高中数学第一单元常用逻辑用语122非否定教学案新人教B版选修11.docx
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高中数学第一单元常用逻辑用语122非否定教学案新人教B版选修11
2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.2.2“非”(否定)教学案新人教B版选修1-1
学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式,会对命题、存在性命题、全称命题进行否定.
知识点一 命题的否定
思考1 观察下列两个命题:
①p:
5是25的算术平方根;q:
5不是25的算术平方根;②p:
y=cosx是偶函数;q:
y=cosx不是偶函数,它们之间有什么关系?
逻辑联结词中“非”的含义是什么?
思考2 你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗?
p的真假与綈p的真假有关系吗?
梳理
(1)对一个命题p加以否定,就得到一个新命题,记作________,读作“非p”或“________________”.“綈p”形式命题:
若p是真命题,则綈p必是____________;若p是假命题,则綈p必是____________.
(2)由“非”的含义,可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁UA={x∈U|綈(x∈A)}={x∈U|x∉A}.
知识点二 全称命题与存在性命题的否定
思考1 写出下列命题的否定:
①所有的矩形都是平行四边形;
②有些平行四边形是菱形.
思考2 对①的否定能否写成:
所有的矩形都不是平行四边形吗?
思考3 对②的否定能否写成:
有些平行四边形不是菱形?
梳理
命题
命题的表述
全称命题p
∀x∈A,p(x)
全称命题的否定綈p
存在性命题q
∃x∈A,q(x)
存在性命题的否定綈q
∀x∈A,綈q(x)
知识点三 含有一个量词的命题p的否定的真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路:
一是直接判断綈p的真假;二是用p与綈p的真假性相反来判断.
类型一 命题的否定
例1 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最小值是-
且最大值是1;
(2)100是10或20的倍数.
反思与感悟
(1)对命题“p∧q”的否定,除将简单命题p、q否定外,还需将“且”变为“或”.对命题“p∨q”的否定,除将简单命题p、q否定外,还需将“或”变为“且”.
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假相反.
跟踪训练1 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:
三角形的内角和等于180°;
(2)p:
美国总统奥巴马是xx年度诺贝尔和平奖获得者.
类型二 全称命题的否定
例2 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)所有的正方形都是菱形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)直线l⊥平面α,则∀l′⊂α,l⊥l′;
(4)∀x>1,log2x>0.
反思与感悟
(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.
跟踪训练2 写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数;
(3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
类型三 存在性命题的否定
例3 写出下列存在性命题的否定,并判断其真假.
(1)∃x>1,使x2-2x-3=0;
(2)有些素数是奇数;
(3)有些平行四边形不是矩形.
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:
∃x∈A,p(x)成立⇒綈p:
∀x∈A,綈p(x)成立.
跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)某些平行四边形是菱形;
(3)∃x,y∈Z,使得
x+y=3.
类型四 全称命题、存在性命题的应用
例4 已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0.求实数p的取值范围.
反思与感悟 通常对于“至多”“至少”的命题,应采用逆向思维的方法处理,先考虑命题的否定,求出相应的集合,再求集合的补集,可避免繁杂的运算.
跟踪训练4 已知命题p:
∃x0∈R,x
+2ax0+a≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是________.
1.若p是真命题,q是假命题,则( )
A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题
C.綈p是真命题D.綈q是真命题
2.设命题p:
∃n∈N,n2>2n,则綈p为( )
A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n
3.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:
能被2整除的数是偶数;綈p:
存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:
有些矩形是正方形;綈p:
所有的矩形都不是正方形
C.p:
有的三角形为正三角形;綈p:
所有的三角形不都是正三角形
D.p:
∃x∈R,x2+x+2≤0;綈p:
∀x∈R,x2+x+2>0
4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________________________.
5.已知命题“∀x∈R,x2-5x+
a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________.
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题:
(1)确定命题类型,是全称命题还是存在性命题.
(2)改变量词:
把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰当的全称量词.
(3)否定结论:
原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 命题q是对命题p的否定,“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等.
思考2 ①p为真命题,q为假命题;②p为真命题,q为假命题.若p为真命题,则綈p为假命题.
梳理
(1)綈p p的否定 假命题
真命题
知识点二
思考1 ①并非所有的矩形都是平行四边形.
②每一个平行四边形都不是菱形.
思考2 不能.
思考3 不能.
梳理 ∃x∈A,綈p(x)
题型探究
例1 解
(1)命题是“p且q”的形式,其中p:
x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最小值是-
;q:
x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最大值是1.p真,q假,该命题的否定是“x∈(0,2),函数y=x2-x-1的最小值不是-
或最大值不是1”,这是“綈p或綈q”形式的复合命题,因为綈p假,綈q真,所以“綈p或綈q”为真命题.
(2)命题是“p或q”的形式,其中p:
“100是10的倍数”;q:
“100是20的倍数”.它的否定形式为“綈p且綈q”,即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题.
跟踪训练1 解
(1)綈p:
三角形的内角和不等于180°.
因为p为真,故綈p为假.
(2)綈p:
美国总统奥巴马不是xx年度诺贝尔和平奖获得者.
因为p为真,故綈p为假.
例2 解
(1)存在一个正方形不是菱形,是假命题;
(2)存在一个素数不是奇数,是真命题;
(3)直线l⊥平面α,则∃l′⊂α,l与l′不垂直,是假命题;
(4)∃x>1,log2x≤0,是假命题.
跟踪训练2 解
(1)存在一个矩形,不是平行四边形,是假命题.
(2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数,是真命题.
(3)∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一,是真命题.
例3 解
(1)∀x>1,x2-2x-3≠0,是假命题.
(2)所有的素数都不是奇数,是假命题.
(3)所有的平行四边形都是矩形,是假命题.
跟踪训练3 解
(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是“∀x,y∈Z,
x+y≠3”.当x=0,y=3时,
x+y=3,因此命题的否定是假命题.
例4 解 在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0的否定是在[-1,1]上的所有实数c,都有f(c)≤0恒成立.又由二次函数的图象特征可知,
即
即
∴p≥
或p≤-3.
故p的取值范围是-3
.
跟踪训练4 (0,1)
解析 方法一 若命题p:
∃x0∈R,x
+2ax0+a≤0是真命题,得Δ=(2a)2-4a≥0,
即a(a-1)≥0,若命题p是假命题,则a(a-1)<0,解得0 方法二 依题意,命题綈p: ∀x∈R,x2+2ax+a>0是真命题,得Δ=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0 当堂训练 1.D 2.C 3.C 4.有的向量与零向量不共线 5.( ,+∞) 2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件教学案新人教B版选修1-1 学习目标 1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性. 知识点一 命题的结构 思考1 你能把“内错角相等”写成“如果…,则…”的形式吗? 思考2 “内错角相等”是真命题吗? 梳理 命题的形式“如果p,则q”,其中命题的条件是p,结论是q. 知识点二 充分条件与必要条件的概念 给出下列命题: (1)如果x>a2+b2,则x>2ab; (2)如果ab=0,则a=0. 思考1 你能判断这两个命题的真假吗? 思考2 命题 (1)中条件和结论有什么关系? 命题 (2)中呢? 梳理 一般地,“如果p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作________,并且说p是q的________________,q是p的________________. 知识点三 充要条件的概念 思考1 命题“若整数a是6的倍数,则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系? 它的逆命题成立吗? 思考2 若设p: 整数a是6的倍数,q: 整数a是2和3的倍数,则p是q的什么条件? q是p的什么条件? 梳理 一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作________.此时,我们说,p是q的________________________,简称________________. 知识点四 充要条件的判断 1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分且必要条件(充要条件),即p⇒q且q⇒p; (2)充分不必要条件,即p⇒q且q⇒/p; (3)必要不充分条件,即p⇒/q且q⇒p; (4)既不充分也不必要条件,即p⇒/q且q⇒/p. 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 其中p: A={x|p(x)成立},q: B={x|q(x)成立}. 类型一 判断充分条件与必要条件 命题角度1 定义法判断充分条件与必要条件 例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件? (1)p: x-2=0,q: (x-2)(x-3)=0; (2)p: 两个三角形相似,q: 两个三角形全等; (3)在△ABC中,p: ∠A>∠B,q: BC>AC; (4)在△ABC中,p: sinA>sinB,q: tanA>tanB. 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法: ①确定谁是条件,谁是结论; ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法: ①如果命题: “如果p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题: “如果p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 跟踪训练1 下列各题中,p是q的什么条件? (指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p: 四边形的对角线互相平分,q: 四边形是矩形; (2)p: x=1或x=2,q: x-1= ; (3)p: m>0,q: x2+x-m=0有实根. 命题角度2 用集合观点判断充分条件、必要条件 例2 (1)“|x|<2”是“x2-x-6<0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)设集合M={x||x-1|<2},N={x|x(x-3)<0},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.必要不充分条件B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 反思与感悟 设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;q⇒p可得B⊆A;p⇔q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则AB.若BA,则p是q的必要不充分条件. 跟踪训练2 (1)“x>1”是“log (x+2)<0”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 (2)x> 的一个必要不充分条件是__________;x+y>0的一个充分不必要条件是________________. 类型二 充分条件、必要条件的应用 命题角度1 由四种条件求参数的范围 例3 已知p: 2x2-3x-2≥0,q: x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q的充分不必要条件.求实数a的取值范围. 反思与感悟 在涉及到求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时,常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系. 跟踪训练3 设p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,q: 实数x满足 若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________. 命题角度2 充要条件的探求与证明 例4 求关于x的一元二次不等式ax2-ax+1-a>0对于一切实数x都成立的充要条件. 反思与感悟 探求一个命题的充要条件,可以利用定义法进行探求,即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”,也可以寻求结论的等价命题,还可以先寻求结论成立的必要条件,再证明它也是其充分条件. 跟踪训练4 求证: 一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 1.“x2>2017”是“x2>2016”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.a<0,b<0的一个必要条件为( ) A.a+b<0B.a+b>0 C. >1D. <-1 3.下列命题为假命题的是( ) A.在△ABC中,B=60°是△ABC的三内角A,B,C成等差数列的充要条件 B.已知向量a=(x,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是x=-1 C.在△ABC中,A=B是sinA=sinB的充要条件 D.lgx>lgy是 > 的充要条件 4.若“x2+ax+b=0”是“x=1”的充要条件,则a=________,b=________. 5.已知p: 3x+m<0,q: x2-2x-3>0,若p是q的一个充分不必要条件,求m的取值范围. 1.充要条件的判断有三种方法: 定义法、命题等价法、集合法. 2.充要条件的证明与探求 (1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的,在证明时要注意两种叙述方式的区别: ①p是q的充要条件,则由p⇒q证的是充分性,由q⇒p证的是必要性; ②p的充要条件是q,则由p⇒q证的是必要性,由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件. 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 如果两个角为内错角,则这两个角相等. 思考2 不是. 知识点二 思考1 (1)真命题; (2)假命题. 思考2 命题 (1)中只要满足条件x>a2+b2,必有结论x>2ab;命题 (2)中满足条件ab=0,不一定有结论a=0,还可能有结论b=0. 梳理 p⇒q 充分条件 必要条件 知识点三 思考1 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立. 思考2 因为p⇒q且q⇒p,所以p是q的充分条件也是必要条件;同理,q是p的充分条件,也是必要条件. 梳理 p⇔q 充分且必要条件 充要条件 题型探究 例1 解 (1)因为x-2=0 ⇒(x-2)(x-3)=0, 而(x-2)(x-3)=0D⇒/x-2=0, 所以p是q的充分不必要条件. (2)因为两个三角形相似D⇒/两个三角形全等, 但两个三角形全等⇒两个三角形相似, 所以p是q的必要不充分条件. (3)在△ABC中, 显然有∠A>∠B⇔BC>AC, 所以p是q的充要条件. (4)取∠A=120°,∠B=30°,pD⇒/q; 又取∠A=30°,∠B=120°,qD⇒/p, 所以p是q的既不充分也不必要条件. 跟踪训练1 解 (1)因为四边形的对角线互相平分⇒/四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, 所以p是q的必要不充分条件. (2)因为x=1或x=2⇒x-1= , x-1= ⇒x=1或x=2, 所以p是q的充要条件. (3)因为m>0⇒方程x2+x-m=0的判别式Δ=1+4m>0,即方程有实根; 方程x2+x-m=0有实根, 即Δ=1+4m≥0⇒/m>0. 所以p是q的充分不必要条件. 例2 (1)A (2)A 解析 (1)由|x|<2,得-2 令A={x|-2 由x2-x-6<0,得-2 令B={x|-2 ∵AB,∴|x|<2是x2-x-6<0的充分不必要条件. (2)M={x|-1 ∵NM,∴a∈M是a∈N的必要不充分条件. 跟踪训练2 (1)B (2)x>0 x>0且y>0(答案不唯一) 例3 解 令M={x|2x2-3x-2≥0} ={x|(2x+1)(x-2)≥0} ={x|x≤- 或x≥2}, N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0} ={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0} ={x|x≤a-2或x≥a}, 由已知p⇒q,且q p,得MN. 所以 或 ⇔ ≤a<2或
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