完整word版高三数学解析几何大题专项训练.docx
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完整word版高三数学解析几何大题专项训练
解析几何大题专项训练
由于解析几何大题重点考察直线与圆锥曲线的几何性质和交叉知识的综合应用,涉及的内容丰富,易于纵横联系,对于考察学生的数学素质,综合解答问题的能力和继续学习能力有着重要的作用。
同时,解析几何大题又是学生的一大难点,经常是入题容易,出来难。
因此加大解析几何大题的专题训练很有必要。
例1、山东07年(21)(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在
轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线
与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:
直线
过定点,并求出该定点的坐标.
例2、湖北(本小题满分12分)
在平面直角坐标系
中,过定点
作直线与抛物线
(
)相交于
两点.
(I)若点
是点
关于坐标原点
的对称点,求
面积的最小值;
(II)是否存在垂直于
轴的直线
,使得
被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值?
若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由.
例3、(本小题满分13分)如图,设抛物线
的准线与
轴交于
,焦点为
;以
为焦点,离心率
的椭圆
与抛物线
在
轴上方的一个交点为
.
(Ⅰ)当
时,求椭圆的方程及其右准线的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,直线
经过椭圆
的右焦点
,与抛物线
交于
,如果
以线段
为直径作圆,试判断点P与圆的位置关系,并说明理由;
(Ⅲ)是否存在实数
,使得△
的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数
;若不存在,请说明理由.
例4、(小题满分14分)
如图,与抛物线x2=-4y相切于点A(-4,-4)的直线l分别交x轴、y轴于点F、E,过点E作y轴的垂线l0.
(I)若以l0为一条准线,中心在坐标原点的椭圆恰与直线l也相切,切点为T,求椭圆的方程及点T的坐标;
(II)若直线l与双曲线6x2-λy2=8的两个交点为M、N,且点A为线段MN的中点,又过点E的直线与该双曲线的两支分别交于P、Q两点,记
在x轴正方向上的投影为p,且(
,求(I)中切点T到直线PQ的距离的最小值.
例5、(本小题满分14分)
已知椭圆C过点
是椭圆的左焦点,P、Q是椭圆C上的两个动点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证:
线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;
(3)设点A关于原点O的对称点是B,求|PB|的最小值及相应点P的坐标。
例1【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
,
(II)设
,由
得
,
,
.
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点
,
,
,
,
,解得
,且满足
.
当
时,
,直线过定点
与已知矛盾;
当
时,
,直线过定点
综上可知,直线
过定点,定点坐标为
例2、【标准答案】本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
解法1:
(Ⅰ)依题意,点
的坐标为
,可设
,
直线
的方程为
,与
联立得
消去
得
.
由韦达定理得
,
.
于是
.
,
当
时,
.
(Ⅱ)假设满足条件的直线
存在,其方程为
,
的中点为
,
与
为直径的圆相交于点
,
的中点为
,
则
,
点的坐标为
.
,
,
,
.
令
,得
,此时
为定值,故满足条件的直线
存在,其方程为
,
即抛物线的通径所在的直线.
解法2:
(Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得
,
又由点到直线的距离公式得
.
从而
,
当
时,
.
(Ⅱ)假设满足条件的直线
存在,其方程为
,则以
为直径的圆的方程为
,
将直线方程
代入得
,
则
.
设直线
与以
为直径的圆的交点为
,
则有
.
令
,得
,此时
为定值,故满足条件的直线
存在,其方程为
,
即抛物线的通径所在的直线.
例3【标准答案】解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴为
,半焦距为
,当
时,
,
.
∵
,∴
故椭圆方程为
,右准线方程为
………………………(3分)
(Ⅱ)依题意设直线
的方程为:
,
R
联立
得点P的坐标为
.
将
代入
得
.
设
,由韦达定理得
.
又
因为
R,于是
的值可能小于零,等于零,大于零,
即点
可在圆内,圆上或圆外.…………(8分)
(Ⅲ)假设存在满足条件的实数
,
由题设有
.
又设
,有
设
,对于抛物线
,
;
对于椭圆
,
,
即
.
由
解得
∴
从而
.
因此,三角形
的边长分别是
.
所以
时,能使三角形
的边长是连续的自然数.…………(13分)
例4【标准答案】解:
抛物线
,
∴直线l的斜率为
故直线的l方程为
∴点F、E的坐标分别为F(-2,0)、E(0,4).………………………………1分
(I)∵直线l0的的方程为y=4,
∴以l0为一条准线,中心在坐标原点的椭圆方程可设为
则
由
∵直线l与椭圆相切,
而
,解得
∴所求椭圆方程为
.……………………4分
此时,
,即切点T的坐标为
……5分
(II)设l与双曲线
的两个交点为
、
,显然
.
∵点A为线段MN的中点,
,
由
而
∴双曲线的方程为
,…………………………6分
轴正方向上的投影为p,
……………………7分
设直线PQ的方程为
(斜率k必存在),点
),
而
由
∵P、Q两点分别在双曲线的两支上,
此时
…………………………12分
而切点T到直线PQ的距离为
14分
例5【标准答案】解:
(1)设椭圆C的方程为
,
由已知,得
所以椭圆的标准方程为
…………3分
(2)证明:
设
知
同理
…………4分
…………5分
①当
,
从而有
设线段PQ的中点为
,…………6分
得线段PQ的中垂线方程为
…………7分
…………8分
②当
线段PQ的中垂线是x轴,也过点
…………10分
(3)由
,…………12分
…………14分
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