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菱形证明专题训练
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乐学教育菱形证明专题训练
1.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE,AC平分∠BAD.求证:
四边形ABCD为菱形.
【答案】∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
∵DF∥BE,
∴∠BEF=∠DFE,
∴∠AEB=∠CFD.
又∵AE=CF,
∴△AEB≌∠CFD,
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAF.
又∠BAE=∠DCF,
∴∠DAF=∠DCF,
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
2.如图,矩形ABCD中,点O为AC的中点,过点O的直线分别和AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC.
求证:
(1)四边形EBFD是菱形;
【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCD的对角线AC的中点,
∴B,D, O三点共线且BD=DO=CO=AO.
在矩形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,∴∠FCO=∠EAO.
在△CFO和△AEO中,
∴△CFO≌△AEO,∴FO=EO.
又∵BO=DO,∴四边形BEFD是平行四边形.
∵BO=CO,∠COB=60°,
∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°.
∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°.
∵FO=FC,∴∠FOC=∠FCO=30°.
∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°.
∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形.
(2)MB∶OE=3∶2.
【答案】∵BO=BC,∴点B在线段OC的垂直平分线上.
∵FO=FC,∴点F在线段OC的垂直平分线上.
∴BF是线段OC的垂直平分线.
∴∠FMO=∠OMB=90°.
∴∠OBM=30°.∴OF=BF.
∵∠FOC=30°,∴FM=OF.
∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF.
即FO=EO,∴BM∶OE=3∶2.
3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:
四边形BGFD是菱形.
【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形.
∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC,
∴平行四边形BGFD是菱形.
4.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.
求证:
OE=BC.
【答案】∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD,
∴∠BOC=∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形,
∴∠ODE=90°,∵OB=OD,∠BOC=∠ODE=90°,
∴BC=,OE=,
∵DE=OC.
∴OE=BC.
5.[2015·兰州中考,25] (9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:
AD=BC;
【答案】作BM∥AC,BM交DC的延长线于点M,则∠ACD=∠BMD. 1分
∵AB∥CD,BM∥AC,
∴四边形ABMC为平行四边形. 2分
∴AC=BM.
∵BD=AC,∴BM=BD.
∴∠BDM=∠BMD.
∴∠BDC=∠ACD.
在△BDC和△ACD中,
∴△BDC≌△ACD. 4分
∴BC=AD. 5分
(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:
线段EF和线段GH互相垂直平分.
【答案】连接EG,GF,FH,HE. 6分
∵E,H为AB,BD的中点,∴EH=AD.
同理FG=AD,EG=BC,FH=BC.
∵BC=AD,∴EG=FG=FH=EH. 8分
∴四边形EGFH为菱形,
∴EF和GH互相垂直平分. 9分
6.[2015·长春中考,18] (7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G,求证:
四边形ACGF是菱形.
【答案】因为AF∥CD,FG∥AC,
所以四边形ACGF是平行四边形①,
又因为∠ACE=∠ECG,∠ECG=∠AFC,
所以∠ACE=∠AFC,所以AC=AF②,
由①②得四边形ACGF是菱形.
7.[2010·上海中考,23]已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD(如图所示),∠BAD的平分线AE交BC于点E,连结DE.
(1)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形ABED是菱形;
【答案】
∵∠BAE=∠DAE,
∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,AB=BE=AD,
AD∥BE,∴四边形ABED的平行四边形,又AB=AD,
∴四边形ABED为菱形
(2)∠ABC=60°,EC=2BE,求证:
ED⊥DC.
【答案】过D作DF∥AE,则DF=CF=1,
∴∠C=30°,而∠DEC=60°,
∴∠EDC=90°,∴ED⊥DC.
8.[2010·沈阳中考,19]如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O,点E,F分别为边AB,AD的中点,连接EF,OE,OF,求证:
四边形AEOF是菱形.
【答案】∵点E,F分别为AB,AD的中点
∴AE=AB,AF=AD(2分)
又∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴AE=AF(4分)
又∵菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O
∴O为BD的中点
∴OE,OF是△ABD的中位线(6分)
∴OE∥AD,OF∥AB
∴四边形AEOF是平行四边形(8分)
∵AE=AF
∴四边形AEOF是菱形(10分)
9. [2010·安徽中考,20]如图,AD∥FE,点B,C在AD上,∠1=∠2,BF=BC.
(1)求证:
四边形BCEF是菱形;
【答案】∵AD∥FE,∴∠FEB=∠2.
∵∠1=∠2,∴∠FEB=∠1.
∴BF=EF
∵BF=BC,∴BC=EF.
∴四边形BCEF是平行四边形
∵BF=BC,
∴四边形BCEF是菱形(5分)
(2)若AB=BC=CD,求证:
△ACF≌△BDE.
【答案】∵EF=BC,AB=BC=CD,AD∥FE,
∴四边形ABEF、四边形CDEF均为平行四边形,∴AF=BE,FC=ED.(8分)
又∵AC=2BC=BD,(9分)
∴△ACF≌△BDE.(10分)
10.[2013·长沙中考,24]如图,在▱ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连接CM交DN于点O.
(1)求证:
△ABN≌△CDM;
【答案】∵∠ABN=∠CDM,AB=CD,
BN=BC=AD=DM,
∴△ABN≌△CDM(SAS).
(2)过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长.
【答案】∵M,O分别为AD,ND的中点,
∴AN∥MO且AN=2MO,
∴∠MOD=∠AND=90°,即平行四边形CDMN是菱形,
在Rt△MOD和Rt△NEC中,
∵∠1=∠2,MD=NC,∴Rt△MOD≌Rt△NEC,
∴MO=NE.
根据菱形的性质可知,∠MND=∠CND,∠1=∠CND,所以∠MND=∠CND=∠2=30°,所以在Rt△ENP中NE=PE÷tan30°=,
即AN=2.
11.如图,在△ABC中,∠A=90°,AH⊥BC于点H,∠B的平分线交AC于点D,交AH于点E,DF⊥BC于点F,求证:
四边形AEFD是菱形.
【答案】∵∠ABD=∠FBD,BD=BD,∠BAD=∠DFB=90°,
∴△ABD≌△FBD,∴AD=DF,AB=FB.
又∠ABE=∠FBE,BE=BE,
∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE=∠BFE.
又∠BAE=90°-∠ABC=∠C,
∴∠BFE=∠C,∴EF∥AD.
∵DF⊥BC,AH⊥BC,∴AE∥DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
又AD=DF,∴四边形AEFD是菱形.
12.[2012·南宁中考,25]如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4,将纸片折叠,使顶点A和边CD上的点E重合,折痕FG分别和AB,CD交于点G,F,AE和FG交于点O.
图1图2
(1)如图1,求证:
A,G,E,F四点围成的四边形是菱形;
【答案】证法一:
证明:
在矩形ABCD中,CD∥AB
∴∠1=∠3(1分)
由折叠可知:
AG=EG,∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴EF=EG(2分)
∴EF=AG
∴四边形AGEF是菱形(3分)
证法二:
证明:
连接AF,由折叠可知
OA=OE,AG=EG(1分)
在矩形ABCD中,AB∥CD
∴∠AEF=∠EAG
∵∠AOG=∠EOF
∴△AOG≌△EOF(ASA)(2分)
∴AG=EF
∴四边形AGEF是菱形(3分)
(2)如图2,当△AED的外接圆和BC相切于点N时,求证,点N是线段BC的中点;
【答案】证明:
连接ON,O是Rt△ADE外接圆圆心.
∵⊙O和BC相切于点N
∴ON⊥BC(4分)
在矩形ABCD中,DC⊥BC,AB⊥BC
∴CD∥ON∥AB
∴=(5分)
∵OA=OE ∴CN=NB
即N为BC的中点(6分)
(3)如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.
【答案】解法一:
过点O作OM⊥AB于点M,则四边形OMBN是矩形
设⊙O半径为x,则OA=OE=ON=x(7分)
∵AB=4,AD=2 ∴AM=4-x
由第2问得,NB=OM=1
在Rt△AOM中,OA2=AM2+OM2
∴x2=(4-x)2+12 ∴x=(8分)
AM=4-=
∵∠FEO=∠OAM
又∵∠FOE=∠OMA=90°
∴Rt△EFO∽Rt△AOM
∴= ∴=(9分)
∴OF= ∴FG=2OF=(10分)
解法二:
延长NO交AD于点M
∴四边形ABNM是矩形
∴AM=BN=AD=1
∵O为Rt△ADE外接圆圆心
∴OA=OE=ON
设ON为x,则OM=4-x(7分)
在Rt△AMO中,AM2+OM2=OA2
即12+(4-x)2=x2
x=(8分)
∴OM=4-=
∵FG⊥AE,MN∥DC ∴∠FEO=∠MOA ∠AMO=∠EOF=90°
∴△EOF∽△OMA
∴= ∴=(9分)
∴OF= FG=2OF=(10分)
13.[2013·葫芦岛中考,20] (本小题满分8分)
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,BA⊥AD,BC=DC,BE⊥CD于点E.
(1)求证:
△ABD≌△EBD;
【答案】如图,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠DBC.
∵BC=DC,∠2=∠DBC.
∴∠1=∠2. 2分
又∵∠BAD=∠BED=90°,
BD=BD,∴△ABD≌△EBD. 4分
(2)过点E作EF∥DA,交BD于点F,连
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