九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练.docx
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九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练
九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练
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一.解答题
1.如图,在平而直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A(-1,0)、B(4,0)、C
(0,4)三点,点P是直线BC下方抛物线上的一动点・
(2)是否存在点P,使∆POC是以OC为底边的等腰三角形?
若存在,求出P点坐标:
若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位垃时,四边形PBOC而积最大?
求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大而积.
2.如图,二次函数y=^χ+bx+c的图像经过M(0,3),N(-2-5)两点.
一点.P点横坐标为加.
(1)求α的值;
(2)若P为二次函‰=α(x-l)(x-3)(α>0)图像的顶点,求证:
ZACO=ZPCB:
(3)Q(也+H,H)为二次函^y=a(x-l)(x-3)(a>0)图像上一点,且ZACo
=ZQCB,求n的取值范用・
4.
如图,已知二次函数yl=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0),C(OJ),且对称轴
(2)若点B,C关于抛物线的对称轴对称,根据图像直接写出满足y1>y2时X的取值
范围.
5.已知如图,二次函数y=Max2M+bx+c的图像过A、B、C三点
观察图像写出A.B、C三点的坐标
求岀二次函数的解析式
6.已知二次函数y=-χ2+(,w-2)x+3(m+l)的图像如图所示•
(1)当m≠-4时,说明这个二次函数的图像与X轴必有两个交点:
(2)如图情况下,若OAoB=6^求点C的坐标.
7.已知二次函数y=t∕√-5x+c的图像如图所示.
(1)求这个二次函数的解析式:
(2)观察图像,直接写出:
何时)'随X的增大而增大?
何时y<0?
8.已知二次函数的图像如图所示.
(1)求这个二次函数的表达式:
(2)观察图像,当-2<%<1时,写出y的取值范围.
9.如图,已知二次函数y=ax1+bx+3的图像经过点A(L0),B(一2,3)・
(1)求该二次函数的表达式:
(2)求该二次函数的最大值:
(3)结合图像,解答问题:
当y>3时,X的取值范用是・
-2的图像与X轴交于A.B两点(点A在点B的左侧),
(1)求A.3两点的坐标:
(2)若P(∕-2)为二次函数j=x2-x-2图像上一点,求加的值.
参考答案
1.(I)y1=√-3x-4;
(2)存在满足条件的P点,其坐标为(匕』了,_2):
(3)16.
【解析】
【分析】
(1)由A、B、C三点的坐标,利用待宦系数法可求得抛物线解析式:
(2)由题意可知点P在线段Oe的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;
(3)过P作PE丄X轴,交X轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示岀PF的长,则可表示岀四边形PBOC的而枳,利用二次函数的性质可求得四边形PBOC≡积的最大值及P点的坐标
【详解】
解:
(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得
a-b+c=0
'16α+4b+c=0,
c=-4
解得<b=-3,
c=-4
•••抛物线解析式为y=x2-3x-4:
(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图2,
APO=PC,此时P点即为满足条件的点,
VC(0,-4),
∙∙∙D(O,-2)t
∙∙∙P点纵坐标为-2,
代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2,解得X=3—∕∏(小于0,舍去)或X=辿I,
22
•••存在满足条件的P点,其坐标为(Ml,・2)・
2
(3)T点P在抛物线上,
•••可设P(t,t2-3t-4),
VB(4,0),C(0,-4),
・•.直线BC解析式为y=x-4,
ΛF(ttt-4),
ΛPF=(t∙4)・(t2∙3b4)=-t2+4tt
∙φ∙S四边形刖(疋=S厶PBC+»BCO=S/FC+S∖PFB+
=丄PF∙OE+丄PF∙BE+丄×OC∙BO=丄PF(OE+BE)+丄×4×4
22222
=IPFeOB+8=4(-t2+4t)×4+8=-2(t-2)2+16,
22
・•.当t=2时,S四边形咖C最大值为16,此时t2-3t-4=-6,
・••当P点坐标为(2,-6)时,四边形PBOC的最大面积为16.
【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及待左系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想
等知识.在
(1)中注意待立系数法的应用,在
(2)中确左岀P点的位程是解题的关键,在
(3)中用P点坐标表示出四边形PBOC的而积是解题的关键.
2.
(1)y=-x2+2x+5:
(2)6:
(3)P(IJ)
【解析】
【分析】
(1)将MN两点代入y=—F+bx+c求出b,c值,即可确定表达式:
(2)令严0求X的值,即可确定A、B两点的坐标,求线段AB长,由三角形面积公式求解.
(3)求岀抛物线的对称轴,确立M关于对称轴的对称点G的坐标,直线NG与对称轴的交点即为所求P点,利用一次函数求出P点坐标•
【详解】解:
将点M(0,3),N(-2、-5)代入y=一/+加中得,
c=3
-4-2"+c=-5'
(b=2
解得,↑C,
[c=3
∙∙∙y与X之间的函数关系式为,v=-x2+2x+3:
(2)如图,当y=0时,-F+2x+3=0,
・∙X]=3,X2=■1»
ΛA(-l,0).B(3,0),∙∙∙AB=4,
/•Saabm=—×4×3=6.
2
即ΔABM的而积是6.
fC
(3)如图,抛物线的对称轴为直线X=-—=-—=1,Ia-2
点M(0,3)关于直线x=l的对称点坐标为G(2,3),
.∙.PM=PG.
连MG交抛物线对称轴于点P・此时NP+PM=NP+PG最小,即∆MNP周长最短.
设直线NG的表达式为y=mx+n,
将N(∙2,∙5),G(2,3)代入得,
一2〃?
+n=-5
2/77+7?
=3
[in=2
解得,{「
77=-1
.∖y=2m-l,
∙∙∙P点坐标为(1,1)∙
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题,涉及待定系数法求解析式,图象的交点问题,利用对称性
解决线段和的最小值问题,利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图,二次函数y=-x2+bx+c的图像经过M(0,3).N(-2r5)两点.
3・
(1)1:
(2)证明见解析:
(3)-1<λ<1∏Jc∣ 【解析】试题分析: (1)把点C(0,3)代Λy=a(x-I)(X-3)(α>0)即可求岀“1; (2)求出点P的坐标,再求出CP=2帖,BP=屆CB=3√2,判断岀ABCP为直角三角形,通过解直角三角形,得出^nZACO=IanZPCB.从而证出: ZACO=ZPCB; (3)通过分类讨论,即可得岀-l 试题解析: (1)把点C(0,3)代Ay=α(x-l)(x-3)(α>0)得: 3=3“ .∖a=∖ 即“的值为1 (2)Vd=I •••抛物线的解析式为: y=(%-I)(X-3)=X2-4%+3=(%-2)2-1 : .P(2,-1) YB(3,0),C(0,3) ΛCP=2√5>BP=√2,CB=3√2 : .BPZ+BC2=20,CP? =(2√5)2=20 : .BP2+BC2=CP2∙∙∙ZCBP=90°•••tanZPCB孚=為=扌 VtanZAOC=-=- OC3 AtanZPCB=IanZAOC : .ZAoC=ZPCB (3)(i)当点。 在BC左侧的抛物线上时 由 (2)可知Q(2,・1) /.m+n=2 •・•P为A-轴下方二次函数v=t∕(x-l)(A∙-3)G∕>0)图像上一点 Λ∖ : .1<2-h<3 Λ-l (ii)当点O在BC右侧的抛物线上时 延长CQ交X轴于点E、过点E作EF丄CB交CB的延长线于点F TZACo=ZQCB ΛtanZΛCO=tanZQCB .OA_EF ■■--— OCCF 设EF长为X •£=H ••亍_”+3返 解得: x=∣√2 ∙∙∙BE=3 : .E(6,0)•ICE的解析式为: y=-^x+3 I一7 ⅛{y≡√x+3解得rE y=χ2-4%+3V1=-卩2_3 4 ・•&'》 ・・.〃吨 ∙∙Tsv3 ∙∙∙IVSV3 2 Λ- 22 综上所述: n的取值范围是-l 4・ (1)y=χ2+4λ+3: (2)X≤-4∏Jcx≥-l 【解析】 【分析】 (1)利用待左系数法,把问题转化为方程组解决即可. (2)根据函数图象,二次函数图象在一次函数图象的上方,注意等于号. 【详解】 a-h+c=O解: (1)由题意{C=3, -±=-2 ・2a CI=1解得杯=4, c=3 ・•.二次函数的解析式为y=√+4x+3(顶点式、交点式、一般式均可) (2)根据题意得,B点坐标为(-4,3),A点坐标为(-1,0),观察图像可知,y⅛∕2时,XW ∏Jcx≥-l 【点睛】 本题考査二次函数的应用、一次函数的应用、待左系数法等知识,解题的关键是熟练掌握待 定系数法确左函数解析式,学会利用图象根据条件确定自变量的取值范国. 5.A(-1.0)B(0,-3)C(4,5)y=x2-2x-3 【解析】 本题考查了用待立系数法确疋二次函数的解析式. (1)直接读岀A(-1,O),B(0,-3),C(4,5); (2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,然后把A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)代入解析式得到关于a,b,C的方程组,解方程即可. 解: (1)由图象可得,A(-1,0),B(0,-3),C(4,5), (2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 把A(-1,0),B(0-3),C(4,5)分别代入解析式得, a-b+c=0①, c=-3②, 16a+4b+c=5③, 解由①②③组成的方程组得,a=l,b=-2,c=-3, .*.y=x2-2x-3, 所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3. 6. (1)证明见详解 (2)C的坐标是(0,6) 【解析】 【分析】 (1)根据求得△值,再根据A>0来判断二次函数的图象与X轴必有两个交点: (2)将求二次函数y=-x2+(m-2)x+3(m+l)与X轴的交点转化为求方程∙x2+(m-2)x+3 (m+l)=0的解,再根据一元二次方程根与系数的关系,可求得m的值,再将m的值代入二次函数.由图中不难发现C点是二次函数与X轴的交点,令x=0,求得y的值.至此C点坐标确定. 【详解】 解: (1)VΔ=(m-2)2-4(-1)∙3(m+l)=(m+4)2 ∙/m≠-4 ΛΔ=(m+4)2>0, ・••抛物线与X轴必有两个交点: (2)设方f! ι! -X2+(m—2)x+3(m+l)=O的两根为Xi、X2,且XlVO,X2>0由图可知IoAl=IXlI,∣6>^∣=Ix21,由OAOB=6,可知xlx2=-6 根据根与系数的关系,可知-3(/77+1)=-6, KIJm=1.于是二次函数的解析式为y=-x2-x+6, 把x=0代入y二-『-x+6,得y=6, 所以C的坐标是(0,6). 【点睛】 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点.主要考査学生数形结合的数学思想方法. 75 7. (1)y=jr-5x+4; (2)x≥—;1 2 【解析】 【分析】 (1)如图y=ax2Sx+c'd两点,代入这两点求系数“疋,确泄解析式. (2)如图在对称轴的右边$随X的增大而增大,求对称轴即可得;当y 1 【详解】 (1)解: 如图y=dΛj-5χ∙+c过(1,0),(4,0)两点,把这两点代入γ=αr2-5x+c可得: α-5+c=0 16α-20+c=0 a=1 解得 c=4 代入y=2-5x+c可得这个二次函数的解析式为y=F-5x+4. b-55 (2)由对称轴X=-——可得X=-—=—, Ia22 如图二次函数是开口向上的图形,二次函数的性质可得在对称轴右边的y值随X的增大而增大,即χ≥∣时可满足题意: 如图当yvθ时,要取得X轴下方,即lvx<4可满足题意. 2 【点睛】 考查用待立系数法求二次函数解析式,二次函数的图像与性质. 8. (1)>∙=(λ+1)2-4 (2)-4≤y<0 【解析】 【分析】 (2)根据已知顶点和另一点根据顶点式求解: (2)先与对称轴进行比较,再代入求解. 【详解】 (1)设y=a(x+h)2-k. Y图像经过顶点(一1,-4)和点(1,0), .∙.y="(x+1)2-4. 将(1,0)代入可得α=l, .∙.y=(x+l)2—4. (2)-4≤y<0. 【点睛】 本题考査的是二次函数,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 9. (1)y=-√-2x+3; (2)当X=—1时,该二次函数的最大值为4:
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- 九年级 数学 二次 函数 图像 解答 10 专题 训练
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