高三数学一轮人教B版基础巩固第10章 第1节 随机抽.docx
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高三数学一轮人教B版基础巩固第10章第1节随机抽
第十章 第一节
一、选择题
1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7 B.9
C.10 D.15
[答案] C
[解析] 采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即l=30,第k组的号码为(k-1)30+9,令451≤(k-1)30+9≤750,而k∈Z,解得16≤k≤25,则满足16≤k≤25的整数k有10个.
2.(文)(2014·东营模拟)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6B.8
C.10D.12
[答案] B
[解析] 设高二学生中抽取x人,则
=
,∴x=8.
(理)(2013·安庆二中段考)某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( )
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24 B.18
C.16 D.12
[答案] C
[解析] 由条件知,二年级女生有2000×0.19=380名,
∴三年级有学生2000-(373+377+380+370)=500名,
由分层抽样定义知,在三年级应抽取500×
=16名.
3.(2013·新课标Ⅰ理,3)为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样D.系统抽样
[答案] C
[解析] 因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.
4.(文)一个单位有职工80人,其中业务人员56人,管理人员8人,服务人员16人,为了解职工的某种情况,决定采取分层抽样的方法,抽取一个容量为10的样本,每个管理人员被抽到的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查分层抽样的特点.据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率,即其概率为
=
.
(理)(2014·潍坊模拟)据报道,某退役卫星由于体积过大,通过大气层后不能完全燃烧,降到地球的概率约为
,为了研究学生对这件事情的看法,某中学对此事进行了问卷调查,共收到2000份有效问卷,得到如下结果:
对卫星撞地
球的态度
关注并
不担心
关注有
点担心
关注且
非常担心
不关注
人数(人)
1000
500
x
300
若从收到的2000份有效问卷中,采用分层抽样的方法抽取20份,抽到关注且非常担心的问卷份数为( )
A.2B.3
C.5D.10
[答案] A
[解析] 由题意x=200,依分层抽样定义知,抽取关注且非常担心的问卷份数为
×20=2.
5.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A.13B.19
C.20D.51
[答案] C
[解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为
=13,故抽取的样本的编号分别为7,7+13,7+13×2,7+13×3,即7号、20号、33号、46号,从而可知选C.
6.某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件,根据以上信息,可得C产品的数量是( )
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量(件)
130
A.900件B.800件
C.90件D.80件
[答案] B
[解析] 设A、C产品数量分别为x件、y件,则由题意可得:
∴
∴
故选B.
二、填空题
7.一个总体分为A、B两层,其个体数之比为41,用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本,已知B层中甲、乙都被抽到的概率为
,则总体中的个体数是________.
[答案] 40
[解析] 设x、y分别表示A、B两层的个体数,由题设易知B层中应抽取的个体数为2,
∴
=
,解得y=8或y=-7(舍去),∵xy=41,∴x=32,x+y=40.
8.(文)(2014·烟台模拟)某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本,若高收入家庭抽取了25户,则低收入家庭被抽取的户数为________.
[答案] 19
[解析] 设从低收入家庭中应抽取x户,按分层抽样的定义知,
=
,∴x=19.
(理)(2014·江西师大附中模拟)某校在科艺节时进行高一数学竞赛,将考生的成绩分成90分以下、90~120分、120~150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为531,现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本,其中分数在90~120分的人数是45,则此样本的容量m=________.
[答案] 135
[解析] 由题意得
=
,∴m=135.
9.(文)某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:
g)数据绘制的频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是[96,106],若样本中净重在[96,100)的产品个数是24,则样本中净重在[98,104)的产品个数是________.
[答案] 60
[解析] 设样本容量为x,则x·(0.05+0.1)×2=24,∴x=80,∴样本中净重在[98,104)的产品个数是x·(0.1+0.15+0.125)×2=80×0.375×2=60.
(理)(2013·福建漳州模拟)某校高三年级的学生共1000人,一次测验成绩的频率分布直方图如图所示,现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样,抽取50人了解情况,则80~90分数段应抽取________人.
[答案] 20
[解析] 各分数段人数的比例为0.010.020.030.04=1234,故抽取50人,80~90分数段应抽取
×50=20(人).
三、解答题
10.(文)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查.已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂.
(1)求从A,B,C区中应分别抽取的工厂个数;
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
[解析]
(1)工厂总数为18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数的比为
=
,所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)记从A区抽取的两个工厂为A1、A2,从B区抽取的三个工厂为B1、B2、B3,从C区抽取的两个工厂为C1、C2,从这七个工厂中随机抽取两个,基本事件空间
Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)}中共有21个基本事件,其中事件A=“这两个工厂中至少有一个来自A区”中含有11个基本事件,∴P(A)=
.
(理)某中学的高二
(1)班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;
(2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验,方法是先从小组里选出1名同学做试验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;
(3)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的试验更稳定?
并说明理由.
[解析]
(1)P=
=
,∴某同学被抽到的概率为
.
设有x名男同学,则
=
,∴x=3.
∴男、女同学的人数分别为3,1.
(2)从3名男同学和1名女同学中任选2名同学有C
=6种不同选法,其中恰有一名女同学的选法有3种,
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
P=
=
.
(3)
1=
=71,
2=
=71,
s
=
=4,
s
=
=3.2.
∵s
,∴第二位同学的试验更稳定.
一、选择题
11.(2014·安徽马鞍山第一次质检)高三
(1)班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是( )
A.8 B.13
C.15 D.18
[答案] D
[解析] 因为系统抽样是等距抽样,44-31=13,所以5+13=18.
12.(文)一次关于“手机垃圾短信”的调查,在A、B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本,若在B单位抽取20份问卷,则在D单位抽取的问卷份数是( )
A.30份B.35份
C.40份D.65份
[答案] C
[解析] 由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20-d,20,20+d,20+2d,则(20-d)+20+(20+d)+(20+2d)=100,∴d=10,
∴D单位回收问卷20+2d=40份.
(理)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c,且a、b、c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( )
A.800B.1000
C.1200D.1500
[答案] C
[解析] 因为a、b、c成等差数列,所以2b=a+c,
∴
=b,∴第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知,第二车间生产的产品数占总数的三分之一,即为1200双皮靴.
13.(2014·德州模拟)某学校从高三全体500名学生中抽取50名学生做学习状况问卷调查,现将500名学生从1到500进行编号,求得间隔数k=
=10,即每10人抽取一个人,在1~10中随机抽取一个数,如果抽到的是6,则从125~140中应取的数是( )
A.126B.136
C.126或136D.126和136
[答案] D
[解析] 由系统抽样的知识知,抽取的号码为6+10(k-1)(1≤k≤10),
由125≤6+10(k-1)<140得,13≤k≤14,
当k=13时,抽取号码为126,
当k=14时,抽取号码为136,故选D.
14.(文)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200,20B.100,20
C.200,10D.100,10
[答案] A
[解析] 由题意知,该地区中小学生共有10000名,故样本容量为10000×2%=200.由分层抽样知应抽取高中学生的人数为200×
=40,其中近视人数为40×50%=20,故选A.
(理)(2014·广州综合测试一)某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方图,样本数据分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个,则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有( )
A.5个B.6个
C.8个D.10个
[答案] B
[解析] 分数段在[80,100]范围内占所有分数段的百分比为(0.025+0.015)×10=0.4,其中分数在[90,100]范围内的人数占所有分数段的百分比为0.015×10=0.15,因此分数在[90,100]范围内占分数在[80,100]范围内的百分比为
=
,因此分数在[90,100]范围内样本数据有16×
=6,故选B.
二、填空题
15.(2014·锦州期中)某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体;如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,则n=________.
[答案] 6
[解析] 总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为
,分层抽样的比例是
,抽取的工程师人数为
×6=
,技术员人数为
×12=
,技工人数为
×18=
,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.
当样本容量为(n+1)时,总体需剔除1人,系统抽样的间隔为
,因为
必须是整数,所以n只能取6.即样本容量n=6.
三、解答题
16.(2013·贵州六校联考)为了参加2013贵州省高中篮球比赛,某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队,代表该地区参赛,四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表:
班级
高三(7)班
高三(17)班
高二(31)班
高二(32)班
人数
12
6
9
9
(1)现采取分层抽样的方法是从这四个班中抽取运动员,求应分别从这四个班抽出的队员人数;
(2)该中学篮球队奋力拼搏,获得冠军.若要从高三(7)班和高三(17)班抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言,求选出的两名队员来自同一班的概率.
[分析]
(1)“分层抽样”应按比例从各班抽取队员;
(2)计算概率可先选择一种编码方式,列举所有基本事件,再求概率.
[解析]
(1)由题知,应从高三(7)班中抽出12×
=4人,
应从高三(17)班中抽出12×
=2人,
应从高二(31)班中抽出12×
=3人,
应从高二(32)班中抽出12×
=3人.
(2)记高三(7)班抽出的4人为A1、A2、A3、A4,高三(17)班抽出的两人为B1、B2,则从这6个人中抽出2人的基本事件有:
(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,A4)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A2,A3)、(A2,A4)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A3,A4)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A4,B1)、(A4,B2)、(B1,B2)共15个.
记“抽出的2人来自同一班”的事件C,则事件C含:
(A1,A2)、(A1,A3)、(A1,A4)、(A2,A3)、(A2,A4)、(A3,A4)、(B1,B2)共7个基本事件,
故P(C)=
.
(理)(2013·哈尔滨四校统考)某中学为了更好地开展社团活动,丰富同学们的课余生活,现用分层抽样的方法从“模拟法庭”、“街舞”、“动漫”、“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组,有关数据见下表:
社团
相关人数
抽取人数
模拟法庭
24
a
街舞
30
5
动漫
b
4
话剧
12
c
(1)求a,b,c的值;
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长,求这2人分别来自这两个社团的概率.
(3)若从“话剧”和“街舞”社团已抽取的人中选3人参加某项比赛,记参赛选手中“话剧”社团的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
[分析]
(1)由分层抽样各层抽样比相等,可求a,b,c的值;
(2)先列出从两个社团抽取的人中选2人的所有基本事件,“这2人分别来自两个社团”的含义是每个社团一个人,容易数出.
(3)从两社团已抽取的7人中选3人参赛,其中含“话剧”社团人数ξ服从超几何分布.
[解析]
(1)由表可知抽取比例为
=
,故a=4,b=24,c=2.
(2)从“动漫”与“话剧”社团分别抽取了4人、2人,从中任选2人共有C
=15种不同选法.
这两人分别来自这两个社团,共有4×2=8种不同选法,
∴所求概率P=
.
(3)从“街舞”社团抽取了5人,从“话剧”社团抽取了2人,从这7人中选3人参赛,其中所含“话剧”社团人数ξ的取值为0,1,2,
P(ξ=0)=
=
,P(ξ=1)=
=
,
P(ξ=2)=
=
.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)=0×
+1×
+2×
=
.
17.(文)(2014·哈三中一模)某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算,排出前n名学生,并对这n名学生按成绩分组,第一组[75,80),第二组[80,85),第三组[85,90),第四组[90,95),第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为60.
(1)请在图中补全频率分布直方图;
(2)若B大学决定在成绩高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生,并且分成2组,每组3人进行面试,求95分(包括95分)以上的同学在同一个小组的概率.
[解析]
(1)因为第四组的人数为60,所以总人数为:
5×60=300,由直方图可知,第五组人数为:
0.02×5×300=30人,又
=15为公差,所以第一组人数为:
45人,第二组人数为:
75人,第三组人数为:
90人.
(2)第四组中抽取人数:
×60=4人,第五组中抽取人数:
×30=2人,所以95分以上的共2人.设第四组抽取的四人为A1,A2,A3,A4,第五组抽取的2人为B1,B2,这六人分成两组有两种情况,情况一:
B1,B2在同一小组有4种可能结果,情况二:
B1,B2不在同一小组有6种可
能结果,总共10种可能结果,所以两人在一组的概率为P=
=
.
(理)(2014·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:
件),获得数据如下:
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.
[解析]
(1)由题中数据可知n1=7,n2=2,f1=
=0.28,f2=
=0.08.
(2)
(3)根据样本频率分布表可知,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率0.2.
设所取的4人中,日加工零件数据在区间(30,35]的人数为ξ,则ξ~B(4,0.2).
所以P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-0.2)4
=1-0.4096=0.5904,
所以4人中,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.5904.
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