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数学思想方法
数学思想方法
目录
概述
函数与方程
等价转化
分类讨论
数形结合
概述
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
数学四大思想:
函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;
函数与方程
函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。
有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是:
实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界,充斥着等式和不等式。
我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。
列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:
f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。
另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。
我们应用函数思想的几种常见题型是:
遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。
等价转化
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考,等价转化思想无处不见,我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的,要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。
著名的数学家,莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:
“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换;它可以在宏观上进行等价转化,如在分析和解决实际问题的过程中,普通语言向数学语言的翻译;它可以在符号系统内部实施转换,即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等,都体现了等价转化思想,我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说,等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性,我们要合理地设计好转化的途径和方法,避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即把我们遇到的问题,通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题,比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程,比如数形结合法;或者从非标准型向标准型进行转化。
按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透等价转化思想,可以提高解题的水平和能力。
分类讨论
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等,都主要通过分类讨论,保证其完整性,使之具有确定性。
进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:
分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:
首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复);再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。
数形结合
中学数学的基本知识分三类:
一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过:
“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。
“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。
华罗庚先生说过:
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。
数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。
如:
锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
数学思想在人类文明中的作用
1、数学与自然科学:
在天文学领域里,在第谷·布拉埃观察的基础上,开普勒提出了天体运动三定律:
(a)行星在椭圆轨道上绕太阳运动,太阳在此椭圆的一个焦点上。
(b)从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过的面积是F(如图)。
(c)行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道C的半长轴的立方成正比。
开普勒是世界上第一个用数学公式描述天体运动的人,他使天文学从古希腊的静态几何学转化为动力学。
这一定律出色地证明了毕达哥拉斯主义核心的数学原理。
的确是,现象的数学结构提供了理解现象的钥匙。
爱因斯坦的相对论是物理学中,乃至整个宇宙的一次伟大革命。
其核心内容是时空观的改变。
牛顿力学的时空观认为时间与空间不相干。
爱因斯坦的时空观却认为时间和空间是相互联系的。
促使爱因斯坦做出这一伟大贡献的仍是数学的思维方式。
爱因斯坦的空间概念是相对论诞生50年前德国数学家里曼为他准备好的概念。
在生物学中,数学使生物学从经验科学上升为理论科学,由定性科学转变为定量科学。
它们的结合与相互促进已经产生并将继续产生许多奇妙的结果。
生物学的问题促成了数学的一大分支——生物数学的诞生与发展,到今天生物数学已经成为一门完整的学科。
它对生物学的新应用有以下三个方面:
生命科学、生理学、脑科学。
2、数学与社会科学
如果说在自然科学中,更多的是运用数学的计算公式及计算能力;那么在社会科学的领域中,就更能体现出数学思想的作用。
要借助数学的思想,首先,必须发明一些基本公理,然后通过严密的数学推导证明,从这些公理中得出人类行为的定理。
而公理又是如何产生的呢?
借助经验和思考。
而在社会学的领域中,公理自身应该有足够的证据说明他们合乎人性,这样人们才会接受。
说到社会科学,就不免提一下数学在政治领域中的作用。
休谟1曾说:
“政治可以转化为一门科学”。
而在政治学公理中,洛克的社会契约论具有非常重要的意义,它不仅仅是文艺复兴时期的代表,也推动了整个社会的进步。
西方的资产阶级的文明比起封建社会的文明是进步了许多,但它必将被社会主义、共产主义文明所取代。
共产党人提出的“解放全人类”——为人民谋幸福、“为人民服务”和“三个代表”应当也必将成为政府的基本公理。
在政治中不能不提的便是民主,而民主最为直接的表现形式就是选举。
而数学在选票分配问题上发挥着重要作用。
选票分配首先就是要公平,而如何才能做到公平呢?
1952年数学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理——阿罗不可能定理,即不可能找到一个公平合理的选举系统。
这就是说,只有相对合理,没有绝对合理。
原来世上本无“公平”!
阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个里程碑。
在经济学中,数学的广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的变革之一。
现代经济学的发展对其自身的逻辑和严密性提出了更高的要求,这就使得经济学与数学的结合成为必然。
首先,严密的数学方法可以保证经济学中推理的可靠性,提高讨论问题的效率。
其次,具有客观性与严密性的数学方法可以抵制经济学研究中先入为主的偏见。
第三,经济学中的数据分析需要数学工具,数学方法可以解决经济生活中的定量分析。
在人口学、伦理学、哲学等其他社会科学中也渗透着数学思想……
数学归纳法
目录
概述
基本步骤
应用
历史
概述
数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
基本步骤
(一)第一数学归纳法:
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值时命题成立;
(2)假设当n=k(k≥n的第一个值,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法:
对于某个与自然数有关的命题,
(1)验证n=n0时P(n)成立;
(2)假设no 综合 (1) (2)对一切自然数n(>n0),命题P(n)都成立; (三)倒推归纳法(反向归纳法): (1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立; (2)假设P(k+1)成立,并在此基础上推出P(k)成立, 综合 (1) (2),对一切自然数n(>n0),命题P(n)都成立; (四)螺旋式归纳法 P(n),Q(n)为两个与自然数有关的命题,假如 (1)P(n0)成立; (2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设Q(k)成立,能推出P(k+1)成立; 综合 (1) (2),对于一切自然数n(>n0),P(n),Q(n)都成立; 应用 1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。 2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 3.证明数列前n项和与通项公式的成立 历史 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo(1575年)。 Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2,由此揭开了数学归纳法之谜。 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立,这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当n=1时表达式成立。 递推的依据: 证明如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立。 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。 如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。 或许想成多米诺效应更容易理解一些,如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定: 第一张骨牌将要倒下,只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒,那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。 这样就确定出一种递推关系,只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下: (1)第一块骨牌倒下 (2)任意两块相邻骨牌,只要前一块倒下,后一块必定倒下 这样,无论有多少骨牌,只要保证 (1) (2)成立,就会全都倒下。 数学建模 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型,然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。 这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 目录 背景 一、数学建模的意义 二、数学建模的几个过程 三、数学建模的起源 四、大学生数学建模竞赛 五、数学建模资料 六、数学建模题目 七、数学建模的意义 八、数学建模经验和体会 九、数学建模相关网站 十、图书 1.内容简介 2.目录 十一、数学建模最新进展 1.十二: 数学建模应当掌握的十类算法 背景 一、数学建模的意义 二、数学建模的几个过程 三、数学建模的起源 四、大学生数学建模竞赛 五、数学建模资料 六、数学建模题目 七、数学建模的意义 ∙八、数学建模经验和体会 ∙九、数学建模相关网站 ∙十、图书 1.内容简介 2.目录 ∙十一、数学建模最新进展 3.十二: 数学建模应当掌握的十类算法 背景 近半个多世纪以来,随着计算机技术的迅速发展,数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用,而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透,所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题,还是与其它学科相结合形成交叉学科,首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型,并加以计算求解。 数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学,在它产生和发展的历史长河中,一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。 数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性,结论的明确性和体系的完整性,而且在于它应用的广泛性,进入20世纪以来,随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及,人们对各种问题的要求越来越精确,使得数学的应用越来越广泛和深入,特别是在即将进入21世纪的知识经济时代,数学科学的地位会发生巨大的变化,它正在从国或经济和科技的后备走到了前沿。 经济发展的全球化、计算机的迅猛发展,数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库,数学已经成为一种能够普遍实施的技术。 培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 一、数学建模的意义 数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。 这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象,也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。 这里的描述不但包括外在形态,内在机制的描述,也包括预测,试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念: 数学建模是一个让纯粹数学家(指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家)变成物理学家,生物学家,经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。 它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的,但它和真实的事物有着本质的区别。 要描述一个实际现象可以有很多种方式,比如录音,录像,比喻,传言等等。 为了使描述更具科学性,逻辑性,客观性和可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学。 使用数学语言描述的事物就称为数学模型。 有时候我们需要做一些实验,但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验,实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的一步,同时也是十分困难的一步。 建立教学模型的过程,是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。 要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。 这就需要深厚扎实的数学基础,敏锐的洞察力和想象力,对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁,是数学在各个领械广泛应用的媒介,是数学科学技术转化的主要途径,数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视,它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。 为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才,数学建模已经在大学教育中逐步开展,国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛,将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面,现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结合,努力探索更有效的数学建模教学法和培养面向21世纪的人才的新思路,与我国高校的其它数学类课程相比,数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活,对教师和学生要求高等特点,数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。 为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主、以知识传授为主的传统教学模式,数学建模课程指导思想是: 以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程,提高他们分析问题和解决问题的能力;提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力,使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题,提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识,能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 数学建模以学生为主,教师利用一些事先设计好问题启发,引导学生主动查阅文献资料和学习新知识,鼓励学生积极开展讨论和辩论,培养学生主动探索,努力进取的学风,培养学生从事科研工作的初步能力,培养学生团结协作的精神、形成一个生动活泼的环境和气氛,教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望、培养他们的自学能力,增强他们的数学素质和创新能力,提高他们的数举素质,强调的是获取新知识的能力,是解决问题的过程,而不是知识与结果。 接受参加数学建模竞赛赛前培训的同学大都需要学习诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学,数学软件包的使用等等“短课程”(或讲座),用的学时不多,多数是启发性的讲一些基本的概念和方法,主要是靠同学们自己去学,充分调动同学们的积极性,充分发挥同学们的潜能。 培训中广泛地采用的讨论班方式,同学自己报告、讨论、辩论,教师主要起质疑、答疑、辅导的作用,竞赛中一定要使用计算机及相应的软件,如Mathematica,Matlab,Lingo,Spas,Mapple,甚至排版软件等。 二、数学建模的几个过程 模型准备: 了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息。 用数学语言来描述问题。 模型假设: 根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立: 在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构。 (尽量用简单的数学工具) 模型求解: 利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出计算(估计)。 模型分析: 对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验: 将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。 如果模型与实际较吻合,则要对计算结果给出其实际含义,并进行解释。 如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设,再次重复建模过程。 模型应用: 应用方式因问题的性质和建模的目的而异。 三、数学建模的起源 数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的,我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。 经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座,为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。 大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的,1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下,我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛,而且积极性越来越高,近几年参赛校数、队数占到相当大的比例。 可以说,数学建模竞赛是在美国诞生、在中国开花、结果的。 1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛,74所院校的314队参加。 教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物,决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛,每年一届。 十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。 2009年全国有33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)1137所院校、1504
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