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第四讲最不利原则
四年级数学思维训练之最不利原则20161106
在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手:
1.着眼于极端情形;
2.分析推理——确定最值;
3.枚举比较——确定最值;
4.估计并构造。
常常需要从最不利的情况出发分析问题,这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问:
一次最少摸出几个球,才能保证至少有4个小球颜色相同
分析与解答:
如果碰巧,可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。
但显然,仅仅摸出4个小球,并不能保证它们的颜色相同,因为它们的颜色也可能不相同。
因此,为了“保证至少有4个小球颜色相同”,我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求,那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢它就是我们俗话说的运气最差的情况,实际总是与所希望的相反。
那么,在这里,什么样的情况最“惨”呢那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球,此时三种颜色的球都是3个,却无4个球同色。
为什么说这就是最不利的了呢因为这时我们接着再摸出一个球的话,无论是红色还是黄色或者蓝色,都能保证有4个小球颜色相同。
所以,一次最少摸出10个球,才能保证至少有4个小球颜色相同。
由此我们看到了,最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。
什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢那就是题目中出现要“保证……”时,这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。
通过上面分析,列式为:
例2一把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和10把锁,最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?
分析与解:
从最不利的情形考虑。
用10把钥匙依次去试第一把锁,最不利的情况是试验了9次,前8次都没打开,第9次无论打开或没打开,都能确定与这把锁相匹配的钥匙(若没打开,则第10把钥匙与这把锁相匹配)。
同理,第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次,第十把锁不用再试(为什么)。
通过上面分析,列式为:
例3在一副扑克牌中,最少要取出多少张,才能保证取出的牌中四种花色都有?
分析与解:
一副扑克牌有大、小王牌各1张,“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张,共计有54张牌。
最不利的情形是:
取出四种花色中的三种花色的牌各13张,再加上2张王牌。
这41张牌中没有四种花色。
剩下的正好是另一种花色的13张牌,再抽1张,四种花色都有了。
因此最少要拿出42张牌,才能保证四种花色都有。
例4口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。
现在一次从中任意取出几个,为保证这几个小球至少有5个同色,那么最少要取多少个
分析与解:
与上例类似,这也要从“最不利”的情况考虑。
最不利的情况是什么呢是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球,共11个。
此时袋中只剩下黄球和蓝球,所以再取一个球,无论是黄球还是蓝球,都可以保证有5个球颜色相同。
因此,所求的最小值是12。
热身操
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问:
一次最少摸出几个,才能保证至少有5个小球颜色相同
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个,其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
问:
一次最少取出几个,才能保证至少有6个小球颜色相同
3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。
问:
(1)至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到
(2)至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子
(3)至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子
4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
问:
最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子
5在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。
问:
至少从中取出多少个球,才能保证其中有白球
6袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球,从袋中任意取出若干个球。
问:
至少要取出多少个球,才能保证有3个球是同一颜色的
7一只鱼缸里有很多条鱼,共有5个品种。
问:
至少捞出多少条鱼,才能保证有5条品种相同的鱼
8有10件绿色衣服,6件白色衣服,7件红色衣服,2件蓝色衣服,问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是相同的
9有10件绿色衣服,6件白色衣服,7件红色衣服,2件蓝色衣服,问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是不同的
10袋中有10种不同的珠子各100个,要想保证从袋中摸出三种不同颜色的珠子,并且每种至少10个,那么至少要摸出多少个珠子
11.袋中有8个白球,5个黄球,15个黑球。
让你闭着眼睛从口袋中摸球,至少取出( )个球,才能保证取出的球中有黑球。
12中有红、白、蓝、黑四种颜色的球,从袋中任意取出若干个球。
问:
至少要取出( )个球,才能保证有四个球是同一种颜色的。
13袋内装有70只球,其中20只是红球,20只是绿球,20只是黄球,其余是黑球和白球。
为确保取出的球中至少包含有10只同色的球,问:
至少必须从袋中取出( )个球。
14红色、白色、黄色的筷子各有8根,混杂地放在一起,黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子,至少取( )根才能保证达到要求。
15.把钥匙只能开一把锁,现有10把钥匙和其中的8把锁,要保证将这8把钥匙都配上锁,至少需要试验( )次。
16.把钥匙只能开一把锁,现有8把钥匙和其中的10把锁,要保证将这8把钥匙都配上锁,至少需要试验( )次。
17.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取多少颗如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出多少颗
18一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取多少张牌,才能保证其中必有3种花色
19.在一付扑克牌中(54张),最少要拿出多少张,才能保证在拿出的牌中四种花色都有
20.在一个口袋中有9个黑球、7个白球、5个红球。
问:
至少从中取出多少个球,才能保证其中有红球
21.某小学五年级的学生身高(按整数厘米计算),最矮的是138厘米,最高的是160厘米。
如果任意从这些学生中选出若干人,那么,至少要选出多少人,才能保证有5人的身高相同
22.要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒子中,每个盒子最多可以装5个乒乓球。
证明:
至少有5个盒子中的乒乓球数目相同。
最不利原则练习题集
1、肉包子7个,素包子6个,至少吃几个,才能吃到两种馅
2、白球7个,黑球8个,至少摸几个,才能保证:
1)有2个相同颜色的球2)有2个不同颜色的球
3)、有2个黑球4)、有2个白球
5)、有1个黑,1个白6)、每种颜色都有5个球
7)、保证有5球同色
3、黄球10个,白球7个,黑球8个,至少摸多少个,才能保证:
1)有3种颜色的球2)、一定会有黑球
3)、一定会有黄球4)、有3球同色
4、黄球3个,白球7个,黑球8个,至少摸几个,才能保证5个球同色
5、在一副扑克牌种,最少取出多少张,才能保证:
1)、四种花色都有2)取出2张红桃
3)有1张104)有1张红桃10
5)有2张花色相同
6、口袋里有足够多的红,白,蓝,黑四种颜色的单色球,从口袋中任意取出若干个球,至少要取出多少个球才能保证有9个球是同一颜色的
7、一排椅子只有27个座位,部分座位已有人就座,东东来后一看,他无论坐哪个座位,都将与已就座得人相邻。
在东东来之前就已就座的最少有几人
8、一排椅子只有35个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,她无论坐在那个座位,都将与已就座的人相邻,在乐乐来之前就已就座的最少有几人
9、一排椅子只有22个座位,部分座位已有人就座,乐乐来后一看,她无论坐在那个座位,都将与已就座的人相邻,在乐乐来之前就已就座的最少有几人
10、一个布袋里有大小相同,颜色不同的一些小球,其中红的10个,白的9个,黄的8个,蓝的2个,一次至少取多少个球,才能保证有4个相同颜色的
11、将3支红筷子,9支黄筷子,18支绿筷子,2支白筷子和1支黑筷子放在一个布袋里,至少摸多少支才能保证有两双颜色相同的筷子
12、口袋中放有红,黄,白,黑四种颜色的袜子各10只,只许用手摸,不许用眼看,至少要从口袋中取出多少只袜子才能保证配成5双,(一双指同颜色的袜子两只)
13、参加学校歌咏比赛的学生中,最小的9岁,最大的13岁,那么从这些学生中任选( )位就一定能保证其中有两位队员的年龄相同。
14、桃、梨、苹果、草莓四种水果各若干个混放在一起,每个人取出两个,那么至少需要( )个人才能保证有两人取出的水果是完全相同的。
15有布娃娃、书包、文具盒三种礼品各若干个。
每个小朋友任意拿两个,需要( )个小朋友才能保证至少有两人选的礼品相同。
16、文具盒中有5枝黑笔和3支蓝笔混合放在一起,那么一次至少摸出( )枝笔才能保证至少有一枝蓝笔
“一同一和十”速算法
请你运用前面介绍的“首同末和十”和“末同首和十”的速算方法来推理“一同一和十”的速算方法。
1)尝试笔算下面的题目,仔细观察有什么样的规律。
33×19=66×82=37×44=77×46=91×88=
2)说说你发现的速算规律。
3)和老师一起总结速算方法:
积的末两位数是“尾×尾”,前面是“同×(头+1)”
仍注意:
如果“尾×尾”只有一位则在前面补“0”。
4)速算高手擂台
22×37=99×64=28×55=91×44=73×44=
91×33=77×82=37×55=82×44=28×66=
22×64=73×44=28×11=91×88=73×99=
55×64=19×44=37×11=46×88=28×99=
56×56=86×84=73×33=63×67=27×87=29×21=36×76=87×83=95×15=76×74=38×78=56×54=62×42=73×77=47×67=93×97=29×89=26×24=83×23=45×45=
×=×=610×690=530×530=
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