和方差

第一届

第二届

第三届

第四届

均值

方差

人数

%

人数

%

人数

%

人数

%

发来回执但未与会的代表

89

28.25

115

32.30

121

29.66

213

29.96

0.3004

0.0145

未发回执而与会的代表

57

18.10

69

19.38

75

18.38

104

14.63

0.1762

0.0179

可以认为，发来回执未与会的代表比例和未发回执而与会的代表比例服从正态分布，并取置信度为95%，则应取置信区间下分位点作为发来回执未与会的代表预测数量，取置信区间上分位点作为未发回执而与会的代表预测数量。

其计算公式为：

将数据代入上式计算得到与会代表总数为708.84人，向上取整数为709人，其中发来回执且与会的代表539人，未发回执而与会的代表147人。

用MATLAB软件对方差较大的未发回执而与会的代表比例进行正态分布的卡方检验，证明假设：

未发回执而与会的代表比例服从正态分布是合理的。

同理可以证明发来回执未与会的代表比例也服从正态分布。

表10未发回执而与会的代表比例的卡方检验

分段点

F值

概率

理论频数

χ2

卡方值

临界值

0.16

0.1830

0.1830

0.7318

0.0983

0.1846

3.8415

0.19

0.7789

0.5959

2.3837

0.0618

0.22

0.9927

0.2138

0.8552

0.0245

2．模型的评价

对人员的预测用两种不同的方法进行分析，而对宾馆和房间的确定也综合考虑了经济、方便、数量少、代表满意、少支付空房费等多种因素，分别建立了两种数学基本模型求解。

但也忽略了部分实际生活中的因素，模型偏于理想化。

主要表现在：

1.对实际问题及现实的交通情况的考虑不够，实际的情况会影响对客车的预定的问题，比如说堵车，而汽车行驶也不一定沿路直线行驶，可能会斜穿马路。

2.没有考虑万一出现与会代表人数大大超出会议室规模的情况的解决方案。

3.在实际问题中我们还应考虑交通问题、客车的加速行驶到减速停车过程的时间、上下车完毕的时间，将它们的总和与正常人在一定小距离内步行的时间作比较，以此来确定在多远的距离内不需要客车接送代表，从而改进模型，使其更加符合要求。

4.在确定会议室和安排客车方面，能够在满足实际需求的基础上，更好的为筹委会节省开支，故方案更佳。

但是，该模型本身还是有一些不完善的地方的，首先就是我们没有考虑，在距离很近的时候，可以采用代表步行的方式参会，从而可以省去一大笔车费。

例如①②之间仅有150米远的距离，此时再采用客车接送显得有点牵强。

其次就是，我们方案中没有给突发情况留有较大的余地，每辆车的乘坐率很高，每趟车基本仅剩下几个空座，实际情况可能不是我们预测的那样代表完全等可能的参加各分组会议，此时就会出现一些车拥挤不堪的而另外一些车剩座较多的情况。

此时这个方案就显得有些不完善。

3数据随机因素的考虑

以上模型都是利用以往数据的平均数来分析的，随机因素对问题影响较大，比如按最大比例算，与会人员可达678人。

4不同车辆方案对问题也有较大影响。

我们所建立的模型的优点主要体现在：

1.从建模总体来看，问题都是通过编程来解决的，这体现了建模的科学合理性；

2.从建立的模型来看，更好运用了数形结合的方法，这样使得问题更清晰直观、易于理解。

本文建立的模型是为了解决本届参加会议的人员的住房、开会租客车的问题，此类模型也可以运用到酒店预定客房、旅行社租车及机场预定机票等问题上。

同时，该模型同样适用于生活中其它方面路线的计算和预测，准确度较高，具有通用性。

参考文献

[1]全国大学生数学建模竞赛组委会，数学建模的实践：

2006年全国大学生数学建模夏令营论文集，北京：

高等教育出版社，2007.8

[2]袁新生等，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京：

科学出版社，2007

[3]晏林，数学与实验—MATLAB与QBASIC应用，北京：

科学出版社，2005

附录

附录1:

附录2：

附录3：

MODEL:

MIN=600*X1+1500*X2+1000*X3+1500*X4+320*X5+800*X6+1000*X7+1200*X8+300*X9;

X1<=2;

X2<=1;

X3<=2;

X4<=1;

X5<=3;

X6<=2;

X7<=1;

X8<=1;

X9<=3;

X1+X5+X9=1;

X2+X4+X8=2;

X3+X6+X7=3;

600*X1+1500*X2+1000*X3+1500*X4+320*X5+800*X6+1000*X7+1200*X8+300*X9>=661;

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9=6;

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

5600.000

Infeasibilities:

0.000000

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

X10.000000300.0000

X20.0000000.000000

X30.0000000.000000

X41.0000000.000000

X50.00000020.00000

X62.0000000.000000

X71.0000000.000000

X81.0000000.000000

X91.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

15600.000-1.000000

22.0000000.000000

31.0000000.000000

42.0000000.000000

50.0000000.000000

63.0000000.000000

70.000000200.0000

80.0000000.000000

90.000000300.0000

102.0000000.000000

110.0000000.000000

120.000000-1200.000

130.000000-700.0000

144939.0000.000000

150.000000-300.0000

附录4：

MODEL:

SETS:

ITEMS/ITEM1,ITEM2,ITEM3/:

INCLUDE,WEIGHT1,RATING;

ENDSETS

DATA:

WEIGHT1=45,36,33;

RATING=800700600;

KNAPSACK1=237;

ENDDATA

min=@SUM（ITEMS:

RATING*INCLUDE）;

@SUM（ITEMS:

WEIGHT1*INCLUDE）>=KNAPSACK1;

@FOR（ITEMS:

@GIN（INCLUDE））;

END

Objectivevalue:

4300.000

Objectivebound:

4300.000

Infeasibilities:

0.000000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

KNAPSACK1237.00000.000000

INCLUDE（ITEM1）3.000000800.0000

INCLUDE（ITEM2）1.000000700.0000

INCLUDE（ITEM3）2.000000600.0000

WEIGHT1（ITEM1）45.000000.000000

WEIGHT1（ITEM2）36.000000.000000

WEIGHT1（ITEM3）33.000000.000000

RATING（ITEM1）800.00000.000000

RATING（ITEM2）700.00000.000000

RATING（ITEM3）600.00000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

14300.000-1.000000

20.0000000.000000

附表110家备选宾馆的有关数据

宾馆代号

客房

会议室

规格

间数

价格（天）

规模

间数

价格（半天）

①

普通双标间

50

180元

200人

1

1500元

商务双标间

30

220元

150人

2

1200元

普通单人间

30

180元

60人

2

600元

商务单人间

20

220元

②

普通双标间

50

140元

130人

2

1000元

商务双标间

35

160元

180人

1

1500元

豪华双标间A

30

180元

45人

3

300元

豪华双标间B

35

200元

30人

3

300元

③

普通双标间

50

150元

200人

1

1200元

商务双标间

24

180元

100人

2

800元

普通单人间

27

150元

150人

1

1000元

60人

3

320元

④

普通双标间

50

140元

150人

2

900元

商务双标间

45

200元

50人

3

300元

⑤

普通双标间A

35

140元

150人

2

1000元

普通双标间B

35

160元

180人

1

1500元

豪华双标间

40

200元

50人

3

500元

⑥

普通单人间

40

160元

160人

1

1000元

普通双标间

40

170元

180人

1

1200元

商务单人间

30

180元

精品双人间

30

220元

⑦

普通双标间

50

150元

140人

2

800元

商务单人间

40

160元

60人

3

300元

商务套房（1床）

30

300元

200人

1

1000元

⑧

普通双标间A

40

180元

160人

1

1000元

普通双标间B

40

160元

130人

2

800元

高级单人间

45

180元

⑨

普通双人间

30

260元

160人

1

1300元

普通单人间

30

260元

120人

2

800元

豪华双人间

30

280元

200人

1

1200元

豪华单人间

30

280元

⑩

经济标准房（2床）

55

260元

180人

1

1500元

标准房（2床）

45

280元

140人

2

1000元

附表2本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：

人）

合住1

合住2

合住3

独住1

独住2

独住3

男

154

104

32

107

68

41

女

78

48

17

59

28

19

附表3以往几届会议代表回执和与会情况

第一届

第二届

第三届

第四届

发来回执的代表数量

315

356

408

711

发来回执但未与会的代表数量

89

115

121

213

未发回执而与会的代表数量

57

69

75

104

附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）