高考数学总复习三角函数.docx
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高考数学总复习三角函数
高考数学总复习第七讲:
三角函数
一、三角函数的图象和性质
一、教学目的:
1.使学生熟知三角函数的基本性质,并能以此为依据研究一些
解析式为三角式的函数的性质,切实掌握判定目标函数的奇偶性,
确定其单调区间及周期的方法。
2.会求函数 y=Asin(ωx+φ)的周期,或者经过简单恒等变形便
可转化为上述函数的三角函数的周期;
3.了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画
法,会用“五点法”画四函数及 y=Asin(ωx+φ)的简图,并能解决
与正弦曲线有关的实际问题。
考试内容:
用单位圆中的线段表示三角函数值;正、余弦与正、
余切函数的图象和性质;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象。
二、基本三角函数的图象
y=sinxy=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域 R
R
{x | x ≠ kπ +
π
π,
值域[-1,1][-1,1]
R
x∈R}
R
周期性 最小正周期 2π最小正周期 最小正周期π
2π
最小正周
期π
单 调 区 增区间
增区间
增区间
减区间
间
k∈z
π π
2
2 2 2 2
减区间
3π 减区间
[2kπ + π 2
]
2 [2k π, 2k π
+π]
(k π, k
π+π)
最值点 最
大
值
点 最大值点
无 无
k∈z
π
(2kπ + ,1)
2
最小值点
(2kπ - π
(2kπ,1)
最小值点
(2kπ+π,
-1)
对 称 中 (kπ,0)
心
(kπ +
π
2 ,0)
( kπ ,0)
2
k∈z
对称轴
k∈z2
x=kπ 无 无
三、
(一)性质——单调性、奇偶性、周期性(注意书写格式
及对角的讨论)
例 1.用定义证明:
f(x)=tgx 在 (- π , π ) 递增。
2 2
例 2.比较下列各组三角函数的值的大小
(1)sin194°和 cos160°;
(2) ctg (- 43 π ) 和 ctg (- 74 π )
1519
(3) sin(sin 3π ) 和 sin(cos 3π ) ;
88
(4)tg1,tg2 和 tg3;
(1)>
(2)<(3)>(4)tg2 化为同名、角在同一单调区间内的函数,进而利用增减性比较函 数值大小。 例 3.求下列各函数的单调区间 (1) y = -2 cos( x + π ) ; 23 (2) y = 1 - sin 2 x + 3 cos 2 x (减区间) (3) y = - sin 2 x + sin x ; (4) y = log cos( x + π ) (增区间) 1 π (1 )4k π-2 π/3≤x ≤4k π+4 π/3 (增); 4k π+4 π/3 ≤x≤4k π +10π/3(减),k∈z (2) [kπ - π ,kπ + 5π ],k ∈ z 1212 ( 3 ) [2k π - π /2 , 2k π + π /6] 与 [2k π + π /2 , 2k π +5 π /6] (增); (4)6kπ-3π/4≤x<6kπ+3π/4 [2kπ-π/6,2kπ+π/2]与[2kπ+5π/6,2kπ+3π/2](减); k ∈ z 例 4.有以下三个命题; (1)因为 sin(0+π)=sinπ=0,sin(π+π)=sinπ=0, sin(2π+π)=sinπ=0,所以π是 y=sinx 的周期; (2)因为 sin3x=sin(3x+2π),所以 y=sin3x 的最小正周期是 2π; (3)设ω≠0,因为 sin ωx = sin(ωx + 2π ) = sin ω ( x + 2π ) , ω 所以 y=sinωx 的周期为 2π 。 ω 其中正确的命题的个数为() A.0B.1C.2D.3 例 5 求下列函数最小正周期 (1) y = cos 2 (π x + 2) ; (1)T=1; (2) y = tg x - ctg x ; (2) T = | a | x ; aa2 (3) y = sin( x + π ) sin(π - x) ;(3)T=π; 36 (4) y = cos 4 x - sin 4 x ;(4)T=π; (5) y = cos x ;(5)T=2π; 1 + sin x (6) y =2tg 2 x ;(6) T = π ; 1 + tg 22 x2 (7)y=|sin2x|;(7) T = π ; 2 例 6 求函数 y = 4sin x(1 - tan 2 x) 的周期。 sec x(1 + tan 2 x) 解: y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4x 注意到函数的定义域为{x|x∈R,且 x ≠ kπ + π ,k∈z} 2 在直角坐标系中,画出其图象 观察图象并根据周期函数的定义,可直所求函数的周期是π。 例 7.已知函数 f ( x) = sin nπ (n ∈ N ) , 3 求: f (1)+f (2)+f(3)+……+f(100)的值。 解: 由函数 f (n) = sin nπ (n ∈ N ) 的周期为 6 3 可知 f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0 又 100=6×16+4 ∴f (1)+f (2)+……+f(100) =f (1)+f (2)+f(3)+f(4) 333 ++ 0 -= 2222 例 8.求下列函数的最小正周 (1) y =| sin(2 x - π ) | 3 (1) T = π 2 (2) y =| sin(2 x - π ) + 1 | 32 (2)T=π 求周期的一般思路大致有两种: 一是化目标函数为单函数的形 式,如 y=Asin(ωx+φ)+B;二是可结合图象进行判断。 例 10.试判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=|sinx|-xctgx; (2)f(x)=sinx-cosxtgx; (3) f ( x) = 1 + sin x - cos x ;非奇非偶函数 既奇又偶函数 1 + sin x + cos x 说明: 定义域在数轴上关于原点对称,是函数具有奇偶性的必要 不充分条件,所以在判断函数的奇偶性时,一定首先判断函数的定 义域的对称性; 在等价变换的前提下,一般先化简解析式,再判断奇偶性,如 (2): 函数图象的初等变换: 平移变换与伸缩变换;对称变换 平移变换与伸缩变换一注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移 量不同,即综合多步变换时,要考虑变换顺序。 四、 (二)y=Asin(ωx+φ) ω>0 的图象及变换 相位变换周期变换振幅变换 (1) −−−−−→ (2) −−−−−→(3) −−−−−→ (左、右平移)(左、右伸缩)(上、下伸缩) 周期变换相位变换振幅变换 (1) −−−−−→ (2) −−−−−→(3) −−−−−→ (左、右伸缩)(左、右平移)(上、下伸缩) 三、y=Asin(ωx+φ)的图象与变换 相位变换-φ>0 左移;φ<0 右移; 周期变换 - ω>1,横坐标缩短 1 倍;0< ω<1,横坐标伸长 1 ωω 倍;
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- 高考 数学 复习 三角函数