运筹学课件例题集锦.docx

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运筹学课件例题集锦

1.1线性规划标准型

maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn

s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

am1x1+am2x2+….+amnxn=bmx1,x2….xn≥0

用两个变量的差值代替无约束变量，左边加一个变量将＜变=，左边减一个变量将＞变=。

目标函数左边乘-1将minZ变maxZ

1用对偶单纯形法解下列线性规划问题

minS=x1+4x2+3x4

s.t.x1+2x2-x3+x4≥3

-2x1-x2+4x3+x4≥2

x1，x2，x3，x4≥0

解：

此题可用人工变量方法求，但也可用对偶单纯形法。

maxS’=-x1-4x2-3x4

s.t.-x1-2x2+x3-x4+x5=-32x1+x2-4x3-x4+x6=-2

x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0

Cj

-1

-4

0

-3

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

0

x5

-1

-2

1

-1

1

0

-3

0

x6

2

1

4

-1

0

1

-2

σ

-1

-4

0

-3

0

0

0

常数项是负数且最小，确定出基变量x5。

用出基变量x5行的所有负数分别去除对应的检验数，最小值对应的为进基变量x1，交叉元素为主元（-1）主元运算：

第一行乘（-1）【提示:

表格同上，x5行对应数字乘-1，这里不抄】

主元运算：

第二行加上第一行乘（-2）【提示：

是对应第二张表的，继续画出表3】

计算检验数确定出基变量X6确定进基变量X3，主元（-2）

Cj

-1

-4

0

-3

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

0

x1

1

2

1

1

-1

0

3

0

x6

0

-3

-2

-3

2

1

-8

σ

0

-2

-1

-2

-1

0

-3

主元运算：

第一行加第二行乘（-1/2）【根据上表继续画表5，σ行不填】

计算检验数：

全为非正。

但此时常数b已全大于零，最优解=（7，0，4，0）

最优值S’=-7S=7

Cj

-1

-4

0

-3

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

-1

x1

1

7/2

0

1

-2

-1/2

7

0

x3

0

3/2

1

-3

-1

-1/2

4

σ

0

-1/2

0

-1/2

-2

-1/2

-7

2用对偶单纯形法解下列线性规划问题

minS=x1+2x2

s.t.-x1+2x2-x3≥1-x1-2x2+x3≥6x1，x2，x3≥0

解：

将原问题化成maxS’=-x1-2x2

s.t.x1-2x2+x3+x4=-1x1+2x2-x3+x5=-6x1,x2,x3,x4,x5≥0

Cj

-1

-2

0

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

b

0

X4

1

-2

1

1

0

-1

0

X5

1

2

-1

0

1

-6

σ

-1

-2

0

0

0

0

常数项最小出基变量X5，按比值无法比较。

常数项次小出基变量X4，按比值X2为进基变量。

主元（-2）

主元运算：

第一行乘（-1/2）【提示：

表格同上X4行对应数字乘-1/2，画出表格2】

主元运算：

第二行加第一行乘（-2）【提示：

是对表2而言的，画出表3】

常数项为负数的行元素全大于零，原问题无可行解。

3某地区在制定十年电力规划

设置决策变量设备选方案1，2，3的装机台数分别为x1、x2、x3，它们的年发电量分别为x6、x7、x8亿度，备选方案1无前期土建工程要求，备选方案2和3都需要前期土建工程，这两个前期土建工程是否施工用变量x4、x5代表。

则x1取值0-5之间的整数，x2、x3取值0-4之间的整数，x4、x5只能取0或1，x6、x7、x8大于零。

约束方程满足装机容量需求约束：

10x1+25x2+30x3≥180

满足规划年发电量需求约束：

x6+x7+x8≥100

各电站容量与发电量平衡方程：

每台机组发电量等于单机容量乘全年小时数，再乘与负荷因子，换算亿度量纲，即：

方案1：

x6=（0.66×8760×10/10000）×x1

方案2：

x7=（0.4×8760×25/10000）×x2

得三个约束方程：

5.782x1-x6=08.76x2-x7=018.39x3-x8=0

每个方案最多的装机台数约束：

方案1：

不需前期土建工程；x1≤5

方案2：

前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数；x2≤4x4

方案3：

前期土建工程是装机的先决条件，且小于最大允许数；x3≤4x5

变量取值限制x1、x2、x3≥0且整数x6、x7、x8≥0x4或x5=1前期土建工程要求

x4或x5=0无前期土建工程要求

设计目标函数目标函数：

年成本费用最低。

成本包括两大部分：

可变成本：

与发电量有关的成本，如：

原材料，燃料，动力和活劳动消耗等。

即参数表中年运行成本。

不变成本：

指与装机容量及前期土建投资有关的成本。

方案1：

单机投资×回收因子=21×0.103=2.163（百万元）

方案2：

单机投资×回收因子=70×0.0578=4.046（百万元）

方案3：

单机投资×回收因子=65×0.103=6.695（百万元）

方案2和3的前期土建投资的年资本回收成本分别为504×0.0578=29.131（百万元）

240×0.103=24.72（百万元）

对方案1，2，3每发一亿度电的运行成本分别为4.11,2.28,3.65百万元。

则数学模型如下：

MinZ=2.163x1+4.046x2+6.695x3+29.131x4+24.72x5+4.11x6+2.28x7+3.65x8

s.t.10x1+25x2+30x3≥180x6+x7+x8≥100

4某石油公司四厂七售区

炼油厂

1

2

3

4

日产量

35

25

15

40

销售区

1

2

3

4

5

6

7

日最大售量

25

20

10

25

10

15

10

解：

平衡问题，用最小元素法求初始方案。

计算检验数。

闭合回路。

最优方案如下，最小运费=元有非基变量的检验数=0，有无穷多组解，另外一个解如下：

5铁路列车编组站

M/M/1/∞/∞排队问题。

其中λ=2，μ=3，ρ=λ/μ=2/3<1系统中列车的平均数

Ls=ρ/（1-ρ）=（2/3）/（1-2/3）=2（列）

列车在系统中的平均停留时间Ws=Ls/λ=2/2=1（小时）系统中等待编组的列车平均数Lq=Ls-ρ=2-2/3=4/3（列）列车在系统中的平均等待编组时间Wq=Lq/λ=（4/3）/（1/2）

=2/3（小时）记列车平均延误（由于站内

2股道均被占用而不能进站）时间为W0

则W0=WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}=

W{1-（l-ρ）-（l-ρ）ρ1-（l-ρ）ρ2}

=1*ρ3=ρ3=（2/3）3=0.296（小时）

故每天列车由于等待而支出的平均费用E=24λW0a=24*2*0.296*a=14.2a元

6某修理店只有一位修理工

解：

M/M/1/∞/∞排队问题.其中λ=4，

μ=1/0.1=10（人/小时），ρ=λ/μ=2/5<1

修理店内空闲的概率P0=1-ρ=（1-2/5）=0.6

店内恰有3个顾客的概率

P3=ρ3（1-ρ）=（2/5）3（1-2/5）=0.038

店内至少有1位顾客的概率P{N≥1}

=1-P0=1-（1-ρ）=ρ=2/5=0.4在店内平均顾客数L=ρ/（1-ρ）=（2/5）/（1-2/5）=0.67（人）每位顾客在店内平均逗留时间W=L/λ=0.67/4=10分钟等待服务的平均顾客数Lq

=L-ρ=0.67-2/5=0.27（人）

每个顾客平均等待服务时间Wq=Lq/λ=0.27/4=0.0675小时=4分

7某单人理发店有6个椅子

N=7为系统中最大的顾客数，λ=3人/小时，μ=4人/小时

1）、某顾客一到达就能理发的概率相当于理发店内无顾客的概率：

P0=（1-ρ）/1-ρN+1=［1-（3/4）］/［1-（3/4）7+1］=0.2778

2）、需要等待的顾客数的期望值？

LS=（ρ/1-ρ）-［（N+1）ρN+1］/（1-ρN+1）

=［（3/4）/1-（3/4）］-［8×（3/4）8］/［1-（3/4）8］=2.11

Lq=Ls-（1-P0）=2.11-（1-0.2778）=1.39（人）

3）、求有效到达率？

λe=μ（1-P0）=

4（1-0.2778）=2.89（人/小时）

4）、求一顾客在理发馆内逗留的期望时间？

Ws=Ls/λe=2.11/2.89=0.73（小时）=43.8（分钟）

5）、在可能来的顾客中不等待就离开的概率就是求系统中有7个顾客的概率：

P7=［（1-ρ）ρn]/[1-ρN+1]=

[（1-0.75）0.757]/[1-0.758]=3.7%

8某车间有5台机器

解：

m=5,λ=1/15，μ=1/12,ρ=λ/μ=0.8

1）、P0=[0.80×5!

/5!

+0.81×5!

/4!

+0.82×5!

/3!

+0.83×5!

/2!

+0.84×5!

/1!

+0.85×5!

/0!

]-1

=1/136.8=0.0073

2）、P5=0.85×5!

/0!

×P0=0.2873）、Ls=5-（1/0.8）×（1-0.0073）=3.76（台）

4）、Lq=3.76-（1-0.0073）=2.77（台）5）、Ws=[5/（1/12）（1-0.0073）]-15=46（分钟）

6）、Wq=46-12=34（分钟）

7）、机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间，应当提高服务效率，减少修理时间或增加修理工人。

9某售票处有三个窗口

解：

这是一个M/M/c/∞/∞型排队问题。

其中c=3,λ/μ=0.9/0.4=2.25,ρ=λ/cμ=0.75＜1

1）、整个售票处空闲的概率？

P0=[（2.25）0/0!

+（2.25）1/1!

+（2.25）2/2!

+（2.25）3/3!

×1/（1-0.75）]-1=0.07482）、平均队长？

lq={[（2.25）3×0.75]/[3!

（1-0.75）2]}×0.0748=1.7

Ls=1.7+2.25=3.953）、平均等待时间和逗留时间？

Wq=1.7/0.9=1.89（分钟）;Ws=3.95/0.9=4,394）、顾客必须等待的概率？

P（n≥3）=P（1-P0-P1-P2）

=1-0.0748-[1×（2.25）1×0.0748]/1!

-1×（2.25）2×0.0748]/2!

=1-0.0748-0.1683-0.1893=0.5676

10两个修理工人5台机器

解：

根据题意，m=5,λ=1（次/小时），μ=4（台/小时）c=2,ρ=mλ/cμ=5/8=0.625,cρ/m=0.25

P0=（1/5!

）[（1/5!

）（1/4）0+（1/4!

）（1/4）1+（1/2!

3!

）（1/4）2+（22/2!

）（1/2!

）（1/8）3+（1/8）4+（1/8）5］-1=0.315P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018,P5=0.002

1）、Lq=P3+2P4+3P5=0.1182）、Ls=P1+2P2+3P3+4P4+5P5=1.092

3）λe=1×（5-1.092）=3.9084）Wq=0.118/3.908=0.03（小时）5）Ws=1.092/3.908=0.28小时

11某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录

（1）算出每小时病人平均到达率=∑nfn/100=2.1（人/小时）

每次手术平均时间=∑vfv/100=0.4（小时/人）每小时完成手术人数=1/0.4=2.5（人/小时）

（2）取λ=2.1μ=2.5。

可认为病人到达服从泊松分布，手术时间服从负指数分布。

（3）ρ=λ/μ=2.1/2.5=0.84说明服务机构（手术室）有84%的时间是繁忙的，16%空闲

（4）病房中病人数Ls=2.1/（2.5-2.1）=5.25（人）

排队等待病人数Lq=0.84×5.25=4.41（人）病人逗留时间Ws=1/（2.5-2.1）=2.5（小时）

病人排队等待时间Wq=0.84/（2.5-2.1）=2.1（小时）

12目标规划某人有一笔50万元的资金可用于长期投资

解：

设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例，则模型如下：

MaxZ=11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7

s.t.3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6≤511x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7≥13

x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6≤415x2+30x3+20x4+5x5+10x6≥10

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0

整数规划整数规划的一般数学模型:

max（min）Z=Σcjxjs.t.Σaijxj≤bi（i=1,2,…m）

xj≥0且部分或全部是整数

13登山准备

序号

1

2

3

4

5

6

7

物品

食品

氧气

冰镐

绳索

帐篷

相机

设备

重量

5

5

2

6

12

2

4

重要系数

20

15

18

14

8

4

10

解：

令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登山队员不携带物品则问题表示成0-1规划:

maxZ=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7

s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25xi=1或xi=0i=1,2,….7

14某机械化施工公司

解：

设每天安排WY50、WY75、WY100液压挖掘机和5t、8t、15t自卸汽车各是X1、X2、X3、X4、X5、X6台，则根据题意建立整数规划模型为：

MinZ=880X1+1060X2+1420X3+318X4+458X5+726X6

S.t401X1+549X2+692X3≥98028X4+45X5+68X6≥980

28X4+45X5+68X6≥401X1+549X2+692X3

X1≤4X2≤2X3≤1X4≤10X5≤20X6≤10Xj≥0,且为整数。

15某种农作物在生长

解：

假设用甲、乙、丙、丁为X1、X2、X3、X4公斤。

数学模型为：

minS=4x1+15x2+10x3+13x4

s.t.0.03x1+0.3x2+0.15x4≥330.05x1+0.2x3+0.1x4≥240.14x1+0.07x4≥24

x1，x2，x3，x4≥0将模型化为：

maxS=-4x1-15x2-10x3-13x4

-0.03x1-0.3x2-0.15x4+x5=-33-0.05x1-0.2x3-0.1x4+x6=-24

-0.14x1-0.07x4+x7=-24x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0

初始可行基B1=（P5，P6，P7）

Cj

-4

-15

-10

-13

0

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

b

0

x5

-0.03

-0.3

0

-0.15

1

0

0

-33

0

x6

-0.05

0

-0.2

-0.10

0

1

0

-24

0

x7

-0.14

0

0

-0.07

0

0

1

-42

σ

-4

-15

-10

-13

0

0

0

0

第三行乘以1/（-0.14）【提示：

根据上表，x7对应行乘那个数字，画出表2】

第一行加上第三行乘（0.03）【提示：

对表2而言的，是变第一行，第三行同表2.画表3】

第二行加上第三行乘（0.05）【提示：

对表3而言的，是变第二行，第三行同表3.画表4】

第一行除（-0.3）计算检验数

Cj

-4

-15

-10

-13

0

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

b

-15

x2

0

1

0

0.45

-3.33

0

0.7

80

0

x6

0

0

-0.2

-0.075

0

1

-0.36

-9

-4

x1

1

0

0

0.5

0

0

-7.14

300

σ

0

0

-10

-4.25

-49.95

0

-18.06

-2400

第二行除以（-0.2）

Cj

-4

-15

-10

-13

0

0

0

CB

XB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

b

-15

x2

0

1

0

0.45

-3.33

0

0.7

80

0

x6

0

0

1

0.375

0

-5

1.8

45

-4

x1

1

0

0

0.5

0

0

-7.14

300

σ

-2850

最优解（300，80，45）最优值S’=-2850S=2850

16设有街道图，求他的最优投递路线。

有四个奇顶点配成两对v2v4，v6v8

（1）任取v2v4通路v2v1v8v7v6v5v4任取v8v6通路v8v1v2v3v4v5v6

将通路上的边各重复一次，无奇顶点是欧拉图，有第一个可行方案

重复边总长为=51

（2）调整可行方案：

有二条重复边的去了。

重复边总长为=21，检查图中圈：

总权=24重复边长=14大于24/2

（3）去了原重复边，添上原没有的重复边，重复边总长=17，检查图中圈：

总权=24，

圈上重复边长=13大于24/2（4）去了原重复边，添上原没有的重复边

重复边总长=15，得最优方案

17一个工厂要将产品送到火车站

解

（1）将各弧的单位运费作为长度，求v0到vn的最短

增流路v0v1v3v4vn，路长为8，可增加1单位的流值。

（2）再求v0到vn的最短增流路v0v1v4vn，路长为9，可增加2单位的流值。

（3）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v1v4vn，

路长为14，可增加1单位的流值。

（4）再求v0到vn的最短增流路v0v2v3v5vn，路长为18，可增加2单位的流值。

最大流为8，最小运费=3×3+5×4+3×4+1×1+3×2+2×2+2×9+4×2+4×3=90

18一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若不允许缺货

解:

R=6000台/月，c3=1200元，c1=0.10元/月,k=20元。

19一家电脑制造公司自行生产扬声器用于自己的产品若允许缺货

解：

R=6000台/月,c3=1200元,k=20元,c1=0.10元/月,c2=1元/只。

、

20某店拟出售甲商品

解：

该站的缺货损失每单位商品为70-50=20。

滞销损失每单位商品50-40=10，故k=20，h=10

·

21设某公司利用塑料作原料制成产品出售

解：

1、计算临界值N=（C2-K）/（C1+C2）=（1015-800）/（1015+40）=0.204

2、选使不等式成立的Si最小值作S

3、原存储I=10，订货量Q=S-I=40-10=30

4、求s。

由于已算出S=40，可以作为s的r值只有30或40两个值。

将30作为s得：

800×30+1015×［（40-30）×0.2+（50-30）×0.4+（60-30）×0.2］=40240

将40作为s值，得：

60+800×40+40×［（40-30）×0.2］+1015×［（50-40）×0.4+（60-40）×0.2］=40260

即左端数值为40240，右端数值为40260，不等式成立，30已是r的最小值，故s=30.

故存储策略为：

每个阶段开始时检查存储量I，当I＞30箱时不必补充存储。

当I≤30箱时补充存储量达到40箱。

22木器厂有六个车间，办事员经常要到各个车间了解生产进度。

最短路

23有一批货物要从v1运到v9求最短运输路线

24企业要制定一台重要设备更新的五年计划目标是使总费用最小

解：

用点vi表示年初。

（i=1,2,…6），v6表示第五年底。

弧aij=（vi，vj）表示第i年初购置设备使用到第j年初的过程。

对应的权期间发生的购置费用和维修费用之和。

原问题转变为从v1到v6的一条最短路。

得到两条最短路（v1,v3,v6）（v1,v4,v6）

表示在第一、三年或第一、四年各购置一台设备，总费用都为53万元。

25已知一个地区的交通网络如下，医院。

。

。

平均路程最短

解：

这是一个选择地址问题，实际要求出图的中心，可化成一系列求最短路问题。

先求出v1到其他各点的最短路长dj，令d（v1）=max（d1,d2…d7），表示若医院建在v1，则离医院最远的小区距离为d（v1）依次计算v2，v3….v7到其余各点的最短路，类似求出d（v2）d（v3）….d（v7），d（vi）中（I=1，2…7）中最小者。

求出各个小区到区中心医院的平均路程的最小者？

由于d（v6）=48最小，，此时离医院最远小区距离为48，比医院建在其他小区时距离都短。

同时将区医院建在v6，平均路程为23.71，比医院建在其他小区时距离都短，所以医院应建在v6。

26网络中最大流

解：

（1）增流路：

v0v3v1v2vn增流值=2

（2）增流路：

v0v2vn增流值=4f=6

（3）增流路：

v0v1v2v4vn增流值=4（4）增流路：

v0v3vn增流值=3f=13

（5）增流路：

v0v1v5v4vn增流值=3（6）增流路：

v0v1v3v4vn增流值